투탑 1 2 답지 | 쎈수학 중등 전학년 답지 1-1 1-2 2-1 2-2 3-1 3-2 29670 좋은 평가 이 답변

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Date Published: 8/12/2021

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투탑 수학 중1-2 답지 (2018)

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Source: dapjibook.com

Date Published: 10/25/2022

투탑 수학 중학 1 – 2 답지 (2018)

더보기 학 수 개념탑 중학수학 1 2 Ⅰ . 도형의 기초 1 기본 도형 2 작도와 합동 Ⅱ. 평면도형 1 다각형의 성질 2 원과 부채꼴 Ⅲ. 입체도형 1 다면체 …

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Source: dabji.org

Date Published: 5/7/2022

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Date Published: 1/26/2022

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Date Published: 9/25/2021

투탑 수학 중 3-2 정답 – 버블리

1. 삼각비 2. 삼각비의 활용. Ⅱ. 원의 성질 1. 원과 직선 2. 원주각. Ⅲ. 통계 1. 대푯값과 산포도 2. 상관관계. 투탑_중_3-2_정답과_풀이.pdf.

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Date Published: 1/14/2022

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투탑 수준별 단원테스크 중 2-1 답지 주세요 책 사진 부탁드려도 되나요? #투탑답지 #투탑수학 #수학답지 #답지주세요. 답변 1 2020.11.27.수학.

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Date Published: 11/9/2022

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주제에 대한 기사 평가 투탑 1 2 답지

Author: 수학삼촌
Views: 조회수 5,349회
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Date Published: 2022. 2. 21.
Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=O9Ygqe2XRME

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투탑 수학 중1-2 답지 (2018)

이제 배고픈 것을 좀 즐겨야겠습니다. 살을 빼야하기 때문입니다. 살이 찌게 되면 건강이 안좋아질수밖에 없습니다. 30대가 되면서 뱃살이 나오기 시작했습니다. 학생들은 30대라고 하면 아저씨라고 생각하겠지만 사실 30대는 창창한 젊은 세대입니다. 아마 제가 40대가 되면 40대가 그런 세대라고 말을 하겠지요. 사실이 그렇습니다. 고령 사회가 되었으니 말이죠. 아래에 투탑 수학 중 1-2 답지가 있습니다.

어릴적에 참 못먹고 살기를 했나봅니다. 요즘에는 장이 늘어나서 먹어도 먹어도 배가 부르지가 않습니다. 포만감을 느낀다는 것이 거북하게 부를때까지 먹어야 합니다. 그래서 장도 많이 안좋아졌지요. 하지만 이제는 좀 적당히 먹고 살을 빼려고 합니다. 운동을 하지 않고 살만 찌우는 것은 바보같은 짓입니다. 잘 먹고 운동까지 하면 좋겠지만 운동을 잘 하지 않으면 밥을 먹는 것을 조절해야 합니다.

위를 보면 투탑 수학 중1-2 답지가 있습니다. 답지는 편하게 확인할수 있도록 구글 드라이브로 링크해 놓았습니다. 웹상으로 바로 보기가 가능합니다. 답지의 용량이 크지는 않습니다. 학생의 경우에는 데이터 소모가 걱정이 될텐데요. 되도록이면 와이파이를 연결해서 보시기 바랍니다.

투탑 수학 중학 1 – 2 답지 (2018)

학

수

개념탑

중학수학

1 2

Ⅰ . 도형의 기초

1 기본 도형

2 작도와 합동

Ⅱ. 평면도형

1 다각형의 성질

2 원과 부채꼴

Ⅲ. 입체도형

1 다면체와 회전체

2 입체도형의 겉넓이와 부피

Ⅳ. 통계

1 자료의 정리와 해석

002

012

017

025

032

037

045

Ⅰ 도형의 기초

1 기본 도형

3 AC¯ 와 BA¯ 의 공통 부분은 ABÓ이다.

점, 선, 면

1

CHECK

1 ⑴ 4개 ⑵ 4개 ⑶ 6개

2 ⑴ 8개 ⑵ 12개 ⑶ 18개

본문 10쪽

③, ④

1 ③, ④

A

직선, 반직선, 선분 ⑴

본문 13쪽

③ 서로 다른 두 점을 지나는 선분은 오직 하나뿐이다.

④ 직선과 반직선은 끝없이 뻗어가는 것이므로 그 길이를

본문 11쪽

생각할 수 없다.

1 ③, ④ 두 반직선이 같으려면 시작점과 방향이 모두 같아야

A

교점과 교선

4

1 10

a=12, b=8 ∴ a-b=4

1 a=6, b=9, c=5이므로 a+b-c=6+9-5=10

B

직선, 반직선, 선분 ⑵

본문 13쪽

B

기본 도형의 이해

본문 11쪽

ㄴ, ㄹ

2 ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄱ. 교점은 모두 6개이다.

ㄷ. 모서리 AF와 모서리 FE의 교점은 점 F이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.

① PQÓ+QRÓ ④ QP¯ +RP¯ ⑤ PQê=RQê

2 점 D에서 시작하여 점 B로 향하는 반직선을 찾는다.

따라서 DB¯ 와 같은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

2 ㄹ. 삼각뿔에서 교선의 개수는 모서리의 개수와 같다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

C

직선, 반직선, 선분의 개수 ⑴

본문 14쪽

2

CHECK

직선, 반직선, 선분

본문 12쪽

1 ⑴ PQÓ ⑵ PQê ⑶ QP¯ ⑷ PQ¯

2 ⑴ = ⑵ +

3 ②

2 Ⅰ . 도형의 기초

서로 다른 직선의 개수는

=3(개)이므로 a=3, 반직

3_2

2

선의 개수는 3_2=6(개)이므로 b=6

선분의 개수는

=3(개)이므로 c=3

3_2

2

∴ a+b+c=3+6+3=12

한다.

②, ③

2 ㄱ, ㄷ

12

3 ③
[다른 풀이]
직선은` AB é

ê, AC ê

é, BC ê이므로 a=3

반직선은` AB¯ , AC¯ , BA¯ , BC¯ , CA¯ , CB¯ 이므로 b=6

선분은 ABÓ, ACÓ, BCÓ이므로 c=3

∴ a+b+c=3+6+3=12

3 서로 다른 직선의 개수는

4_3

2

반직선의 개수는 4_3=12(개)이므로 b=12

=6(개)이므로 a=6

선분의 개수는

=6(개)이므로 c=6

4_3

2

∴ a+b-c=6+12-6=12

1 ⑴ (선분 AB의 길이)=8`cm

⑵ (선분 BC의 길이)=7`cm

2 AMÓ=

ABÓ

;2!;

=

;2!;

_16=8(cm)

3 AMÓ=

ANÓ=

_10=5(cm)이므로

;2!;

;2!;

NBÓ=AMÓ=5`cm

ABÓ=3AMÓ=3_5=15(cm)

(cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:46)

(cid:34)

개

념

탑

(cid:35)

D

직선, 반직선, 선분의 개수 ⑵

본문 14쪽

직선 1개, 반직선 6개, 선분 6개

ㄹ. ANÓ=

AMÓ=

;2!;

_

;2!;

;2!;

ABÓ=

ABÓ

;4!;

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

4 ③

서로 다른 직선은 1개

서로 다른 반직선은 PQ¯, QP¯, QR¯, RQ¯, RS¯, SR¯의 6개

서로 다른 선분은 PQÓ, PRÓ, PSÓ, QRÓ, QSÓ, RSÓ의 6개

4 서로 다른 직선은 DAê, DBê, DCê, ACê의 4개이므로 a=4

서로 다른 반직선은 AB¯ , AD¯ , BA¯ , BC¯ , BD¯ , CB¯ , CD¯ ,

DA¯ , DB¯ , DC¯ 의 10개이므로 b=10

∴ a+b=4+10=14

두 점 사이의 거리

본문 15쪽

3

CHECK

1 ⑴ 8`cm ⑵ 7`cm

2 8`cm

3 NBÓ=5`cm, ABÓ=15`cm

A

선분의 중점

ㄱ, ㄴ, ㄷ

1 ⑤

1 ⑤ ABÓ=BCÓ=CDÓ=

;3!;

ADÓ이므로

2BDÓ=2_

ADÓ=

ADÓ

;3@;

;3$;

본문 16쪽

본문 16쪽

B

두 점 사이의 거리

15`cm

2 9`cm

3 9`cm

MNÓ=

`ABÓ+

`BCÓ=

`ACÓ=

_30=15(cm)

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

2 BNÓ=14-10=4(cm), MBÓ=

이므로

;2!;

MNÓ=MBÓ+BNÓ=5+4=9(cm)

`ABÓ=

_10=5(cm)

;2!;

3 BCÓ=2ABÓ=2_6=12(cm)이므로

ACÓ=6+12=18(cm)

∴ MNÓ=MBÓ+BNÓ=

ACÓ=

_18=9(cm)

;2!;

;2!;

정답과 풀이 3

각

4

CHECK

1 ⑴ ㄱ, ㅁ ⑵ ㄴ ⑶ ㄷ, ㅂ ⑷ ㄹ

2 ⑴ 155ù ⑵ 25ù ⑶ 115ù

2 ⑴ ∠AOC=65ù+90ù=155ù

⑵ ∠DOC=180ù-(65ù+90ù)=25ù

⑶ ∠DOB=90ù+25ù=115ù

본문 17쪽

∠MON=∠BOM+∠BON

=

;2!;

=

;2!;

(∠AOB+∠BOC)

_180ù=90ù

4 오른쪽 그림에서

∠COE=∠COD+∠DOE

(∠AOD+∠DOB)

(cid:34)

(cid:48)

=

;3!;

=

;3!;

_180ù=60ù

(cid:36)

(cid:37)

(cid:38)

(cid:35)

본문 19쪽

D

각의 크기의 비

40ù

5 60ù

6 80ù

∠a=180ù_
[다른 풀이]
2

2+3+4

=40ù

∠a=2x, ∠b=3x, ∠c=4x라 하면

2x+3x+4x=180ù ∴ x=20ù

∴ ∠a=2x=2_20ù=40ù

2

3+1+2

∠COE=∠COD+∠DOE=50ù+30ù=80ù

6 ∠COD=150ù_

=50ù, ∠DOE=30ù이므로

맞꼭지각

5

CHECK

본문 19쪽

본문 20쪽

1 ⑴ ∠BOD ⑵ ∠DOE ⑶ ∠AOF

2 ⑴ ∠a=45ù, ∠b=45ù ⑵ ∠a=45ù, ∠b=35ù

3 ⑴ 29ù ⑵ 20ù

본문 18쪽

본문 18쪽

A

각의 분류

ㄱ, ㄴ, ㅂ

1 ④

ㄷ은 직각이고 ㄹ, ㅁ은 예각이다.

따라서 둔각인 것은 ㄱ, ㄴ, ㅂ이다.

1 ① 평각 ② 둔각 ③ 직각 ④ 예각

B

각의 크기

35ù

2 70ù

3 ④

2 ∠AOC=90ù, ∠BOD=90ù이므로

40ù+2∠BOC=180ù

∴ ∠BOC=

(180ù-40ù)=70ù

;2!;

3 (4∠x-10ù)+(∠x+20ù)+40ù=180ù이므로

5∠x=130ù ∴ ∠x=26ù

C

각의 등분

90ù

4 60ù

4 Ⅰ . 도형의 기초

(∠x+10ù)+(4∠x-5ù)=180ù이므로

5∠x=175ù ∴ ∠x=35ù

5 ∠y=180ù_

2

1+2+3

=60ù

2 ⑴ ∠a=∠b=180ù-135ù=45ù

⑵ ∠a=45ù, ∠b=35ù

3 ⑴ 2∠x=58ù ∴ ∠x=29ù

⑵ 오른쪽 그림에서

수직과 수선

6

CHECK

1 ⑴ 90ù ⑵ 10`cm

2 ⑴ BCÓ ⑵ 점 D ⑶ `4`cm

본문 22쪽

개

념

탑

2∠x+3∠x+4∠x=180ù이므로

9∠x=180ù ∴ ∠x=20ù

(cid:19)(cid:89)

(cid:20)(cid:89)

(cid:19)(cid:89)

(cid:21)(cid:89)

2 ⑶ (점 A와` BCÓ 사이의 거리)=ADÓ=4`cm

본문 21쪽

A

맞꼭지각의 성질

∠x=65ù, ∠y=25ù

1 70ù

2 140ù

∠y=∠x-40ù이므로

(∠x-50ù)+(∠x-40ù)+(2∠x+10ù)=180ù

4∠x=260ù ∴ ∠x=65ù

∴ ∠y=65ù-40ù=25ù

④

1 ⑤

8`cm이다.

A

수직과 수선

본문 23쪽

④ 점 D와 BCÓ 사이의 거리는 ABÓ의 길이와 같으므로

1 ∠x+30ù=2∠x-40ù ∴ ∠x=70ù

1 ⑤ 점 B와 선분 CD 사이의 거리는 BHÓ의 길이이다.

2 ∠x=180ù-(90ù+65ù)=25ù, ∠y=90ù+25ù=115ù

∴ ∠x+∠y=25ù+115ù=140ù

B

맞꼭지각의 쌍의 개수

본문 21쪽

B

맞꼭지각과 수직, 수선

본문 23쪽

∠AOE와 ∠BOF, ∠AOD와 ∠BOC의 6쌍이다.

∠BOC=∠AOC-∠AOB=90ù-20ù=70ù

∠AOC=90ù이고 ∠AOB=∠DOE=20ù(맞꼭지각)

6쌍

3 ③

∠AOF와 ∠BOE, ∠AOC와 ∠BOD,

∠COE와 ∠DOF, ∠COF와 ∠DOE,
[다른 풀이]
(맞꼭지각의 쌍의 개수)=3_(3-1)=6(쌍)

3 (맞꼭지각의 쌍의 개수)=5_(5-1)=20(쌍)

70ù

2 60ù

이므로

2 ∠y=∠DOE=75ù(맞꼭지각)

∠x=∠AOC-∠y=90ù-75ù=15ù

∴ ∠y-∠x=75ù-15ù=60ù

정답과 풀이 5

A

점과 직선의 위치 관계

본문 25쪽

이 중 모서리 BC와 평행하면서 모서리 CG와 꼬인 위치에

⑴ 점 A, 점 B ⑵ 점 B, 점 D ⑶ 점 B

있는 모서리는 모서리 AD, EH이다.

7

CHECK

평면에서 점과 직선, 두 직선의 위치 관계 본문 24쪽

1 ⑴ 점 A, 점 B, 점 C ⑵ 점 P, 점 Q

2 ⑴ 한 점에서 만난다. ⑵ 점 C ⑶ BCê

⑷ ADê, BCê, CDê

1 ③ 직선 l은 점 D를 지난다.

1 ③

5

B

평면에서 두 직선의 위치 관계

본문 25쪽

2 ⑴ 변 AB, 변 DC ⑵ 변 DC

직선 AB와 한 점에서 만나는 직선은 직선 AF, BC, CD,

FE이므로 a=4

∴ a+b=4+1=5

직선 CD와 평행한 직선은 직선 AF이므로 b=1

8

CHECK

공간에서 두 직선의 위치 관계 본문 26쪽

1 ⑴ 모서리 AD, AE, BC, BF

⑵ 모서리 DC, EF, HG

⑶ 모서리 CG, DH, FG, EH

2 ⑴ 모서리 BE, DE, EF ⑵ 모서리 BC, EF

A

꼬인 위치에 있는 모서리

본문 27쪽

ADÓ, EHÓ

1 ④, ⑤

EH이므로

모서리 BC와 평행한 모서리는 모서리 AD, FG, EH이고

CG와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AB, AD, EF,

1 모서리 OA와 만나지도 않고 평행하지도 않은 모서리는

BCÓ, CDÓ이다.

B

공간에서 두 직선의 위치 관계 ⑴

본문 27쪽

11

2 9

모서리 BC와 평행한 모서리는 모서리 FE, HI, LK의 3개

모서리 BC와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AG,

FL, EK, DJ, GH, JK, IJ, LG의 8개

∴ a+b=3+8=11

2 모서리 BF와 수직인 모서리는 AB, BC, EF, FG의 4개

모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 CG,

DH, EH, FG, GH의 5개

∴ a+b=4+5=9

1 ⑴ 점 A 또는 점 B를 지나는 모서리이므로 모서리 AD,

AE, BC, BF

⑵ 모서리 AB와 한 평면 위에 있고 만나지 않는 모서리

이므로 모서리 DC, EF, HG

⑶ 모서리 AB와 만나지도 않고 평행하지도 않은 모서

⑤

3 5

C

전개도에서 두 직선의 위치 관계

본문 28쪽

리이므로 모서리 CG, DH, FG, EH

⑤ 모서리 HE와 모서리 CE는 한 점에서 만난다.

6 Ⅰ . 도형의 기초

3 전개도를 접어서 삼각뿔을 만들면 오른쪽

(cid:34)(cid:9)(cid:36)(cid:13) (cid:38)(cid:10)

A

공간에서 직선과 평면의 위치 관계

본문 30쪽

그림과 같다.

모서리 AB와 한 점에서 만나는 모서리는

(cid:35)

(cid:39)

모서리 AD, AF, BD, BF이므로 a=4

(cid:37)

꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 DF이므로 b=1

∴ a+b=4+1=5

③, ④

1 10

2개이다.

개

념

탑

① 모서리 BC와 평행한 면은 면 FLKE, 면 GHIJKL의

② 면 ABCDEF와 점 J 사이의 거리는 DJÓ이다.

⑤ 면 FLKE와 면 AGLF의 교선은 FLÓ이다.

1 면 AEGC와 한 점에서 만나는 모서리는 모서리 AB, BC,

CD, AD, EF, FG, GH, EH이므로 a=8

모서리 CD와 수직인 면은 면 BFGC, 면 AEHD이므로

b=2

∴ a+b=8+2=10

D

공간에서 두 직선의 위치 관계 ⑵

본문 28쪽

③, ⑤

4 ④, ⑤

① 평행한 두 직선은 한 평면 위에 있지만 만나지 않는다.

② 평행한 두 직선은 만나지 않지만 한 평면 위에 있다.

④ 꼬인 위치에 있는 두 직선을 포함하는 평면은 없다.

4 ④ 평행하거나 만날 수도 있다.

⑤ 만나거나 꼬인 위치에 있을 수도 있다.

B

공간에서 여러 가지 위치 관계

본문 30쪽

공간에서 직선과 평면의 위치 관계 본문 29쪽

9

CHECK

1 ⑴ 면 ABCD, 면 BFGC

⑵ 면 ABCD, 면 EFGH

⑶ 면 AEHD, 면 CGHD

⑷ 면 ABFE, 면 CGHD

2 ⑴ 면 ABC ⑵ 면 ADEB, 면 BEFC, 면 ADFC

ㄴ, ㄷ

2 ㄷ

⑶ EFÓ

1 ⑴

(cid:35)

(cid:36)

⑶

(cid:35)

(cid:39)

면 ABCD, 면 BFGC

면 ABCD, 면 EFGH

⑵

(cid:34)

⑷

(cid:37)

(cid:41)

(cid:37)

ㄱ. 두 직선 l, m은 만나거나 평행할 수도 있고, 꼬인 위치

에 있을 수도 있다.

ㄹ. 직선 m과 평면 P는 평행하거나 직선 m이 평면 P에

포함될 수도 있다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

2 ㄱ. 두 평면 Q, R는 서로 평행하거나 만날 수도 있다.

ㄴ. 두 평면 P, Q는 서로 평행하거나 한 직선에서 만날 수

도 있다.

ㄹ. 두 평면 P, R는 수직으로 만난다.

정답과 풀이 7

면 AEHD, 면 CGHD

면 ABFE, 면 CGHD

따라서 옳은 것은 ㄷ이다.

10

CHECK

동위각과 엇각

본문 31쪽

평행선의 성질

본문 33쪽

1 ⑴ ∠d=80ù ⑵ ∠b=120ù ⑶ ∠f=100ù

1 ⑴ ∠x=45ù, ∠y=60ù ⑵ ∠x=60ù, ∠y=75ù

11

CHECK

⑷ ∠d=80ù

2 ⑴ ∠g=70ù, ∠j=50ù ⑵ ∠f=110ù, ∠i=130ù

1 ⑴ (∠a의 동위각)=∠d=180ù-100ù=80ù

⑵ (∠e의 동위각)=∠b=180ù-60ù=120ù

⑶ (∠c의 엇각)=∠f=100ù

⑷ (∠b의 엇각)=∠d=80ù

2 ⑴ ∠b의 동위각은 ∠g, ∠j이고 각의 크기는 각각

∠g=180ù-110ù=70ù, ∠j=50ù

∠f=110ù, ∠i=180ù-50ù=130ù

2 ⑴ 직선 n, 직선 k ⑵ 직선 k

1 ⑴ 오른쪽 그림에서

∠x=45ù

∠y=180ù-120ù=60ù

⑵ 오른쪽 그림에서

∠x=60ù

∠y =180ù-(45ù+60ù)

=75ù

k는 동위각의 크기가 120ù로

같으므로 평행하다.

∴ 직선 n, 직선 k

(cid:90)

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:89)

(cid:21)(cid:22)(cid:177)

(cid:23)(cid:17)(cid:177)

(cid:21)(cid:22)(cid:177)

(cid:21)(cid:22)(cid:177)

(cid:23)(cid:17)(cid:177)

(cid:90)

(cid:89)

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:18)(cid:18)(cid:22)(cid:177)

(cid:23)(cid:22)(cid:177)

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:23)(cid:17)(cid:177)

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:77)

(cid:78)

(cid:77)

(cid:78)

(cid:77)

(cid:78)

(cid:79)

(cid:76)

⑵ 두 직선 l과 k는 엇각의 크기가 60ù로 같으므로 평행

⑵ ∠c의 엇각은 ∠f, ∠i이고 각의 크기는 각각

2 ⑴ 오른쪽 그림에서 세 직선 l, n,

A

동위각, 엇각의 크기

본문 32쪽

하다.

∴ 직선 k

∠FGB의 동위각의 크기는 ∠DHB=70ù

∠CHB의 엇각의 크기는 ∠AGF=130ù

∴ 70ù+130ù=200ù

1 ⑤ ∠e=180ù-120ù=60ù

200ù

1 ⑤

220ù

2 ②

B

세 직선이 세 점에서 만날 때 동위각,

엇각의 크기

본문 32쪽

1 오른쪽 그림에서

∠x=180ù-52ù=128ù

오른쪽 그림에서 ∠x의 엇각의 크기

는 180ù-85ù=95ù, 125ù이므로 그

합은 95ù+125ù=220ù이다.

(cid:25)(cid:22)(cid:177)

(cid:18)(cid:25)(cid:17)(cid:177)(cid:14)(cid:25)(cid:22)(cid:177)

(cid:89)

(cid:18)(cid:19)(cid:22)(cid:177)

2 ② ∠b와 ∠f 는 동위각이지만 크기가 같은지는 알 수 없다.

8 Ⅰ . 도형의 기초

20ù

2 85ù

A

평행선에서 동위각, 엇각의 크기

본문 34쪽

55ù

1 128ù

오른쪽 그림에서

50ù+∠x+75ù=180ù

∴ ∠x=55ù

(cid:22)(cid:17)(cid:177)

(cid:24)(cid:22)(cid:177)

(cid:89)

(cid:22)(cid:17)(cid:177)

(cid:24)(cid:22)(cid:177)

(cid:77)

(cid:78)

(cid:77)

(cid:78)

(cid:89)

(cid:22)(cid:19)(cid:177)

(cid:22)(cid:19)(cid:177)

(cid:79)

(cid:89)

(cid:76)

B

평행선에서 삼각형의 성질

본문 34쪽

(cid:21)(cid:22)(cid:177)

(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:22)(cid:177)

(cid:23)(cid:89)(cid:14)(cid:22)(cid:17)(cid:177)

(cid:23)(cid:89)(cid:14)(cid:22)(cid:17)(cid:177)

(cid:77)

5 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m

에 평행한 직선 n을 그으면

+(6∠x-50ù)=180ù

(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:22)(cid:177)

120ù=(2∠x-15ù)

+(3∠x+10ù)

5∠x=125ù ∴ ∠x=25ù

(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:22)(cid:177)

(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:22)(cid:177)

(cid:20)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:17)(cid:177)

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:20)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:17)(cid:177)

(cid:77)

(cid:79)

(cid:78)

개

념

탑

오른쪽 그림에서

45ù+(2∠x+25ù)

이므로 8∠x=160ù

∴ ∠x=20ù

2 오른쪽 그림에서

∠x=40ù+45ù=85ù

(cid:21)(cid:22)(cid:177)

(cid:21)(cid:17)(cid:177)

(cid:89)

(cid:21)(cid:17)(cid:177)

④ 엇각의 크기가 같지 않으므로 두 직선 l, m은 평행하지

6 ⑴ 111ù ⑵ 65ù

7 ②

8 ①

C

평행선이 되기 위한 조건

본문 35쪽

④

3 ②

않다.

하다.

3 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, k의

엇각의 크기가 50ù로 같으므로 평행

(cid:18)(cid:20)(cid:17)(cid:177)

(cid:22)(cid:17)(cid:177)

(cid:22)(cid:19)(cid:177)

(cid:22)(cid:21)(cid:177)

(cid:22)(cid:17)(cid:177)

D

평행선에서 보조선을 1개 긋는 경우

본문 35쪽

60ù

4 85ù

5 ④

오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m과

평행한 직선 n을 그으면

∠x=25ù+35ù=60ù

4 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m

과 평행한 직선 n을 그으면

∠x=65ù+20ù=85ù

(cid:19)(cid:22)(cid:177)

(cid:19)(cid:22)(cid:177)

(cid:20)(cid:22)(cid:177)

(cid:89)

(cid:20)(cid:22)(cid:177)

(cid:23)(cid:22)(cid:177)

(cid:23)(cid:22)(cid:177)

(cid:89)

(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:19)(cid:17)(cid:177)

E

평행선에서 보조선을 2개 긋는 경우

본문 36쪽

30ù

오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m

(cid:89)

에 평행한 두 직선 n, k를 그으면

∠x=96ù-66ù=30ù

(cid:23)(cid:23)(cid:177) (cid:18)(cid:20)(cid:17)(cid:177)(cid:14)(cid:23)(cid:21)(cid:177)(cid:30)(cid:23)(cid:23)(cid:177)

(cid:26)(cid:23)(cid:177)

(cid:23)(cid:21)(cid:177)

(cid:23)(cid:21)(cid:177)

(cid:77)

(cid:79)

(cid:76)

(cid:78)

6 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m

에 평행한 두 직선 n, k를 그으면

∠x=86ù+25ù=111ù

⑵ 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m

에 평행한 두 직선 n, k를 그으면

∠x=20ù+45ù=65ù

(cid:18)(cid:23)(cid:177)

(cid:18)(cid:23)(cid:177)

(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:177)

(cid:26)(cid:21)(cid:177)

(cid:26)(cid:21)(cid:177)

(cid:25)(cid:23)(cid:177)

(cid:89)

(cid:19)(cid:22)(cid:177)

(cid:19)(cid:22)(cid:177)

(cid:20)(cid:22)(cid:177)

(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:177)

(cid:20)(cid:22)(cid:177)

(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:22)(cid:22)(cid:177)

(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:89)

(cid:21)(cid:22)(cid:177)

(cid:21)(cid:22)(cid:177)

7 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에

평행한 두 직선 n, k를 그으면

180ù=(2∠x+10ù)+(∠x-28ù)

(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:17)(cid:177)

(cid:89)(cid:14)(cid:19)(cid:25)(cid:177)

(cid:89)

(cid:19)(cid:25)(cid:177)

(cid:89)(cid:14)(cid:19)(cid:25)(cid:177)

(cid:19)(cid:25)(cid:177)

(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:17)(cid:177)

(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:25)(cid:177)

3∠x=198ù ∴ ∠x=66ù

(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:17)(cid:177)

8 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에

평행한 두 직선 n, k를 그으면

∠x=40ù

(cid:20)(cid:17)(cid:177)

(cid:21)(cid:17)(cid:177)

(cid:20)(cid:17)(cid:177)

(cid:24)(cid:17)(cid:177)

(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:177)

(cid:21)(cid:17)(cid:177)

(cid:89)

정답과 풀이 9

(cid:77)

(cid:79)

(cid:76)

(cid:78)

(cid:77)

(cid:79)

(cid:76)

(cid:78)

(cid:77)

(cid:79)

(cid:76)

(cid:78)

(cid:77)

(cid:79)

(cid:76)

(cid:78)

(cid:78)

(cid:77)

(cid:78)

(cid:77)

(cid:78)

(cid:79)

(cid:76)

(cid:77)

(cid:79)

(cid:78)

(cid:77)

(cid:79)

(cid:78)

F

종이 접기

68ù

9 26ù

10 20ù

본문 37쪽

02 ③ `ACÓ：점 A와 점 C를 양 끝점으로 하는 선분

④ `CA¯：점 C를 시작점으로 하여 점 A의 방향으로 뻗어

나가는 반직선

(cid:37)

(cid:36)

(cid:37)

(cid:36)

오른쪽 그림과 같이

∠GEF=∠FEC=56ù(접은 각)

ADÓBCÓ이므로

∠GFE=∠FEC=56ù(엇각)

(cid:34)

(cid:35)

(cid:40)

(cid:22)(cid:23)(cid:177)

(cid:22)(cid:23)(cid:177)

(cid:39)

(cid:22)(cid:23)(cid:177)

(cid:38)

△GEF의 세 내각의 크기의 합이 180ù이므로

∠EGF+56ù+56ù=180ù ∴ ∠EGF=68ù

9 오른쪽 그림과 같이

∠EGF =∠AGH

=128ù(맞꼭지각)

∠FEC=∠x(접은 각)

∠GFE=∠FEC=∠x(엇각)

이므로 △GEF에서

(cid:41)

(cid:18)(cid:19)(cid:25)(cid:177)

(cid:89)

(cid:39)

(cid:34)

(cid:35)

(cid:18)(cid:19)(cid:25)(cid:177)

(cid:40)

(cid:89)

(cid:89)

(cid:38)

∠x+∠x+128ù=180ù ∴ ∠x=26ù

10 오른쪽 그림에서

100ù=80ù+∠x

∴ ∠x=20ù

(cid:89)

(cid:25)(cid:17)(cid:177)

(cid:25)(cid:17)(cid:177)

(cid:18)(cid:17)(cid:17)(cid:177)

01 2

05 ⑤

09 ④

02 ③, ④ 03 6`cm

06 ③, ⑤ 07 11

11 ①

10 210ù

04 ③

08 ⑤

12 75ù

01 교점의 개수는 오각기둥의 꼭짓점의 개수와 같으므로

a=10

교선의 개수는 오각기둥의 모서리의 개수와 같으므로

b=15

면의 개수는 5+2=7(개)이므로 c=7

∴ a-b+c=10-15+7=2

10 Ⅰ . 도형의 기초

03 오른쪽 그림에서

MNÓ=MBÓ+BNÓ

(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:34) (cid:46) (cid:35)

(cid:47)

(cid:36)

ABÓ+

BCÓ

=

;2!;

=

;2!;

;2!;

;2!;

ACÓ=

_12=6(cm)

04 90ù-∠x=3∠x+10ù, 4∠x=80ù

∴ ∠x=20ù

05 ⑤ 점 A와 `BCÓ 사이의 거리를 나타내는 선분은 ABÓ이다.

06 두 점 Q, S를 지나는 직선과 평행한 직선은 직선 m이므로

그 직선 위의 점은 점 R, 점 T이다.

07 모서리 BG와 한 점에서 만나는 모서리는 모서리 AB,

BC, GF, GH이므로 a=4

모서리 AE와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 GF,

GH, HI, IJ, BG, CH, DI이므로 b=7

∴ a+b=4+7=11

08 ⑤ 면 DIJE와 모서리 GF는 평행하다.

09 ① 모서리 AB와 모서리 GH는 평행하다.

② 모서리 FG는 면 BFGC에 포함된다.

③ 모서리 AD와 모서리 CG는 꼬인 위치에 있다.

10 오른쪽 그림과 같이

lm이므로 ∠x=100ù

mn이므로

∠y+∠z=180ù-70ù=110ù

∴ ∠x+∠y+∠z=210ù

(cid:18)(cid:17)(cid:17)(cid:177)

(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:177)

(cid:24)(cid:17)(cid:177)

(cid:91)

(cid:89)

(cid:90)

11 ∠y=26ù(맞꼭지각)

두 직선 l, m에 평행한 두 직선 n,

k를 그으면

∠x=70ù-24ù=46ù

(cid:24)(cid:17)(cid:177)

(cid:89)

(cid:21)(cid:23)(cid:177)

(cid:19)(cid:21)(cid:177)

(cid:19)(cid:21)(cid:177)

(cid:19)(cid:23)(cid:177)

(cid:90)

(cid:22)(cid:17)(cid:177)

(cid:19)(cid:23)(cid:177)

(cid:19)(cid:23)(cid:177)

(cid:77)

(cid:78)

(cid:79)

(cid:77)

(cid:79)

(cid:76)

(cid:78)

기본 다지기 문제

본문 40~41쪽

⑤ 모서리 BF와 면 AEHD는 평행하다.

∴ ∠x+∠y=46ù+26ù=72ù

12 ∠x+∠x+30ù=180ù

2∠x=150ù

∴ ∠x=75ù

(cid:20)(cid:17)(cid:177)

(cid:20)(cid:17)(cid:177)

(cid:89) (cid:89)

kl이므로 ∠b=180ù-60ù=120ù

(cid:26)(cid:22)(cid:177)

5 오른쪽 그림과 같이

kl, mn이므로

∠a=180ù-95ù=85ù

kl, mn이므로

∠c=180ù-(95ù+60ù)=25ù

∴ ∠a+∠b+∠c

=85ù+120ù+25ù=230ù

(cid:78)

(cid:79)

(cid:26)(cid:22)(cid:177)

(cid:19)(cid:22)(cid:177)

(cid:66)

(cid:23)(cid:17)(cid:177)

(cid:26)(cid:22)(cid:177)

(cid:76)

(cid:23)(cid:17)(cid:177)

(cid:67)

(cid:77)

(cid:68)

개

념

탑

실력 올리기 문제

본문 42~43쪽

라 하면 △ABC에서

2 20분 후 3 ②, ⑤

1 10개

6 60ù

5 230ù

8 ① 모서리 AB, DC, HG / 3, 3

7 180ù

② 면 AEHD, 면 BFGC / 2, 2

4 ③, ⑤

③ 3+2, 5

③ 30`cm

9 ① APÓ=

;5@;

ABÓ, AQÓ=

ABÓ ② PQÓ=

ABÓ

;1¢5;

;3@;

6 오른쪽 그림과 같이 점 C를 지나면

서 두 직선 l, m에 평행한 직선 n을

긋고 ∠DAC=∠a, ∠CBE=∠b

(cid:34)

(cid:66)

(cid:19)(cid:66)

(cid:37)

(cid:38)

(cid:36)

(cid:66)

(cid:67)

(cid:19)(cid:67)

(cid:67)

(cid:35)

(cid:77)

(cid:79)

(cid:78)

3∠a+3∠b=180ù, ∠a+∠b=60ù

∴ ∠ACB=∠a+∠b=60ù

7 오른쪽 그림과 같이 보조선을 이

∠a+∠b+∠c+∠d+∠e

용하면

=180ù

(cid:66)

(cid:77)

(cid:66) ∠(cid:68)(cid:12)∠(cid:69)(cid:12)∠(cid:70)

∠(cid:69)(cid:12)∠(cid:70)

(cid:67)

(cid:68)

(cid:70)

(cid:69)

(cid:70)

(cid:78)

8 ① 모서리 EF와 평행한 모서리는 모서리 AB, DC, HG의

3개이므로 `a=3

개이므로 `b=2

③ a+b=3+2=5

9 ① APÓ=

;5@;

`ABÓ, AQÓ=

`ABÓ

;3@;

1 PQÓ, PRÓ, PSÓ, PTÓ, QRÓ, QSÓ, QTÓ, RSÓ, RTÓ, STÓ로 10개

② 모서리 EF와 수직인 면은 면 AEHD, 면 BFGC의 2

2 구하는 시각을 4시 x분이라 하면

시침이 시계의 12를 가리킬 때부터 움직인 각도는

30ù_4+0.5ù_x=120ù+0.5ù_x

분침이 움직인 각도는 6ù_x

시침과 분침이 이루는 각의 크기가 처음으로 10ù가 될 때는

② PQÓ=AQÓ-APÓ=

ABÓ-

ABÓ=

ABÓ

;3@;

;5@;

;1¢5;

(120ù+0.5ù_x)-6ù_x=10ù이므로

5.5ù_x=110ù ∴ x=20

③ 따라서 PQÓ=

ABÓ=8`cm이므로

;1¢5;

따라서 시침과 분침이 이루는 각의 크기가 처음으로 10ù가

ABÓ=

_8=30(cm)

;;Á4°;;

될 때는 지금으로부터 20분 후이다.

3 ② 모서리 AB와 모서리 CG는 꼬인 위치에 있다.

⑤ 모서리 CG와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AB,

AE, BE, DE, EF의 5개이다.

4 ③ 평행하거나 만나거나 꼬인 위치에 있을 수도 있다.

⑤ 꼬인 위치에 있거나 평행하거나 만날 수도 있다.

정답과 풀이 11

2 작도와 합동

A

삼각형의 대각과 대변

본문 49쪽

6`cm, ∠C

1 ⑤

작도

1

CHECK

1 컴퍼스

∠B의 대변의 길이는 ACÓ=6`cm

본문 46쪽

ABÓ의 대각은 ∠C

2 ⑴ ㉠, ㉣, ㉢ ⑵ OQÓ, O’P’Ó

1 ⑤ QRÓ의 대각은 ∠P로 그 크기는 70ù이다.

A

길이가 같은 선분의 작도

본문 47쪽

㉡ → ㉢ → ㉠

1 ㉣ → ㉢ → ㉠ → ㉡

(cid:34)

(cid:34)



(cid:77)

(cid:77)

(cid:35)

(cid:35)

(cid:49)

(cid:49)

∴ ㉡ → ㉢ → ㉠

㉢

㉢

㉠

㉠

(cid:50)

(cid:50)

㉡ ∴ ABÓ=PQÓ

㉡

1 ㉣ 임의의 직선을 긋는다.

㉢ 직선 위에 두 점 A, B를 잡아 그 길이를 잰다.

㉠ 두 점 A, B를 중심으로 각각 반지름의 길이가 ABÓ인 원

을 그려 그 교점을 C라고 한다.

㉡ ACÓ, BCÓ를 긋는다.

∴ ㉣ → ㉢ → ㉠ → ㉡

B

삼각형이 될 수 있는 조건

본문 49쪽

③ 7+2<12이므로 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 크다. 따라서 삼각형을 작도할 수 없다. 2 (2, 4, 5), (2, 4, 6), (2, 5, 6), (4, 5, 6) 중에서 (2, 4, 6)은 2+4=6이므로 삼각형을 작도할 수 없다. 따라서 작도할 수 있는 삼각형의 개수는 3개이다. B 평행선의 작도 본문 47쪽 C 삼각형에서 미지수의 범위 본문 50쪽 ② 2 ④ ② CDÓ=ABÓ 삼각형의 작도 2 CHECK 1 ⑴ ∠B ⑵ ABÓ ⑶ ∠C ⑷ ACÓ 2 ⑴ × ⑵  ⑶ × ⑷  12 Ⅰ . 도형의 기초 삼각형이 만들어지려면 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변 의 길이의 합보다 작아야 한다. Ú x cm가 가장 긴 변의 길이이면 4+7>x ∴ x<11 본문 48쪽 Û 7 cm가 가장 긴 변의 길이이면 따라서 x의 값의 범위는 37 ∴ x>3

5, 6, 7, 8, 9, 10의 7개이다.

③

2 3개

7개

3 ①

3 Ú x cm가 가장 긴 변의 길이이면`

5+11>x ∴ x<16 Û 11 cm가 가장 긴 변의 길이이면 5+x>11 ∴ x>6

따라서 x의 값의 범위는 60

② 가장 긴 변의 길이가 x+2일 때

9 ① △ABE와 △ADC에서` ABÓ=ADÓ, AEÓ=ACÓ

∠BAE=∠BAC+60ù=∠DAC

∴ △ABEª△ADC`(SAS 합동)

② △ABEª△ADC이므로 BEÓ에 대응하는 변은 DCÓ이

다.

따라서 BEÓ와 길이가 같은 선분은 DCÓ이다.

△OABª△OCD(SAS 합동)

∴ ∠A=∠C=40ù

∴ ∠B=180ù-(110ù+40ù)=30ù

12 △OABª△ODC(SAS 합동)

△BDAª△CAD(SAS 합동)

△ABCª△DCB(SAS 합동)

실력 올리기 문제

본문 61~62쪽

1 ㉦, ㉡, ㉤, ㉥

4 ①

8 ① 9, (x+2)+7, x>0 ② x+2, 7+9, x<14 2 ④ 6 60ù 3 ③ 7 90ù 5 4`cmÛ` ③ 0AEÓ, 즉 3CDÓ+AEÓ

D

원에 평행선이 있는 경우 호의 길이

구하기

본문 98쪽

2pr=14p ∴ r=7

∴ (원 O의 넓이)=prÛ`=p_7Û`=49p(cmÛ`)

1 원의 반지름의 길이를` r`cm라 하면

prÛ`=81p ∴ r=9 (∵ r>0)

따라서 원의 둘레의 길이는 2p_9=18p(cm)

개

념

탑

2`cm

4 ⑤

∠COD=100ù이고` OCÓ

Ó=ODÓ

Ó`이므로

∠OCD=∠ODC=

_(180ù-100ù)=40ù

;2!;

ABÓCDÓ이므로 ∠AOC=∠OCD=40ù`(엇각)`

∴ µAC=18_

=2(cm)

;3¢6¼0;

4 오른쪽 그림에서 OCÓ를 그으면

∠CAO=∠DOB`(동위각)이고

△OCA는 이등변삼각형이므로

∠OCA=∠OAC=30ù

(cid:20)(cid:17)(cid:177)

(cid:36)

(cid:37)

(cid:34)

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:20)(cid:17)(cid:177)

(cid:20)(cid:17)(cid:177)

(cid:48)

(cid:26)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:35)

∠AOC=180ù-2_30ù=120ù이므로

120：30=µAC：9, 30µAC=1080 ∴ µAC=36`cm

3

CHECK

원의 둘레의 길이와 넓이

본문 99쪽

1 ⑴ 4p`cm, 4p`cmÛ` ⑵ 10p`cm, 25p`cmÛ`

2 16p`cm, 64p`cmÛ`

1 ⑴ (원의 둘레의 길이)=2p_2=4p(cm)

(원의 넓이)=p_2Û`=4p(cmÛ`)

⑵ (원의 둘레의 길이)=2p_5=10p(cm)

(원의 넓이)=p_5Û`=25p(cmÛ`)

2 (원의 둘레의 길이)=2p_8=16p(cm)

(원의 넓이)=p_8Û`=64p(cmÛ`)

B

색칠한 부분의 둘레의 길이와 넓이

본문 100쪽

⑴ 32p`cm ⑵ 32p`cmÛ`

2 24p`cm, 48p`cmÛ`

⑴ 2p_8+2p_4_2=32p(cm)

⑵ p_8Û`-p_4Û`_2=32p(cmÛ`)

2 오른쪽 그림에서 ABÓ=24`cm이고

두 점 C, D가 ABÓ를 삼등분하므로

ACÓ=CDÓ=DBÓ=8`cm

∴ (색칠한 부분의 둘레의 길이)

(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:37)

(cid:35)

(cid:34)

(cid:48)(cid:36)

=2p_8+2p_4=24p(cm),

(색칠한 부분의 넓이)=p_8Û`-p_4Û`=48p(cmÛ`)

부채꼴의 호의 길이와 넓이

본문 101쪽

4

CHECK

1 ⑴

p`cm ⑵ 4p`cm

;2%;

2 ⑴ 3p`cmÛ` ⑵ 30p`cmÛ`

3 20p`cmÛ`

1 ⑴ 2p_9_

;3°6¼0;

=

;2%;

p(cm)

⑵ 2p_3_

=4p(cm)

;3@6$0);

2 ⑴ p_3Û`_

=3p(cmÛ`)

⑵ p_6Û`_

=30p(cmÛ`)

;3!6@0);

;3#6)0);

A

원의 둘레의 길이와 넓이

본문 100쪽

④

1 18p`cm

3 부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l, 넓이를 S

라 하면

S=

rl=

_5_8p=20p(cmÛ`)

;2!;

;2!;

정답과 풀이 27

A

부채꼴의 호의 길이

본문 102쪽

9

1 90ù

호의 길이가 3p`cm이므로

2p_x_

=3p ∴ x=9

;3¤6¼0;

1 호의 길이가 6p`cm이므로

2p_12_

;36{0;

=6p ∴ ∠x=90ù

3 ⑴ (둘레의 길이)

=2p_4_

+2p_8_

;3@6$0);

;3@6$0);

+2p_12_

+12_2

;3!6@0);

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

=

p

;;Á3¤;;

+;;£3ª;;

p+8p+24=24p+24(cm)

(넓이)=p_12Û`_

=48p(cmÛ`)

;3!6@0);

⑵ (둘레의 길이) =2p_7+14_2

=14p+28(cm)

(넓이)=

_14_14=98(cmÛ`)

;2!;

(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

B

부채꼴의 넓이

본문 102쪽

D

부채꼴의 호의 길이와 넓이의 응용

본문 103쪽

90ù

2 60p`cmÛ`

중심각의 크기를 ∠x라 하면

p_8Û`_

=16p ∴ ∠x=90ù

;36{0;

2 원 O의 둘레의 길이가 2p_15=30p(cm)이므로

µAC=30p_

=8p(cm)

4

6+5+4

∴ (색칠한 부분의 넓이)=

_15_8p=60p(cmÛ`)

;2!;

C

변형된 도형의 둘레의 길이와 넓이

구하기

(6p+6)`cm,

p`cmÛ`

;2(;

3 ⑴ (24p+24)`cm, 48p`cmÛ`

⑵ (14p+28)`cm, 98`cmÛ`

(둘레의 길이)=2p_6_

+2p_3_

+6

;3»6¼0;

;2!;

=6p+6(cm)

(넓이)=( 의 넓이)-( 의 넓이)

=p_6Û`_

-p_3Û`_

;3»6¼0;

;2!;

=

;2(;

p(cmÛ`)

28 ⅠⅠ . 평면도형

(12p+36)`cm

4 (52+4p)`cmÛ`

오른쪽 그림에서 끈의 최소 길이는

3개의 호와 3개의 선분으로 이루

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

어져 있으므로

2p_6_

{

;3!6@0);}

_3+12_3

=12p+36(cm)

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

4 오른쪽 그림에서 원이 지나간 부분은

4개의 직사각형과 4개의 부채꼴로 이

루어져 있으므로 구하는 넓이는

2_(2_8+2_5)+p_2Û`

(cid:18)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

기본 다지기 문제

본문 106~108쪽

02 풀이 참조

05 110ù

09 ⑤

01 ①

04 ①

08 ①

12 (72+36p)cm

15 8p

18 12p`cm

16 ②

03 ④

07 12`cmÛ

11 10p+6

14 ①

06 ④

10 ①

13 ①

17 (6p+36)cm

본문 103쪽

=52+4p(cmÛ`)

01 ② 한 원에서 중심각의 크기가 180ù인 부채꼴의 넓이는 그

∴ (부채꼴 AOE의 넓이)：(부채꼴 AOB의 넓이)

=∠AOE：∠AOB=4∠x：(90ù-∠x)

③ 한 원에서 중심각의 크기와 그 중심각에 대한 현의 길이

=120ù：60ù=2：1

개

념

탑

④ 한 원에서 호의 길이는 그 호에 대한 중심각의 크기에

⑤ 원의 호와 현으로 둘러싸인 도형을 활꼴이라 한다.

09 ⑤ 삼각형의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하지 않으므로

△AOC+

;2!;△COG

반원의 넓이와 같다.

는 정비례하지 않는다.

정비례한다.

02 미경 : 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않으므로

ABÓ+3 CDÓ야.

10 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l이라 하면

(부채꼴의 넓이)=

_6_5=15(cmÛ`)

rl=

;2!;

;2!;

(cid:36)

(cid:22)(cid:17)(cid:177)

(cid:37)

(cid:22)(cid:17)(cid:177)

(cid:34)

(cid:22)(cid:17)(cid:177)

(cid:22)(cid:17)(cid:177)

(cid:48)

(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:35)

03 µAC`:`µ BC=10`:`2=5`:`1

5

∴ ∠AOC=180ù_

5+1

=150ù

04 오른쪽 그림에서 ACÓODÓ이므로

∠OAC=∠BOD=50ù(동위각),

OAÓ=OCÓ이므로

∠OCA=∠OAC=50ù

∠COD=∠OCA=50ù(엇각)

호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로

µ CD=µ BD=4`cm

05 ∠AOB：∠BOC：∠COA

=µAB：µ BC：µ CA=11：12：13

∴ ∠AOB=360ù_

11

11+12+13

=110ù

06 ∠AOB+∠COD=180ù-85ù=95ù이고

∠AOB`:`∠COD=µAB`:`µ CD=2`:`3이므로

∠AOB=95ù_

=38ù

2

2+3

07 부채꼴 AOJ의 넓이가 9`cmÛ`이므로 부채꼴 한 개`(AOL)

의 넓이는 3`cmÛ`이다.

따라서 부채꼴 COG의 넓이는 3_4=12(cmÛ`)이다.

14 (색칠한 부분의 넓이)

08 오른쪽 그림에서

∠BOC=∠EOF=∠x (맞꼭지각)

로 놓으면 ∠AOE=4∠x이므로

∠AOF=4∠x-∠x=90ù에서

∠x=30ù

(cid:35)

(cid:36)

(cid:48)(cid:89)

(cid:21)(cid:89)

(cid:89)

(cid:39)

(cid:38)

(cid:34)

(cid:37)

11 (작은 부채꼴의 호의 길이)=2p_6_

=4p

;3!6@0);

(큰 부채꼴의 호의 길이)=2p_9_

=6p

;3!6@0);

∴ (구하는 둘레의 길이)=4p+6p+3_2=10p+6

12 (색칠한 부분의 둘레의 길이) =9_8+2p_9_2

=72+36p(cm)

13 원 O와 원 O’의 둘레의 길이가 20p이

므로

두 원의 반지름의 길이는 모두 10이다.

오른쪽 그림과 같이 ABÓ, O’AÓ, O’BÓ

(cid:48)

(cid:34)

(cid:35)

(cid:48)(cid:8)

를 그으면

△AOB와 △AO’B에서

OAÓ=O’AÓ, OBÓ=O’BÓ, ABÓ는 공통이므로

△AOBª△AO’B (SSS 합동)

따라서 ∠AO’B=90ù이므로

(어두운 부분의 넓이)

=(정사각형 AOBO’의 넓이)-(부채꼴 AO’B의 넓이)

=10Û`-p_10Û`_

=100-25p

;3»6¼0;

= (ABÓ가 지름인 반원의 넓이)+(ACÓ가 지름인 반원의 넓

이)+(△ABC의 넓이)-(BCÓ가 지름인 반원의 넓이)

=p_4Û`_

+p_3Û`_

_8_6-p_5Û`_

+

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

=8p+

p+24-

;2(;

p

;;ª2°;;

=24(cmÛ`)

정답과 풀이 29

15 오른쪽 그림에서

(점 A가 움직인 거리)

=2p_12_

=8p

;3!6@0);

(cid:38)

(cid:36)

(cid:34)

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:23)(cid:17)(cid:177)

(cid:18)(cid:19)

(cid:35)

(cid:37)

16 색칠한 두 부분의 넓이가 같으므로 직사각형 ABCE와 부

채꼴 ABD의 넓이가 같다.

4_x=p_4Û`_

∴ x=p

;3»6¼0;

17 곡선 부분의 길이의 합은 2p_3=6p(cm)

직선 부분의 길이의 합은 12_3=36(cm)

따라서 필요한 끈의 길이의 최솟값은 (6p+36)cm

18 점 O가 움직인 모양은 다음 그림과 같다.

①

②

③

(cid:34)(cid:8)

(cid:48)

(cid:35)(cid:8)

(cid:77)

(cid:34)

(cid:48)

(cid:35)

(cid:23) (cid:68)(cid:78)

따라서 구하는 거리는

2p_6_

+2p_6_

+2p_6_

;3»6¼0;

①

;3!6*0);

②

;3»6¼0;

③

=3p+6p+3p

=12p(cm)

실력 올리기 문제

본문 109~110쪽

1 ②

2 ①

3 ③

4 ②

5 6p`cm

6 :Á2Á:

p`cmÛ`

7 ① µ BC, µ CA, 5`:`2`:`1 ② 360ù_

1

5+2+1

=45ù

③ 360ù_

=90ù ④ 90ù-45ù=45ù

2

5+2+1

8 ① 3p`cmÛ`, 3p`cmÛ` ② (36-6p)cmÛ`

30 ⅠⅠ . 평면도형

1 오른쪽 그림에서 ∠BOD=∠x

라 하면 △DAO는 DAÓ=DOÓ인

이등변삼각형이므로

∠DAO=∠DOA=∠x

(cid:38)

(cid:19)(cid:89)

(cid:19)(cid:89)

(cid:89)

(cid:37)

(cid:35)

(cid:89)

(cid:34)

(cid:20)(cid:89)

(cid:48)

(cid:36)

∠EDO=∠DAO+∠DOA=∠x+∠x=2∠x

OEÓ를 그으면 △ODE는 ODÓ=OEÓ인 이등변삼각형이므로

∠OED=∠ODE=2∠x

△EAO에서

∠EOC=∠EAO+∠AEO=∠x+2∠x=3∠x

부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로

µ BD`:`µ CE =∠BOD`:`∠EOC

=∠x`:`3∠x

=1`:`3

2 작은 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

prÛ`=4p, rÛ`=4 ∴ r=2

큰 원의 반지름의 길이는 3r=3_2=6(cm)

따라서 큰 원의 둘레의 길이는 2p_6=12p(cm)

3 ( 의 넓이)+(

의 넓이)

=p_3Û`_

+

p_6Û`_

-p_3Û`_

;3!6@0);

{

;3@6$0);

;3@6$0);}

=3p+24p-6p

=21p(cmÛ`)

4 구하는 넓이는 오른쪽 그림에서 색칠한 부분의

(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

넓이의 8배이다.

따라서 구하는 넓이는

p_5Û`_

{

;3»6¼0;

;2!;

–

_5_5

_8

}

=

p

{;;ª4°;;

-;;ª2°;;}

_8=50p-100(cmÛ`)

5 점 A가 움직인 모양은 다음 그림과 같다.

(cid:34)

(cid:34)

(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:34)

(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:34)(cid:8)

(cid:77)

따라서 구하는 거리는

2p_3_

+2p_5_

+2p_4_

;3»6¼0;

;3»6¼0;

;3»6¼0;

=

p+

p+2p=6p(cm)

;2#;

;2%;

6 시침이 1시간(=60분) 동안 움직이는 각의 크기는

360ùÖ12=30ù

8 ① BEÓ, ECÓ는 부채꼴 ABE, ECD의 반지름이므로 그 길

이는 모두 6`cm이다. `

7 ① (¨APB의 중심각)`:`(µ BC의 중심각)`:`(µ CA의 중심각)

(부채꼴 ABE의 넓이)=(부채꼴 ECD의 넓이)

10분 동안 시침이 움직인 각의 크기는 30ù_

=5ù

;6!0);

분침이 움직인 각의 크기는 30ù_2=60ù

이때 시침과 분침이 이루는 각의 크기는 60ù-5ù=55ù

따라서 부채꼴의 넓이는 p_6Û`_

=

;3°6°0;

;;Á2Á;;

p(cmÛ`)

=¨APB`:`µ BC`:`µ CA

=5`:`2`:`1

② ∠AOC=∠x

=360ù_

1

5+2+1

=45ù

③ ∠BOC=∠y

=360ù_

2

5+2+1

=90ù

④ ∠y-∠x =90ù-45ù

=45ù

△BCE에서 BEÓ=BCÓ=CEÓ이므로 △BCE는 정삼각형

이다. 즉, ∠EBC=∠ECB=60ù

개

념

탑

∠ABE =∠DCE

=90ù-60ù

=30ù

이므로

=p_6Û`_

;3£6¼0;

=3p(cmÛ`)

② (색칠한 부분의 넓이)

=(사각형 ABCD의 넓이)-{(부채꼴 ABE의 넓이)

+(부채꼴 ECD의 넓이)}

=6_6-3p_2

=36-6p(cmÛ`)

정답과 풀이 31

ⅠⅠⅠ 입체도형

1 다면체와 회전체

B

다면체의 옆면의 모양

본문 115쪽

②, ④

2 ④

다면체

1

CHECK

1 ⑴ 육각기둥, 직사각형, 팔면체

⑵ 오각뿔, 삼각형, 육면체

⑶ 삼각뿔대, 사다리꼴, 오면체

① 오각기둥 － 직사각형 ③ 삼각뿔대 － 사다리꼴

본문 114쪽

⑤ 칠각뿔 － 삼각형

2 ④ 오각뿔대의 옆면의 모양은 사다리꼴이다.

⑴ 밑면이 육각형인 각기둥이므로 육각기둥이고 각기둥의

⑵ 밑면이 오각형인 각뿔이므로 오각뿔이고 각뿔의 옆면은

옆면은 항상 직사각형이다.

∴ 육각기둥, 직사각형, 팔면체

항상 삼각형이다.

∴ 오각뿔, 삼각형, 육면체

⑶ 삼각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 자른 도형, 즉 밑면이

삼각형인 각뿔대이므로 삼각뿔대이고 각뿔대의 옆면은

항상 사다리꼴이다.

∴ 삼각뿔대, 사다리꼴, 오면체

C

다면체의 꼭짓점, 모서리, 면의 개수

본문 116쪽

v=10, e=15, f=7

3 2

4 24개

오른쪽 그림과 같은 오각뿔대에서

꼭짓점의 개수는 10개, 즉 v=10

모서리의 개수는 15개, 즉 e=15

면의 개수는 7개, 즉 f=7

3 사각뿔에서 `v=5, e=8, f=5 ∴ v-e+f=2

4 구하는 각뿔대를 n각뿔대라 하면

n각뿔대의 꼭짓점의 개수는 `2n=16 ∴ n=8

따라서 팔각뿔대이므로 모서리의 개수는 8_3=24(개)

D

조건을 만족하는 다면체 구하기

본문 116쪽

옆면의 모양이 삼각형인 다면체는 각뿔이고 구면체이므로

A

다면체의 이해

본문 115쪽

ㄱ : 육면체, ㄷ : 팔면체, ㅁ : 사면체, ㅂ : 육면체

1 ㄴ, ㄷ, ㅁ

ㄱ. 사각기둥이므로 육면체이다.

ㄷ. 두 개의 사각뿔의 밑면을 붙인 다면체로 팔면체이다.

ㅁ. 삼각뿔이므로 사면체이다.

ㅂ. 사각뿔대이므로 육면체이다.

팔각뿔

5 칠각뿔대

팔각뿔이다.

1 ㄱ. 사면체 ㄹ. 육면체 ㅂ. 육면체 ㅅ. 칠면체 ㅇ. 육면체

따라서 오면체인 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ이다.

5 두 밑면이 서로 평행하고 칠각형이면서 옆면의 모양이 사

다리꼴인 구면체는 칠각뿔대이다.

32 ⅠⅠⅠ . 입체도형

2

CHECK

정다면체

1 풀이 참조

본문 117쪽

정다면체의 전개도

본문 119쪽

1 ⑴ 정육면체 ⑵ 3개 ⑶ 점 M, 점 I ⑷ MLÓ

3

CHECK

2 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 다르다.

1

정사면체 정육면체 정팔면체 정십이면체 정이십면체

는 입체도형이므로 겨냥도를 그리면

(cid:34)(cid:9)(cid:46)(cid:13) (cid:42)(cid:10)

면의 모양

정삼각형 정사각형 정삼각형 정오각형 정삼각형

오른쪽 그림과 같은 정육면체이다.

합동인 정사각형 6개로 이루어져 있

개

념

탑

(cid:47)

(cid:43)(cid:9)(cid:45)(cid:10)

(cid:36)

(cid:44)

(cid:39)

(cid:37)(cid:9)(cid:35)(cid:13) (cid:41)(cid:10)

(cid:38)(cid:9)(cid:40)(cid:10)

한 꼭짓점에 모이는

면의 개수(개)

면의 개수(개)

꼭짓점의 개수(개)

모서리의 개수(개)

3

4

4

6

3

6

8

4

8

6

12

12

3

12

20

30

5

20

12

30

A

정다면체의 전개도 ⑴

⑴ 정사면체, 3 ⑵ F, DAÓ

본문 120쪽

A

정다면체의 성질

⑴  ⑵  ⑶  ⑷ × ⑸ ×

본문 118쪽

1 ⑤

⑷ 면의 모양이 정삼각형인 것은 정사면체, 정팔면체, 정이

꼭짓점에 모이는 면의 개수는 3개이다.

십면체이다.

⑵ 점 A와 겹치는 꼭짓점은 점 F이고, DFÓ와 겹치는 모서

주어진 전개도로 만든 정다면체는 오른쪽

(cid:34)(cid:9)(cid:39)(cid:10)

그림과 같은 정사면체가 되므로

⑴ 정다면체의 이름은 정사면체이고, 한

(cid:37)

(cid:36)

(cid:38)(cid:9)(cid:35)(cid:10)

1 ④

⑸ 모든 면이 합동인 정삼각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면

리는 DAÓ이다.

의 개수가 다르므로 정육면체가 아니다.

1 ④ 정십이면체`-`3개

1 주어진 전개도로 겨냥도를 그리면

오른쪽 그림과 같은 정팔면체이다.

따라서 점 A와 겹치는 꼭짓점은

(cid:34)(cid:9)(cid:42)(cid:10)

(cid:35)(cid:9)(cid:41)(cid:10)

점 I이다.

(cid:37)(cid:9)(cid:39)(cid:10)

(cid:36)(cid:9)(cid:40)(cid:10)

(cid:43)

(cid:38)

B

정다면체의 전개도 ⑵

본문 120쪽

B

조건을 만족하는 정다면체 구하기

본문 118쪽

정이십면체

2 정팔면체

모든 면이 합동인 정삼각형이고, 각 꼭짓점에 모이는 면의

개수가 5개로 같으므로 정다면체이다.

BFÓ

2 5개

따라서 위의 조건을 모두 만족하는 입체도형은 정이십면체

주어진 전개도로 정다면체를 만들면 오른

(cid:34)(cid:9)(cid:36)(cid:13)(cid:38)(cid:10)

이다.

다.

2 모든 면이 합동인 정삼각형이고, 각 꼭짓점에 모이는 면의

개수가 4개로 같으므로 정다면체이다.

따라서 위의 조건을 모두 만족하는 입체도형은 정팔면체이

쪽 그림과 같은 정사면체이므로` CDÓ와 꼬

인 위치에 있는 모서리는 BFÓ이다.

(cid:35)

(cid:39)

2 주어진 전개도로 만들어지는 정다면체는 정이십면체이므

로 한 꼭짓점에 모이는 면의 개수는 5개이다.

(cid:37)

정답과 풀이 33

회전체

4

CHECK

1 ⑴ 원기둥 ⑵ 원뿔 ⑶ 원뿔대 ⑷ 구

㈎ ACÓ ㈏ ABÓ ㈐ BCÓ

⑴ 원기둥

(cid:77)

⑵ 원뿔

(cid:77)

3 ①

본문 122쪽

C

회전축

본문 124쪽

⑶ 원뿔대

(cid:77)

⑷ 구

(cid:77)

㈎

㈏

㈐

(cid:34)

(cid:36)

(cid:34)

(cid:35)

(cid:35)

(cid:36)

(cid:35)

(cid:36)

(cid:34)

축 : ACÓ 축 : ABÓ 축 : BCÓ

3 ①

(cid:34)

(cid:35)

③

(cid:34)

(cid:37)

(cid:36)

(cid:35)

(cid:36)

(cid:37)

(cid:34)

②

(cid:37)

(cid:35) (cid:36)

④

(cid:34)

(cid:37)

(cid:35) (cid:36)

A

회전체 고르기

본문 123쪽

ㄷ, ㄹ

1 4개

ㄷ, ㄹ이다.

②

2 ⑤

ㄱ. 원뿔 ㄴ. 구 ㄷ. 사각기둥 ㄹ. 오각뿔대 ㅁ. 원기둥

따라서 회전체인 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ이고, 회전체가 아닌 것은

원뿔대

4 ②, ③

D

회전체의 단면의 모양

본문 124쪽

1 회전체는 ㄷ, ㅁ, ㅅ, ㅇ의 4개이다.

회전축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면이 원이고

회전축을 포함하는 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면이 두

변의 길이가 같은 사다리꼴이므로 이 회전체는 원뿔대이다.

B

평면도형을 회전시킨 입체도형의 모양

본문 123쪽

4 ② 원뿔대 – 사다리꼴 ③ 반구 – 반원

오른쪽 그림과 같이 직선 l을

(cid:77)

(cid:77)

회전축으로 하여 1회전 시

(cid:8857)

(cid:8857)

키면 평면도형이 회전축에

(단면의 넓이) =(가로의 길이)_(세로의 길이)

서 떨어져 있는 부분은 회전체의 비어 있는 부분이 된다.

=(3+3)_7=42(cmÛ`)

E

회전체의 단면의 넓이 구하기

본문 125쪽

42`cmÛ`

5 24`cmÛ`

2 오른쪽 그림과 같이 회전축을

포함하는 평면으로 자른 단면

의 모양을 그린 다음 한 쪽의

도형만 남긴다.

34 ⅠⅠⅠ . 입체도형

(cid:8857)

(cid:8857)

5 단면은 오른쪽 그림과 같으므로

_(4+8)_4

(단면의 넓이)=

;2!;

=24(cmÛ`)

(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:37)

(cid:34)

(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:35)

(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:36)

F

회전체의 성질

본문 125쪽

①

②

③

④

6 ①, ③

⑤ 그릴 수 없다.

개

념

탑

④ 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면은 직

사각형, 이등변삼각형, 사다리꼴, 원 등 여러 가지이다.

2 전개도로 만든 원기둥은 오른쪽 그림과 같

으므로 회전축을 포함하는 평면으로 잘랐을

(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

6 ① 생기는 회전체는 원뿔이다.

③ 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면은 모두

원이지만 합동은 아니다.

때 생기는 단면의 넓이는

(가로의 길이)_(세로의 길이)

=4_5=20(cmÛ`)

또, 회전축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 넓

이는

(밑면인 원의 넓이)=p_2Û`=4p(cmÛ`)

회전체의 전개도

5

CHECK

1 4p

본문 126쪽

옆면이 되는 직사각형의 가로의 길이는 원기둥의 밑면인

원의 둘레의 길이와 같으므로 2p_2=4p

기본 다지기 문제

본문 132~133쪽

㈎의 삼각형을 직선 l을 회전축으로 하여

따라서 면의 개수가 가장 많은 것은 ⑤이다.

A

회전체의 전개도 ⑴

본문 127쪽

원뿔, a=5, b=3

1 원뿔대, µ BC

1회전 시키면 오른쪽 그림과 같은 원뿔이

된다.

따라서 a는 원뿔의 모선의 길이이므로

a=5이고, b는 밑면인 원의 반지름의 길이이므로 b=3이다.

(cid:21)

(cid:22)

(cid:20)

1 이 회전체는 원뿔대이고 원뿔대의 밑면인 ㈎의 둘레의 길

이는 µ BC의 길이와 같다.

01 ⑤

02 ①

05 ①, ③, ⑤ 06 ③

10 ⑤

09 ⑤

03 팔면체 04 십각기둥

07 IHÓ

11 ②

08 ④

12 ④

01 다면체의 면의 개수는 각각 다음과 같다.

① 4개 ② 7개 ③ 8개 ④ 8개 ⑤ 9개

02 ① 옆면과 밑면이 수직으로 만나는 입체도형은 각기둥이다.

03 구하는 각뿔을 n각뿔이라 하면

n(n-3)

2

=14, n(n-3)=28 ∴ n=7

따라서 밑면이 칠각형인 각뿔, 즉 칠각뿔이므로 팔면체이다.

04 ㈏, ㈐에서 이 입체도형은 각기둥이다.

이 기둥을 n각기둥이라 하면 ㈎에서 십이면체이므로

B

회전체의 전개도 ⑵

본문 127쪽

n+2=12 ∴ n=10

따라서 주어진 입체도형은 십각기둥이다.

④

2 20`cmÛ`, 4p`cmÛ`

05 ①, ③, ⑤ 정삼각형 ② 정사각형 ④ 정오각형

정답과 풀이 35

07 주어진 전개도로 만든 다면체는 오

른쪽 그림과 같이 정팔면체이므로

모서리 AB와 겹치는 모서리는 IHÓ

(cid:34)(cid:9)(cid:42)(cid:10)

(cid:35)(cid:9)(cid:41)(cid:10)

1 주어진 각뿔을 n각뿔이라고 하면 모서리의 개수는 2n개이

고, 면의 개수는 (n+1)개이므로

2n=(n+1)+14 ∴ n=15

이다.

따라서 십오각뿔의 밑면의 모양은 십오각형이다.

(cid:43)

(cid:38)

(cid:37)(cid:9)(cid:39)(cid:10)

(cid:36)(cid:9)(cid:40)(cid:10)

08 주어진 전개도로 만들어지는 정다면체는 정이십면체이다.

④ 모서리의 개수는 30개이다.

2 주어진 전개도로 만들어지는 입체도형은 오른

쪽 그림과 같은 정팔면체이다.

따라서 정팔면체의 각 면의 한가운데에 있는

점을 연결하여 만든 입체도형은 꼭짓점의 개수가 8개인 정

다면체이므로 정육면체이다.

3 v-e+f=2이므로

e, f=

v=

e에서

;5@;

;3@;

;5@;

e-e+

e=

e=2 ∴ e=30

;3@;

;1Á5;

따라서 v=12, f=20이므로 구하는 다면체는 정이십면체

이다.

4 주어진 전개도로 만들어지는 정육면체에서 마주 보는 두

면에 적힌 것은 각각 a와 2, b와 3, c와 1이므로

a+2=7에서 a=5

b+3=7에서 b=4

c+1=7에서 c=6

∴ a-b+c=5-4+6=7

5 주어진 전개도로 만들어지는 정육면체를

세 점 A, B, C를 지나는 평면으로 자를 때

(cid:34)

(cid:36)

생기는 단면은 오른쪽 그림에서 △ABC이

다.

(cid:35)

이때 △ABC는 ABÓ=BCÓ=CAÓ이므로 정삼각형이다.

∴ ∠ABC=60ù

6 오른쪽 그림에서

(부채꼴의 호의 길이)

(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

=(밑면인 원의 둘레의 길이)이므로

2p_x_

=2p_2 ∴ x=8

;3»6¼0;

(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

따라서 2p_(8+8)_

=2pr이므로

;3»6¼0;

r=4

7 주어진 원을 직선 l을 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생기

09

(cid:77)

(cid:77)

(cid:8857)

(cid:8857)

10 ①

②

③

④

11 ①

③

④

⑤

12 ④ 원뿔대를 회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단

면은 모두 원이지만 그 크기는 다를 수 있으므로 항상

합동인 것은 아니다.

실력 올리기 문제

본문 134~135쪽

1 십오각형 2 정육면체 3 정이십면체 4 7

5 60ù

8 ① 12`cm, 3`cm, 12_3=36(cmÛ`), 36

7 16p`cmÛ`

6 4

② 6`cm, p_6Û`=36p(cmÛ`), 36p

③ p

9 ① 육각뿔대 ② 8 ③ 12 ④ 96

36 ⅠⅠⅠ . 입체도형

는 회전체는 가운데가 비어 있는 도넛 모양이다.

이때 원의 중심 O를 지나면서 회전축

에 수직인 평면으로 자른 단면은 오른

쪽 그림과 같으므로

(구하는 단면의 넓이)

=(큰 원의 넓이)-(작은 원의 넓이)

=p_5Û`-p_3Û`

=25p-9p=16p(cmÛ`)

2 ⑴ (밑넓이)=

_4_3=6(cmÛ`)

;2!;

(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

⑵ (옆넓이)=(3+4+5)_7=84(cmÛ`)

(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

⑶ (겉넓이) =(밑넓이)_2+(옆넓이)

=6_2+84=96(cmÛ`)

개

념

탑

8 ① 원기둥을 회전축을 포함하는 평면으로 잘랐을 때 생기

는 단면은 가로의 길이가 12`cm이고, 세로의 길이가

3`cm인 직사각형이므로

440`cmÜ`

1 ⑴ 300`cmÜ` ⑵ 75`cmÜ`

(단면의 넓이)=12_3=36(cmÛ`)에서 a=36

(부피)=(밑넓이)_(높이)

A

각기둥의 부피 구하기

본문 139쪽

② 원기둥을 회전축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 생기는

단면은 반지름의 길이가 6`cm인 원이므로

(단면의 넓이)=p_6Û`=36p(cmÛ`)에서 b=36p

③

=p

;aB;

9 ① 주어진 각뿔대를 n각뿔대라 하면 모서리의 개수가 18개

이므로 3n=18 ∴ n=6

따라서 육각뿔대이다.

② 육각뿔대의 면의 개수는 6+2=8(개)이므로 x=8

③ 꼭짓점의 개수는 6_2=12(개)이므로 y=12

④ ∴ xy=8_12=96

B

각기둥의 겉넓이 구하기

본문 139쪽

=

{;2!;

_6_8+

_8_5

_10=440(cmÜ`)

;2!;

}

1 ⑴ (부피)=(밑넓이)_(높이)

=

_5_12

{;2!;

}

⑵ (부피)=(밑넓이)_(높이)

_10=300(cmÜ`)

=
[;2!;

_(4+6)_3

_5=75(cmÜ`)

]
294`cmÛ`

2 240`cmÛ`

(밑넓이)=

_(5+8)_4=26(cmÛ`)

;2!;

(옆넓이)=(5+4+8+5)_11=242(cmÛ`)

∴ (겉넓이)=26_2+242=294(cmÛ`)

2 (옆넓이) =(밑면의 둘레의 길이)_(높이)

=(4_6)_10=240(cmÛ`)

C

각기둥의 부피를 알 때 높이 구하기

본문 140쪽

정답과 풀이 37

2 입체도형의 겉넓이와 부피

1

CHECK

각기둥의 부피와 겉넓이

본문 138쪽

1 ⑴ 25`cmÛ` ⑵ 200`cmÜ“

2 ⑴ 6`cmÛ` ⑵ 84`cmÛ` ⑶ 96`cmÛ`

1 ⑴ ( ABCD의 넓이)=5_5=25(cmÛ`)

⑵ (부피) =(밑넓이)_(높이)=25_8=200(cmÜ`)

16

3 ③

A

원기둥의 부피 또는 겉넓이 구하기

본문 142쪽

324p`cmÜ`, 180p`cmÛ`

1 720p`cmÜ`

(부피 )=p_6Û`_9=324p(cmÜ`)

(겉넓이) =p_6Û`_2+2p_6_9

=72p+108p=180p(cmÛ`)

1 오른쪽 그림과 같이 밑면의 반지

름의 길이를 r`cm라 하면

2pr=12p, r=6

∴ (부피) =p_6Û`_20

=720p(cmÜ`)

(cid:18)(cid:19)(cid:76)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(부피)=(밑넓이)_(높이)이므로

{;2!;

}

_6_8

_(높이)=384 ∴ (높이)=16

_(4+8)_6=36(cmÛ`)이고 부피가

3 (밑넓이)=

108`cmÜ`이므로

;2!;

108=36x ∴ x=3

D

각기둥의 겉넓이를 알 때 높이 구하기

본문 140쪽

9`cm

4 4`cm

삼각기둥의 높이를 x`cm라 하면

(겉넓이)=

_9_12

_2+(9+12+15)_x

{;2!;

}

=108+36x=432

36x=324 ∴ x=9

따라서 삼각기둥의 높이는 9`cm이다.

4 오른쪽 그림과 같이 정육면체의 한 모

서리의 길이를 a`cm라 하면

(겉넓이) =(한 면의 넓이)_6

=aÛ`_6=6aÛ“

6aÛ`=96, aÛ`=16 ∴ a=4

따라서 한 모서리의 길이는 4`cm이다.

(cid:66)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:66)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:66)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

2

CHECK

원기둥의 부피와 겉넓이

1 ⑴ 9p`cmÛ` ⑵ 45p`cmÜ`

1 ⑴ p_3Û`=9p(cmÛ`)

⑵ 9p_5=45p(cmÜ`)

2 ⑴ p_3Û`=9p(cmÛ`)

⑵ 2p_3=6p(cm)

⑶ 6p_7=42p(cmÛ`)

⑷ 9p_2+42p=60p(cmÛ`)

38 ⅠⅠⅠ . 입체도형

B

원기둥의 부피 또는 겉넓이가 주어진 경우

본문 142쪽

`cm

;2%;

2 8

(사각기둥 모양의 수조에 담겨 있는 물의 부피)

=4_5_8=160(cmÜ`)

원기둥 모양의 수조에 담긴 물의 높이를 h`cm라 하면

본문 141쪽

(원기둥 모양의 수조에 담겨 있는 물의 부피)=64h`cmÜ`

두 수조에 담긴 물의 부피가 같으므로

2 1회전 시킬 때 생기는 입체도형은 오른

쪽 그림과 같으므로

(겉넓이) =p_5Û`_2+2p_5_h

=130p

10hp=80p ∴ h=8

;2%;

(cid:77)

(cid:73)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

2 ⑴ 9p`cmÛ` ⑵ 6p`cm ⑶ 42p`cmÛ` ⑷ 60p`cmÛ

160=64h ∴ h=

;2%;

따라서 원기둥 모양의 수조에 담긴 물의 높이는

`cm이다.

3

CHECK

복잡한 기둥의 부피와 겉넓이 본문 143쪽

1 ⑴ 12p`cmÛ` ⑵ 48p`cmÜ` ⑶ 32p`cmÛ`

⑷ 16p`cmÛ` ⑸ 72p`cmÛ`

⑴ (큰 원기둥의 밑넓이)-(작은 원기둥의 밑넓이)

=p_4Û`-p_2Û`=12p(cmÛ`)

⑵ (밑넓이)_(높이)=12p_4=48p(cmÜ`)

⑶ 2p_4_4=32p(cmÛ`)

⑷ 2p_2_4=16p(cmÛ`)

⑸ (밑넓이)_2+(큰 원기둥의 옆넓이)

+(작은 원기둥의 옆넓이)

=12p_2+32p+16p=72p(cmÛ`)

A

속이 뚫린 기둥의 부피와 겉넓이 구하기

본문 144쪽

147p`cmÜ`, 140p`cmÛ`

1 55`cmÜ`, 112`cmÛ`

(밑넓이)=p_5Û`-p_2Û`=21p(cmÛ`)

∴ (부피)=21p_7=147p(cmÜ`)

(옆넓이)=2p_5_7+2p_2_7=98p(cmÛ`)

∴ (겉넓이) =(밑넓이)_2+(옆넓이)

=21p_2+98p=140p(cmÛ`)

1 (부피)=(3_4-1_1)_5=55(cmÜ`)

(겉넓이) =(3_4-1_1)_2+14_5+4_5

=22+70+20

=112(cmÛ`)

2 ⑴ (부피)=

(겉넓이)

{

p_6Û`_

_8=192p(cmÜ`) `

;3@6$0);}

=

p_6Û`_

{

;3@6$0);}

{

_2+

6+6+2p_6_

_8

;3@6$0);}

=48p+96+64p=112p+96(cmÛ`)

⑵ (부피) =p_2Û`_4+p_7Û`_4

=16p+196p=212p(cmÜ`)

(겉넓이) =p_7Û`_2+2p_2_4+2p_7_4

개

념

탑

=98p+16p+56p

=170p(cmÛ`)

각뿔의 부피와 겉넓이

본문 145쪽

4

CHECK

1 400`cmÜ`, 360`cmÛ`

2 305`cmÛ

1 (부피)=

_(10_10)_12=400(cmÜ`)

;3!;

(밑넓이)=10_10=100(cmÛ`)

(옆넓이)=

_10_13

_4=260(cmÛ`)

{;2!;

}

∴ (겉넓이) =(밑넓이)+(옆넓이)

=100+260=360(cmÛ`)

2 (겉넓이)=(아랫면의 넓이)+(윗면의 넓이)+(옆넓이)

=10_10+5_5+

_(5+10)_6

_4
[;2!;

]
=100+25+180=305(cmÛ`)

A

각뿔의 부피와 겉넓이

본문 146쪽

B

복잡한 기둥의 부피와 겉넓이 구하기

본문 144쪽

6`cm

20p`cmÜ`, (18p+40)`cmÛ`

2 ⑴ 192p`cmÜ`, (112p+96)cmÛ

⑵ 212p`cmÜ`, 170p`cmÛ`

1 9`cm

2 42`cmÜ`, 90`cmÛ`

3 ;;¤3¢;;

`cmÜ`

_27_(높이)=54 ∴ (높이)=6`cm

;3!;

(부피)=

p_4Û`_

_5=20p(cmÜ`)

{

;3»6¼0;}

p_4Û`_

(겉넓이)=

{

;3»6¼0;}

_2+

4+4+2p_4_

{

;3»6¼0;}

_5

1 사각뿔의 높이를 h`cm라 하면

_8_6_h ∴ h=9

144=

;3!;

=8p+40+10p=18p+40(cmÛ`)

따라서 사각뿔의 높이는 9`cm이다.

정답과 풀이 39

_(6_6)_4-

_(3_3)_2=42(cmÜ`)

;3!;

2 (부피)=

;3!;

(아랫면의 넓이)+(윗면의 넓이)

=6_6+3_3=45(cmÛ`)

(옆넓이)=

_(3+6)_2.5

_4=45(cmÛ`)
[;2!;

]
∴ (겉넓이) =(아랫면의 넓이)+(윗면의 넓이)+(옆넓이)

=45+45=90(cmÛ`)

3 주어진 정사각형을 접었을 때 생기는 입

(cid:37)

체도형은 오른쪽 그림과 같다.

∴ (부피)=

_

;3!;

{;2!;

_4_4

_8

}

=

;;¤3¢;;

(cmÜ`)

(cid:39)

(cid:35)(cid:9)(cid:36)(cid:13)(cid:65)(cid:34)(cid:10)

(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:38)

원뿔의 부피와 겉넓이

본문 148쪽

5

CHECK

1 16p`cmÜ`, 36p`cmÛ`

2 84p`cmÜ`, 90p`cmÛ`

1 (부피)=

_p_4Û`_3=16p(cmÜ`)

(겉넓이)=p_4Û`+p_4_5=36p(cmÛ`)

2 (부피)=

_(p_6Û`)_8-

_(p_3Û`)_4

;3!;

=96p-12p=84p(cmÜ`)

;3!;

;3!;

=9p+36p+60p-15p

=90p(cmÛ`)

(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(겉넓이) =p_3Û`+p_6Û`+(p_6_10-p_3_5)

A

원뿔의 부피와 겉넓이 구하기

본문 149쪽

④

1 33p`cmÛ

(구하는 부피)

B

직육면체에서 잘라낸 각뿔의 부피

본문 147쪽

③

4 10

5 10`cm

6 ;3*;

정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면

(삼각뿔 B-AFC의 부피)=

_

_a_a

}

{;2!;

;3!;

_a=

aÜ`,

;6!;

=(원기둥의 부피)-(원뿔의 부피)

(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:18)(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

=p_5Û`_12-

_p_5Û`_12

;3!;

=300p-100p=200p(cmÜ`)

1 (겉넓이) =p_3Û`+2p_3_2+p_3_4

=9p+12p+12p

(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(나머지 입체도형의 부피)=aÜ`-

aÜ`=

aÜ`

;6%;

;6!;

=33p(cmÛ`)

따라서 두 입체도형의 부피의 비는

aÜ`：

aÜ`=1：5

;6!;

;6%;

4

;3!;

_

{;2!;

}

_12_x

_5=100 ∴ x=10

B

원뿔의 전개도로 겉넓이 구하기

본문 149쪽

5 BCÓ=2x`cm라 하면 BMÓ=x`cm이므로

_8_x

_6=40, 8x=40 ∴ x=5

_

;3!;

{;2!;

}

∴ BCÓ=2_5=10(cm)

_

{;2!;

_4_8

_6=

_6_x

_4

}

{;2!;

}

6

;3!;

32=12x

∴ x=

;3*;

40 ⅠⅠⅠ . 입체도형

16p`cmÛ`

2 ⑴ 288p`cmÛ` ⑵ 468p`cmÛ

밑면의 반지름의 길이를` r`cm라 하면

2p_6_

=2p_r ∴ r=2

;3!6@0);

∴ (겉넓이)=p_2Û`+p_2_6=16p(cmÛ`)

2 ⑴ p_12_32-p_6_16=288p(cmÛ`)

⑵ p_6Û`+p_12Û`+288p=468p(cmÛ`)

6

CHECK

구의 부피와 겉넓이

1 ⑴ 972p`cmÜ`, 324p`cmÛ`

⑵

p`cmÜ`, 300p`cmÛ`

:ª:¼3¼:¼:

본문 150쪽

C

원기둥에 내접하는 원뿔, 구의 관계

본문 152쪽

18p`cmÜ`, 54p`cmÜ`

3 ;;Á;;¼3¼;;¼;;

p`cmÜ

개

념

탑

A

구의 부피와 겉넓이 구하기

본문 151쪽

(원뿔의 부피)=

_36p=18p(cmÜ`),

구의 반지름의 길이가 5`cm이므로 정육면체의 한 모서리

3 구의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

prÛ`_2r=2prÜ`=500p에서 rÜ`=250

(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:19)(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

⑴ (부피)=

p_9Ü`=972p(cmÜ`)

;3$;

(겉넓이)=4p_9Û`=324p(cmÛ`)

⑵ (부피)=

_

;2!;

;3$;

p_10Ü`=

2000

3

p(cmÜ`)

(겉넓이)=

_4p_10Û`+p_10Û`=300p(cmÛ`)

;2!;

p：6

1 ③

의 길이는 10`cm이다.

(구의 겉넓이)：(정육면체의 겉넓이)

=(4p_5Û`)：(6_10Û`)=p：6

1 구의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

4prÛ`=36p, rÛ`=9 ∴ r=3

∴ (부피)=

p_3Ü`=36p(cmÜ`)

;3$;

B

구의 일부를 포함하는 도형의 부피와

겉넓이 구하기

본문 151쪽

p`cmÜ`

:;@3@:$;

2 30p`cmÜ`, 33p`cmÛ`

(부피)=

p_4Ü`

_

}

=

;8&;

:;@3@:$;

p(cmÜ`)

{;3$;

2 (부피)=

;3!;

_(p_3Û`)_4+

p_3Ü`

_

}

;2!;

{;3$;

=12p+18p=30p(cmÜ`)

(겉넓이)=p_3_5+(4p_3Û`)_

;2!;

=15p+18p=33p(cmÛ`)

구의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

;3$;

prÜ`=36p, rÜ`=27에서 r=3이므로

(원뿔의 부피)=

_p_3Û`_6=18p(cmÜ`),

(원기둥의 부피)=p_3Û`_6=54p(cmÜ`)
[다른 풀이]
부피의 비는 (원뿔)：(구)：(원기둥)=1：2：3이므로

;3!;

;2!;

(원기둥의 부피)=18p_3=54p(cmÜ`)

∴ (구의 부피)=

p_rÜ`=

p_250

;3$;

;3$;
[다른 풀이]
=

1000

3

p(cmÜ`)

(구의 부피)`:`(원기둥의 부피)=2`:`3이므로

(구의 부피)`:`500p=2`:`3

∴ (구의 부피)=

p(cmÜ`)

1000

3

D

구의 부피와 겉넓이의 활용

본문 152쪽

1`cm

4 ;;ª;3%;¤;;

p`cmÜ

이므로

수면의 높이가 h`cm 더 높아졌다고 하면

(구슬의 부피)=(높아진 수면의 높이 만큼의 물의 부피)

;3$;

p_3Ü`=p_6Û`_h ∴ h=1

따라서 수면의 높이는 1`cm 더 높아진다.

정답과 풀이 41

4 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 원기둥의

높이는 4r`cm이므로

(원기둥의 부피)=p_rÛ`_4r=256p(cmÜ`), rÜ`=64

06 원기둥의 부피는 p_1Û`_2=2p(cmÜ`)이므로 a=2p

p(cmÜ`)이므로

_p_2Û`_4=

원뿔의 부피는

;3!;

:Á3¤:

∴ r=4

반지름의 길이가 4`cm인 구 1개의 부피는

;3$;

p_4Ü`=

:ª;3%;¤:

p(cmÜ`)

따라서 원기둥에 남아 있는 물의 부피는

(원기둥의 부피)-(구 2개의 부피)

=256p-2_

p=

:ª;3%;¤:

:ª;3%;¤:

p(cmÜ`)

기본 다지기 문제

본문 153~154쪽

01 ④

05 ①

02 78p`cmÛ 03 8`cm

06 ⑤

07 ⑤

04 ④

08 6

`cmÜ` 10 ⑤

11 126p`cmÜ

09 ;;£3ª;;

12 108p`cmÛ

01 정육면체의 한 모서리의 길이를 `a`cm라 하면

6_aÛ`=54, aÛ`=9 ∴ `a=3

∴ (부피)=3_3_3=27(cmÜ`)

02 주어진 전개도로 만들어지는 입체도형은 원기둥이고, 원기

둥의 밑면의 둘레의 길이가 6p`cm이므로 반지름의 길이를

r`cm라 하면

2pr=6p ∴ r=3

따라서 원기둥의 겉넓이는`

p_3Û`_2+6p_10=78p(cmÛ`)

03

;3!;

_(9_9)_(높이)=216 ∴ (높이)=8`cm

04 (겉넓이)=p_8Û`+p_8_r=136p(cmÛ`)

8pr=72p ∴ r=9

05 (부피)=(직육면체의 부피)-(밑면이 부채꼴인 기둥의 부피)

p_2Û`_

=(2_2_6)-

_6

{

;3»6¼0;}

=24-6p(cmÜ`)

42 ⅠⅠⅠ . 입체도형

b=

p

:Á3¤:

∴ a`:`b=3`:`8

07 주어진 도형을 1회전 시킬 때 생기는 입

체도형은 오른쪽 그림과 같다.

∴ (부피)

=(원기둥의 부피)+(원뿔의 부피)

(cid:19)

(cid:23)

(cid:21)

=p_4Û`_2+

_p_4Û`_4=32p+

p

;;¤3¢;;

=:Á;3^;¼:

p

;3!;

08 원뿔 모양의 그릇에 담긴 물의 부피는

_p_6Û`_8=96p(cmÜ`)

;3!;

원기둥 모양의 그릇에 담긴 물의 부피는

p_4Û`_h=16hp(cmÜ`)

두 물의 부피는 같으므로 96p=16hp

∴ h=6

09 △ABC를 밑면, 모서리 BF를 높이로 하는 삼각뿔의 부피

를 구하면 된다.

∴ (삼각뿔 B-ACF의 부피)

=

_

;3!;

{;2!;

_4_4

_4=

(cmÜ`)

}

:£3ª:

10 지름의 길이가 2`cm인 쇠구슬 16개의 부피와 지름의 길이

가 4`cm인 쇠구슬 x개의 부피가 같다고 하면

{;3$;

p_1Ü`

_16=

p_2Ü`

_x ∴ x=2

}

{;3$;

}

따라서 지름의 길이가 4`cm인 쇠구슬을 2개 만들 수 있다.

11 180ù 회전 시킨 입체도형은 오른쪽 그림과

(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

=(큰 반구의 부피)-(작은 반구의 부피)

(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

_;2!;-

{;3$; p_3Ü`

}

_;2!;

같으므로

(부피)

=

{;3$; p_6Ü`

=144p-18p

}

=126p(cmÜ`)

12 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라

하면 3개의 구의 반지름의 길이는 r`cm로

모두 같고, 원기둥의 높이는

2r+2r+2r=6r(cm)이므로

(cid:19)(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:19)(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:19)(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(원기둥의 부피)=prÛ`_6r=162p(cmÜ`)

rÜ`=27 ∴ r=3

∴ (구 3개의 겉넓이의 합) =(4p_3Û`)_3

=108p(cmÛ`)

p_4Û`_

-p_2Û`_

;3»6¼0;

;3»6¼0;

=4p-p

=3p

개

념

탑

이므로 원뿔대의 겉넓이는

p+p+3p=

p이다.

;4!;

;;Á4¦;;

3 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

(원 O의 둘레의 길이)

=(원뿔의 밑면의 둘레의 길이)_8

(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:48)

이므로

2pr=(2p_2)_8 ∴ r=16

∴ (원뿔의 겉넓이) =p_2Û`+p_2_16

=36p(cmÛ`)

4 정사각뿔의 밑면은 정사각형이므로 반구의 반

지름의 길이를 r`cm라 하면 오른쪽 그림에서

(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(정사각뿔의 밑넓이)=

_2r_2r

;2!;

=2rÛ`(cmÛ`)

3 36p`cmÛ` 4 22p`cmÜ`

이때 정사각뿔의 부피가 22`cmÜ`이므로

실력 올리기 문제

본문 155~156쪽

1 ⑤

5 2`cm

7 ① 6, 12p`cm ② 10, 12p, 216ù

2 ①

6 224p`cmÜ

③ p_10Û`_

=60p(cmÛ`), p_6Û`=36p(cmÛ`),

;3@6!0^;

60p+36p=96p(cmÛ`)

8 ① 128`cmÜ` ② 384`cmÜ` ③ 1 : 3

_2rÛ`_r=22 ∴ rÜ`=33

;3!;

∴ (반구의 부피)=

_

;2!;

;3$;

prÜ`

=

;3@;

p_33

=22p(cmÜ`)

1 주어진 도형을 1회전 시킬 때 생기는 입체

도형은 오른쪽 그림과 같다.

∴ (겉넓이) =(밑넓이)+(옆넓이)

(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:18)(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

각형이므로

5 정육면체의 한 모서리의 길이를 a`cm라

하면 정팔면체는 정사각뿔 2개를 붙여

놓은 것과 같고 정사각뿔의 밑면은 정사

(cid:66)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:66)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

=p_5Û`+(2p_5_12

(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(정사각뿔의 밑면의 넓이)=

_a_a

+p_5_13)

=25p+120p+65p

=210p(cmÛ`)

2 윗면인 원의 반지름의 길이를 r라 하면

=2p_r ∴ r=

2p_2_

;3»6¼0;

;2!;

아랫면인 원의 반지름의 길이를 r’라 하면

2p_4_

=2p_r’ ∴ r’=1

;3»6¼0;

또, 정사각뿔의 높이는

`cm이므로

;2A;

(정팔면체의 부피)=(정사각뿔의 부피)_2

;2!;

aÛ`

2

=

(cmÛ`)

=

{;3!_

aÛ`

2 _;2A;}

_2

=

(cmÜ`)

aÜ`

6

따라서 윗면과 아랫면의 넓이는 각각

p, p이고 원뿔대의

;4!;

옆넓이는

따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 2`cm이다.

이때 정팔면체의 부피가

`cmÜ`이므로

;3$;

aÜ`

6

=

;3$;

, aÜ`=8 ∴ a=2

정답과 풀이 43

6 주어진 평면도형을 직선 l을 회전축

으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 회

전체는 오른쪽 그림과 같으므로

(부피)=(원뿔대의 부피)_2

(cid:77)

(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

8 ① 삼각기둥의 밑넓이를 △QGH, 높이를` PQÓ라 하면

V1=(밑넓이)_(높이)

–

;3!;

_(p_4Û`)_3

_2

]
② V2 =(정육면체의 부피)-V1

=

{;2!;

_GHÓ_QGÓ

_PQÓ

}

=

{;2!;

_8_4

_8

}

=128(cmÜ`)

=8_8_8-V1

=512-128

=384(cmÜ`)

③ ∴ V1`:`V2 =128`:`384

=1`:`3

=
[;3!;

_(p_8Û`)_6

=(128p-16p)_2

=112p_2

=224p(cmÜ`)

7 ① 부채꼴의 호의 길이는 2p_6=12p(cm)

② 부채꼴의 중심각의 크기를 ∠x라 하면

2p_10_

=12p ∴ ∠x=216ù

;36{0;

③ (옆넓이)=p_10Û`_

;3@6!0^;

=60p(cmÛ`)

(밑넓이) =p_6Û`

=36p(cmÛ`)

∴ (겉넓이) =60p+36p

=96p(cmÛ`)

44 ⅠⅠⅠ . 입체도형

ⅠV 통계

1 자료의 정리와 해석

줄기와 잎 그림

1

CHECK

1 ⑴ ㉠ 4, ㉡ 2, ㉢ 3 ⑵ 9 ⑶ 88점

2 ⑴ 15명 ⑵ 4명 ⑶ 30시간

2 ⑴ 4+6+3+2=15(명)

⑶ 43-13=30(시간)

A

줄기와 잎 그림의 이해

본문 161쪽

ㄷ

1 25`%

22`kg

2 40%

로 전체의

_100=40(%)이다.

;1¤5;

따라서 옳지 않은 것은 ㄷ이다.

1 기록이 14.8초보다 느린 학생은 15.1초, 15.2초, 15.4초,

15.5초의 4명이므로

_100`=25(%)이다.

;1¢6;

B

두 집단에서의 줄기와 잎 그림

본문 161쪽

2 남학생 수는 1+2+3+1=7(명), 여학생 수는

4+2+1+1=8(명)이므로 전체 학생 수는 7+8=15(명)

개

념

탑

이다.

윗몸 일으키기 횟수가 30개 이상인 학생은 32회, 33회, 34

회, 38회, 46회, 49회의 6명이므로

본문 160쪽

_100=40(%)

;1¤5;

도수분포표

2

CHECK

1 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 112.5분 ⑶ 7명

본문 162쪽

1 ⑴

사용 시간 (분)

0 이상 ~ 45 미만

학생 수 (명)

45

90

~ 90

~ 135

135

~ 180

합계

6

7

4

3

20

계급값은

=112.5(분)이다.

90+135

2

⑶ 인터넷 사용 시간이 80분인 학생이 속하는 계급은

45분 이상 90분 미만이므로 도수는 7명이다.

A

도수분포표에서의 용어

본문 163쪽

ㄴ, ㄷ

1 2개

ㄱ. 계급의 크기는 변량을 나눈 구간의 너비이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

ㄷ. 수학 점수가 80점 미만인 학생 수는 2+4=6(명)이므

⑵ 도수가 4명인 계급은 90분 이상 135분 미만이므로

남학생 중 몸무게가 가장 많이 나가는 학생의 몸무게는

57`kg이고, 여학생 중 몸무게가 가장 적게 나가는 학생의

1 ㄴ. 계급의 개수는 보통 5~15개가 적당하다.

ㄷ. 각 계급에 속하는 도수를 조사하여 나타낸 표를 도수분

몸무게는 35`kg이다.

∴ 57-35=22(kg)

포표라 한다.

따라서 옳지 않은 것은 ㄴ, ㄷ의 2개이다.

정답과 풀이 45

B

도수분포표의 이해

본문 163쪽

③

2 ⑴ 5개 ⑵ 5 ⑶ 0권 이상 3권 미만

③ 점수가 56점인 학생 수는 알 수 없다.

2 도수가 가장 큰 계급은 35세 이상 40세 미만이므로 계급의

크기는 40-35=5(세), 그 계급의 도수는 11명이다.

따라서 직사각형의 넓이는 5_11=55이다.

2 ⑴ 계급의 개수는 5개이다.

⑵ A=30-(15+6+3+1)=5

⑶ 도수가 가장 큰 계급은 0권 이상 3권 미만이다.

③

1 35`%

A

히스토그램의 이해

본문 166쪽

C

특정 계급의 백분율 구하기

본문 164쪽

42.5`%

3 ④

숙제를 하는 시간이 20분 이상 40분 미만인 계급의 도수는

40-(9+8+2+4)=17(명)이므로

;4!0&;

_100=42.5(%)

3 A+B=25-(10+4+1)=10

즉, 허리 둘레가 70`cm 미만인 학생 수는 10명이므로

_100=40(%)

;2!5);

3

CHECK

히스토그램

1 풀이 참조

2 55

1

(명)

(cid:18)(cid:17)

(cid:25)

(cid:23)

(cid:21)

(cid:19)

(cid:17)

(cid:18)

(cid:19)

(cid:20)

(cid:21)

(cid:22)

(cid:23) (만 원)

46 ⅠV . 통계

③ 수면 시간이 8시간 이상인 학생 수는 8+4=12(명)이므

로 전체의

_100=30(%)이다.

;4!0@;

1 전체 학생 수는 20명이고 기록이 16초 미만인 학생 수는

3+4=7(명)이므로

_100=35(%)이다.

;2¦0;

B

히스토그램에서의 직사각형의 넓이

본문 166쪽

250

2 120

14명

3 60`%

계급의 크기는 5`cm이고, 도수의 총합은

4+7+12+15+9+3=50(명)이므로

각 직사각형의 넓이의 합은 5_50=250

2 도수가 가장 큰 계급의 직사각형의 넓이는 10_10=100이

고, 도수가 가장 작은 계급의 직사각형의 넓이는

본문 165쪽

10_2=20이므로 그 합은 100+20=120

C

찢어진 히스토그램

본문 167쪽

(타율이 2할 이상 2.5할 미만인 계급의 도수)

=35-(1+3+6+8+3)=14(명)

3 일별 최고 기온이 20`¾ 이상 25`¾ 미만인 계급의 도수는

30-(3+9+5+2)=11(일)

최고 기온이 20`¾ 이상인 날은 11+5+2=18(일)이므로

;3!0*;

_100=60(%)

⑴ 150 ⑵ 150

2 240

B

도수분포다각형의 넓이

본문 169쪽

개

념

탑

도수분포다각형

본문 168쪽

4

CHECK

1 풀이 참조

2 25`%

(명)

1

(cid:25)

(cid:23)

(cid:21)

(cid:19)

(cid:17)

(cid:19)

(cid:21)

(cid:23)

(cid:25)

(cid:18)(cid:17) (cid:18)(cid:19)

(시간)

2 영화를 관람한 전체 학생 수는

2+7+10+11+5+1=36(명)이고, 영화를 6편 미만

관람한 학생은 2+7=9(명)이므로 전체의

;3»6;

_100=25(%)

A

도수분포다각형의 이해

본문 169쪽

①

1 50명, 155`cm 이상 160`cm 미만

① 계급의 개수는 5개이다.

1 전체 학생 수는 3+7+10+11+10+6+3=50(명)이고,

키가 160`cm 이상 165`cm 미만인 학생이 3명, 155`cm 이

상 160`cm 미만인 학생이 6명이므로 키가 큰 쪽에서 5번째

인 학생이 속하는 계급의 계급은 155`cm 이상 160`cm 미

⑴ (직사각형의 넓이의 합) =5_(3+5+10+8+4)

=150

⑵ (도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이)

=5_30=150

2 계급의 크기는 5`m이고, 전체 도수는

3+6+8+11+9+7+4=48(명)이므로

(도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이)

=5_48=240

C

찢어진 도수분포다각형

본문 170쪽

9명

3 11가구

식사 시간이 20분 미만인 학생 수는 18명, 25분 이상인 학

생 수는 5+2+1=8(명)이므로 20분 이상 25분 미만인 학

생 수는 35-(18+8)=9(명)

3 전체 가구 수를 x가구라고 하면

=6 ∴ x=30

x_

;1ª0¼0;

따라서 쓰레기 배출량이 26`kg 이상 30`kg 미만인 가구 수는

30-(2+4+8+5)=11(가구)

상대도수

5

CHECK

2 9명

1 ⑴ 0.6 ⑵ 0.56 ⑶ A지역

1 ⑴

=0.6 ⑵

=0.56

;2!5%0);

;5@0*0);

본문 171쪽

정답과 풀이 47

만이다.

⑶ A지역이 상대적으로 남자 아기가 더 많이 태어났다.

2 (어떤 계급의 도수)=(전체 도수)_(그 계급의 상대도수)

상대도수의 분포표

본문 173쪽

6

CHECK

1 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 4만 원 이상 6만 원 미만

2 ⑴ A=0.09, B=0.25, C=1 ⑵ 30명 ⑶ 30`%

이므로

(구하는 학생 수)=50_0.18=9(명)

전체 학생 수는 2+5+7+9+8+6+3=40(명)이고 이용

B=1-(0.06+0.09+0.15+0.30+0.15)=0.25

1 ⑴

학생 수 (명) 상대도수

용돈 (만 원)

2 이상 ~ 4 미만

4

6

8

~ 6

~ 8

~ 10

합계

12

20

6

2

40

0.3

0.5

0.15

0.05

1

2 ⑴ A=

=0.09

;10(0;

C=1

⑵ 100_0.30=30(명)

⑶ (0.06+0.09+0.15)_100=30(%)

A

상대도수

0.2

1 1반

본문 172쪽

횟수가 10회 이상 12회 미만인 학생 수는 8명이므로

(상대도수)=

=0.2

;4¥0;

1 각 반의 전체 학생 수에서 안경을 낀 학생 수가 차지하는

비율은 각각

1반：

=0.45, 2반：

=0.44, 3반：

=0.4,

;4!5*;

;4!0*;

;4!8@;

;5@0@;

;4!4!;

4반：

=0.25, 5반：

=0.25

따라서 안경을 낀 학생의 비율이 가장 높은 반은 1반이다.

B

상대도수, 도수, 전체 도수

본문 172쪽

6

2 100명

3 0.26

A

상대도수의 분포표의 이해

본문 174쪽

A=4, B=8, C=0.24, D=25, E=1

1 84`%

상대도수의 총합은 항상 1이므로

E=1, D=

=25, A=25_0.16=4

7

0.28

B=25_0.32=8, C=

=0.24

;2¤5;

(전체 도수)=

=40이므로 상대도수가 0.15일 때, 그

24

0.6

계급의 도수는 40_0.15=6

1 전체 학생 수는

18

0.36

=50(명)이고,

60개 이상 90개 미만인 상대도수는

=0.28,

2 (전체 도수)=

(그 계급의 도수)

(어떤 계급의 상대도수)

=

20

0.2

=100(명)

3 (통학 시간이 1시간 이상인 남학생 수)=60_0.3=18(명)

(통학 시간이 1시간 이상인 여학생 수)=40_0.2=8(명)

(전체 학생 수)=60+40=100(명)

∴ (상대도수)=

18+8

100

=

26

100

=0.26

48 ⅠV . 통계

;5!0$;

;5!0);

90개 이상 120개 미만인 상대도수는

=0.2이므로

(0.36+0.28+0.2)_100=84(%)
[다른 풀이]
전체 학생 수는

18

0.36

학생 수는 18+14+10=42(명)이므로

=50(명)이고 30개 이상 가지고 있는

전체의

_100=84(%)

;5$0@;

B

찢어진 상대도수의 분포표

본문 174쪽

0.2

2 5명

 (상

대

도

수

)

(cid:17)(cid:15)(cid:21)

(cid:17)(cid:15)(cid:20)

(cid:17)(cid:15)(cid:19)

(cid:17)(cid:15)(cid:18)

(cid:17)

(전체 도수)=

=100(명)이므로 5개 이상 10개 미만

8

0.08

(cid:22)

(cid:18)(cid:17)

(cid:18)(cid:22)

(cid:19)(cid:17)

(cid:19)(cid:22) (cid:20)(cid:17) (회)

인 계급의 상대도수는

=0.2

;1ª0¼0;

2 (전체 도수)=

3

0.12

인 학생 수는 25_0.2=5(명)

=25(명)이므로 70점 이상 80점 미만

50_0.1=5(명)이고, 맥박 수가 80회 이상 85회 미만인

2 ⑴ 맥박 수가 70회 이상 75회 미만인 계급의 상대도수는 0.2

이므로 학생 수는 50_0.2=10(명)

⑵ 맥박 수가 85회 이상 90회 미만인 학생 수는

학생 수는 50_0.3=15(명)이므로 맥박 수가 높은 쪽에

서 15번째인 학생이 속하는 계급의 상대도수는 0.3이다.

개

념

탑

C

전체 도수가 다른 두 집단의 상대도수

본문 175쪽

A

상대도수의 분포를 나타낸 그래프의 이해

본문 177쪽

여학생

3 ①

이 더 높다.

150명

1 23명

5시간 이상 7시간 미만인 학생의 상대도수는 각각

(남학생)=

=0.15, (여학생)=

=0.16이므로 여학생

;4¤0;

;5¥0;

상대도수가 두 번째로 큰 계급은 80점 이상 90점 미만이므

로 (전체 학생 수)=

=150(명)

30

0.2

3 전체 도수를 각각 2a, 3a라 하고 어떤 계급의 도수를 각각

4b, 3b라 하면 상대도수의 비는

4b

2a

：

3b

3a

=2：1

1 전체 학생 수는

10

0.2

=50(명)이고 25`m 이상 던진 학생의

상대도수가 0.26+0.14+0.06=0.46이므로

구하는 학생 수는 0.46_50=23(명)

상대도수의 분포를 나타낸 그래프 본문 176쪽

7

CHECK

1 풀이 참조

2 ⑴ 10명 ⑵ 0.3

B반

2 480명

B

전체 도수가 다른 두 집단의 비교

본문 177쪽

1 팔굽혀펴기 횟수 (회) 학생 수 (명)

상대도수

므로 B반이 더 많다.

A반은 80_0.4=32(명)이고 B반은 120_0.3=36(명)이

5 이상 ~ 10 미만

10

15

20

25

~ 15

~ 20

~ 25

~ 30

합계

2

14

16

6

2

40

0.05

0.35

0.4

0.15

0.05

1

2 (남학생 수)=

=220(명)

(여학생 수)=

=260(명)

11

0.05

39

0.15

∴ (전체 학생 수)=220+260=480(명)

정답과 풀이 49

기본 다지기 문제

본문 180~181쪽

⑤ 상대도수의 총합은 항상 1이므로 E=1

01 ④

05 ④

09 ③

02 ②

06 ②

10 ⑤

03 ③

07 ②

11 ⑤

04 ⑤

08 ③

12 ④

01 줄기 5, 6, 7, 8, 9의 잎의 개수는 각각 5개, 4개, 5개, 9개,

7개이므로 잎이 가장 많은 줄기는 8이다.

02 67점 이상 85점 미만인 학생의 점수는 67점, 74점, 77점,

78점, 79점, 79점, 80점, 81점, 82점, 82점, 83점이므로

학생 수는 11명이다.

03 A=40-(1+3+18+4)=14이므로 도수가 가장 큰 계급

은 15초 이상 17초 미만이다.

따라서 계급값은 16초이다.

04 달리기 기록이 11초 이상 15초 미만인 학생 수는

1+3=4(명)이고 11초 이상 17초 미만인 학생 수는

1+3+18=22(명)이므로 달리기 기록이 좋은 쪽에서 10번

째인 학생이 속하는 계급은 15초 이상 17초 미만이다.

따라서 이 계급의 도수는 18명이다.

06 전체 학생 수는 4+10+9+6+1=30(명)이고, 수면 시간

이 6시간 이상 8시간 미만인 학생 수는 9+6=15(명)이므로

전체의

_100=50(%)

;3!0%;

07 도수가 가장 큰 계급의 직사각형의 넓이는 1_10=10이

고, 도수가 4명인 계급의 직사각형의 넓이는 1_4=4이므

로 넓이의 차는 10-4=6

08 계급의 크기는 10분이므로 a=10

가장 작은 도수는 3명이므로 b=3

은 55분, 즉 c=55

∴ a+b+c=10+3+55=68

도수가 가장 큰 계급은 50분 이상 60분 미만이므로 계급값

09 ① A=

;5»0;

=0.18 ② B=50_0.24=12

③ C=

=0.12 ④ D=50_0.1=5

;5¤0;

50 ⅠV . 통계

10 걸린 시간이 6분 이상인 계급의 상대도수는

0.12+0.1=0.22이므로 전체의 0.22_100=22(%)이다.

11 ① 10대 남자 관람객은 150_0.12=18(명)이다.

② 20대 남자 관람객은 150_0.2=30(명), 여자 관람객은

100_0.15=15(명)이므로 20대 관람객은 전체의

30+15

150+100

_100=18(%)이다.

③ 30대 남자 관람객은 150_0.3=45(명), 여자 관람객은

④ 남자는 30대 관람객의 비율이 가장 높고, 여자는 40대

100_0.3=30(명)이다.

관람객의 비율이 가장 높다.

12 지출한 금액이 10만 원 이상인 계급의 상대도수는

0.24+0.1=0.34이므로 구하는 사람 수는

50_0.34=17(명)

실력 올리기 문제

본문 182~183쪽

1 7점

2 ②

3 32명

4 ㄴ, ㄹ

5 ①

;;¢1¼0¼;;

=40 ② 1+3+8+6+2, 20, 11, 9

③ 9, 6, 2, 17

6 ① 40명 ② 0.5 ③ 15`%

1 전체 학생 수는 5+6+6+7=24(명)이고

은 24_

전체 학생의

=6(명)

;4!;

;4!;

출전하는 학생 중에서 점수가 가장 좋은 학생은 89점, 가장

안 좋은 학생은 82점이므로 두 점수의 차는

89-82=7(점)

2 몸무게가 50`kg 이상인 학생 수는

20_;1¢0¼0;=8(명)이므로

B+3=8 ∴ B=5

∴ A=20-(2+6+5+3)=4

3 대화 시간이 60분 이상인 계급의 상대도수가 0.1이고 도수

6 ① TV 시청 시간이 40분 이상 60분 미만인 계급의 도수가

14명, 상대도수가 0.35이므로 전체 학생 수는

대화 시간이 40분 이상인 계급의 상대도수는

② 20분 이상 40분 미만인 계급의 상대도수는

개

념

탑

14

0.35

=40(명)

;4¥0;

=0.2

상대도수의 총합은 항상 1이므로 80분 이상 100분 미만

인 계급의 상대도수는

1-(0.2+0.35+0.30)=0.15

③ 따라서 시청 시간이 80분 이상 100분 미만인 계급의 학

생은 전체의 0.15_100=15(%)이다.

가 5명이므로

(전체 도수)=

=50(명)

5

0.1

0.16+0.1+0.1=0.36

따라서 대화 시간이 40분 미만인 학생 수는

50_(1-0.36)=50_0.64=32(명)

4 ㄱ. 상대도수의 그래프로는 학생 수를 알 수 없다.

ㄷ. B반이 A반보다 성적이 대체로 더 우수하다.

5 ① 모든 직사각형의 넓이의 합이 400이므로 전체 도수는

=40(편)이다.

:¢1¼0¼:

② 상영 시간이 100분 이상 120분 미만인 계급의 도수는

40-(1+3+8+6+2)=20(편)이므로 100분 이상

110분 미만인 계급의 도수는 11편이고, 110분 이상

120분 미만인 계급의 도수는 9편이다.

③ 상영 시간이 110분 이상인 영화는

9+6+2=17(편)이다.

정답과 풀이 51

학

수

중학수학

1 2

개념익힘탑

Ⅰ . 도형의 기초

1 기본 도형

2 작도와 합동

Ⅱ. 평면도형

1 다각형의 성질

2 원과 부채꼴

053

060

064

070

Ⅲ. 입체도형

1 다면체와 회전체

2 입체도형의 겉넓이와 부피

Ⅳ. 통계

1 자료의 정리와 해석

중간 모의고사

기말 모의고사

075

079

085

091

093

Ⅰ 도형의 기초

1 기본 도형

개념익힘문제

개념익힘탑 2~20쪽

03 ⑤

02 ④

06 ㄱ, ㄴ, ㄷ

09 ⑤

04 ㄱ, ㄷ

01 ㄴ

07 ①

05 ④

08 ⑤

11 ④

12 ABê, ACê, BCê / CA³, CB³ / ACÓ, CAÓ 13 ⑤

14 ③

16 30

15 ③

17 직선 1개, 반직선 4개, 선분 3개

20 14개

19 10개

10 ②

18 ③

21 ④

22 ⑴ 4 ⑵

⑶

⑷

;2!;

25 5`cm

27 ④

31 ③

36 ②

40 ①

44 ②

;4#;

24 ②

28 16`cm 29 ③

;2!;

23 풀이 참조

26 ②

30 8`cm

32 ⑴ ㄱ, ㅂ ⑵ ㄴ ⑶ ㄷ, ㅁ ⑷ ㄹ 33 ④

35 ②

37 35ù

34 ㄷ

39 18ù

41 ④

38 ⑤

43 60ù

42 30ù

45 ②

46 30ù

47 ②

48 ⑴ 40ù ⑵ 60ù ⑶ 80ù ⑷ 140ù

51 60ù

50 ⑴ 30ù ⑵ 20ù

55 ③

53 ④

58 ⑤

57 ⑴ 점 C ⑵ 4.8`cm

62 ⑤

60 ③

66 평행하다. 67 6개

64 ⑤

68 ②, ③ 69 모서리 BC, CD, DE, GH, HI, IJ

70 ⑤

71 ⑴ 한 점에서 만난다. ⑵ 평행하다.

49 90ù

52 2쌍

56 ②, ⑤

59 ④

63 ㄷ, ㄹ

61 ⑤

65 ③

54 ③

⑶ 꼬인 위치에 있다.

72 모서리 AB, AE, FG, FJ

74 모서리 BF, DH

75 11

73 3개

76 -2

개

념

익

힘

탑

78 4

82 ①, ④

86 ②, ⑤

90 ②

79 ①, ⑤

77 ⑤

80 ㄱ, ㄴ, ㄷ

81 ③

83 ②, ④ 84 ㄴ, ㄹ 85 6

89 ⑤

88 ⑤

87 ①

92 ①, ⑤ 93 ④, ⑤ 94 ③, ④

91 ②

96 ⑴ 65ù ⑵ 125ù

95 ④

100 ②

98 ③

99 ③

104 ④

102 240ù 103 ③

108 38ù

107 ①

106 ①

112 ③

110 35ù

111 92ù

114 ①, ④ 115 ③

116 ②

118 100ù 119 118ù 120 50ù

124 ③

122 100ù 123 ③

97 ④

101 ②

105 70ù

109 100ù

113 ③, ⑤

117 ②

121 ②

125 95ù

01 ㄱ, ㄹ은 교선이 모두 직선이고, ㄷ은 교선이 없다.

02 (교점의 개수)=(꼭짓점의 개수)=8개

(교선의 개수)=(모서리의 개수)=12개

(면의 개수)=6개

03 교점의 개수는 6개, 교선의 개수는 12개, 면의 개수는 8개

이므로

a=6, b=12, c=8

∴ a-b+c=6-12+8=2

04 ㄴ. 교선은 모두 8개이다.

ㄹ. 면 BCDE와 면 AED가 만나서 생기는 교선은 EDÓ이

다.

이다.

05 ④ 면과 면이 만나서 생기는 교선은 직선 또는 곡선이다.

⑤ 사각뿔에서 면의 개수는 5개, 꼭짓점의 개수는 5개이다.

06 ㄹ. 삼각뿔에서 교점의 개수는 4개, 모서리의 개수는 6개

07 ② 두 반직선이 같으려면 시작점과 방향이 모두 같아야 한다.

정답과 풀이 53

③ 두 점을 지나는 직선은 오직 하나뿐이다.

④ 직선과 반직선은 끝없이 뻗어 나가는 것이므로 그 길이

를 잴 수 없다.

⑤ 한 점을 지나는 직선은 무수히 많다.

24 ANÓ=NMÓ=

;2!;

AMÓ, AMÓ=MBÓ=

ABÓ

;2!;

∴ NMÓ=

AMÓ=

;2!;

_

;2!;

;2!;

ABÓ=

ABÓ

;4!;

=

;4!;

_8=2(cm)

08 ⑤ AB³+BA³

09 ⑤ 방향이 같아도 시작점이 다른 두 반직선은 같지 않다.

13 BA³는 점 B를 시작점으로 하여 점 A의 방향으로 가는 반

직선이므로 BCÓ를 포함하지 않는다.

14 ABê, BCê, CAê의 3개이다.

25 두 점 B, C는 각각 ACÓ, BDÓ의 중점이므로

Ó, BCÓ=CDÓ=

ABÓ=BCÓ=

ACÓ

BDÓ

;2!;

;2!;

∴ ABÓ=BCÓ=CDÓ=

ADÓ=

_15=5(cm)

;3!;

;3!;

26 ADÓ=ACÓ+CDÓ=2CDÓ+CDÓ=3CDÓ=18(cm)

∴ CDÓ=6`cm, ACÓ=2CDÓ=2_6=12(cm)

ACÓ=ABÓ+BCÓ=3BCÓ+BCÓ=4BCÓ=12(cm)

∴ BCÓ=3`cm

15 서로 다른 직선은 ABê, ACê, ADê, BCê, BDê, CDê의 6개이

다.

27 PQÓ=2MQÓ=4MNÓ=4_3=12(cm)

16 직선은 PQê, PRê, PSê, PTê, QRê, QSê, QTê, RSê, RTê, STê

의 10개이므로 a=10

반직선의 개수는 10_2=20(개)이므로 b=20

∴ a+b=30

17 직선은 ABê=ACê=BCê이므로 1개

반직선은 AB³(=AC³), BA³, BC³, CA³(=CB³)의 4개

선분은 ABÓ, ACÓ, BCÓ의 3개

18 점 D와 한 직선 위에 있는 세 점 A, B, C 중 두 점을 골라

만들 수 있는 직선은 ADê, BDê, CDê, ABê의 4개이다.

19 한 직선 위에 있는 세 점 B, C, D와 그 밖의 두 점 A, E

중 두 점을 골라 만들 수 있는 선분은 ABÓ, ACÓ, ADÓ,

AEÓ, BCÓ, BDÓ, BEÓ, CDÓ, CEÓ, DEÓ의 10개이다.

20 한 점에서 만들 수 있는 반직선은 4개씩이므로

4×5=20(개)

이 중에서 AB³=AC³=AD³, BC³=BD³, CA³=CB³,

DA³=DB³=DC³이므로 반직선의 개수는

20-(2+1+1+2)=14(개)

21 ④ PRÓ=2PQÓ

23

54 Ⅰ . 도형의 기초

또는

(cid:37)

(cid:35)

(cid:35)

(cid:37)

28 점 M은 ABÓ의 중점이므로

ABÓ=2AMÓ=2_12=24(cm)

또한, BCÓ=

ABÓ=

_24=8(cm)이고

;3!;

;3!;

BNÓ=

BCÓ=

_8=4(cm)이므로

;2!;

;2!;

MNÓ=BMÓ+BNÓ=AMÓ+BNÓ=12+4=16(cm)

29 AMÓ=MCÓ, CNÓ=NBÓ이므로

ABÓ =AMÓ+MCÓ+CNÓ+NBÓ

=2(MCÓ+CNÓ)=2_6=12(cm)

30 MBÓ=AMÓ=3`cm, BNÓ=NCÓ=5`cm

∴ MNÓ=MBÓ+BNÓ=3+5=8(cm)

31 3AOÓ=2OBÓ이므로

_ABÓ=

AOÓ=

2

2+3

;5@;

점 M이 AOÓ의 중점이므로

_20=8(cm)

AMÓ=

AOÓ=

_8=4(cm)

;2!;

;2!;

33 (예각)<(직각)<(둔각)<(평각)이므로 크기가 작은 것부터 차례로 나열하면 ㄴ, ㄱ, ㄹ, ㄷ이다. 34 ㄱ. (cid:18)(cid:19) (cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:19) (cid:18) (cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:19) (cid:18) (cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:19) (cid:18) (cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:17) (cid:18)(cid:17) (cid:18)(cid:17) (cid:19) (cid:18)(cid:17) (cid:18)(cid:19) (cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:19) (cid:18) (cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:19) (cid:18) (cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:19) (cid:18) (cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:17) (cid:18)(cid:17) (cid:18)(cid:17) (cid:19) (cid:18)(cid:17) (cid:18)(cid:19) (cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:19) (cid:18) (cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:19) (cid:18) (cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:19) (cid:18) (cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:17) (cid:18)(cid:17) (cid:18)(cid:17) (cid:19) (cid:18)(cid:17) (cid:26) (cid:26) (cid:26) (cid:26) (cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:26) (cid:26) (cid:26) (cid:26) (cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:26) (cid:26) (cid:26) (cid:26) (cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:26) (cid:26) (cid:26) (cid:26) (cid:20) (cid:20) (cid:25) (cid:25) (cid:24) (cid:25) (cid:21) (cid:25) (cid:24) (cid:23) (cid:22) (cid:24) (cid:23) (cid:22) (cid:24) (cid:23) (cid:22) (cid:23) (cid:25) (cid:25) (cid:24) (cid:25) (cid:21) (cid:25) (cid:24) (cid:23) (cid:22) (cid:24) (cid:23) (cid:22) (cid:24) (cid:23) (cid:22) (cid:23) (cid:25) (cid:25) (cid:24) (cid:25) (cid:21) (cid:25) (cid:24) (cid:23) (cid:22) (cid:24) (cid:23) (cid:22) (cid:24) (cid:23) (cid:22) (cid:23) (cid:25) (cid:25) (cid:24) (cid:25) (cid:21) (cid:25) (cid:24) (cid:23) (cid:22) (cid:24) (cid:23) (cid:22) (cid:24) (cid:23) (cid:22) (cid:23) ㄷ. (cid:19) (cid:21) (cid:19) (cid:21) (cid:18) (cid:20) (cid:22) (cid:19) (cid:21) ㄹ. (cid:18)(cid:19) (cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:19) (cid:18) (cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:19) (cid:18) (cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:19) (cid:18) (cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:17) (cid:18)(cid:17) (cid:18)(cid:17) (cid:19) (cid:18)(cid:17) (cid:19) (cid:21) (cid:19) (cid:21) (cid:18) (cid:20) (cid:22) (cid:19) (cid:21) (cid:20) (cid:19) (cid:21) (cid:19) (cid:21) (cid:18) (cid:20) (cid:22) (cid:19) (cid:21) ㄴ. (cid:19) (cid:21) (cid:19) (cid:21) (cid:18) (cid:20) (cid:22) (cid:19) (cid:21) (cid:37) (cid:37) (cid:34) (cid:34) (cid:38) (cid:38) (cid:36) (cid:36) (cid:34) (cid:34) (cid:36) (cid:36) (cid:38) (cid:38) (cid:35) (cid:35) 예각 예각 둔각 직각 35 ∠BOC+40ù=90ù ∴ ∠BOC=50ù ∠BOC+∠x=90ù, 50ù+∠x=90ù ∴ ∠x=40ù ∠y= _180ù=36ù 2 3+2+5 36 ∠x+(3∠x+10ù)=90ù이므로 4∠x=80ù ∴ ∠x=20ù 37 (∠x+30ù)+(2∠x+10ù)+∠x=180ù 4∠x=140ù ∴ ∠x=35ù 38 ∠AOB+∠BOC=90ù, ∠BOC+∠COD=90ù 두 식을 변끼리 더하면 ∠AOB+∠COD+2∠BOC=180ù 50ù+2∠BOC=180ù, 2∠BOC=130ù ∴ ∠BOC=65ù 39 ∠x+2∠x+3∠x+4∠x=180ù 10∠x=180ù ∴ ∠x=18ù 40 25ù+∠x=90ù ∴ ∠x=65ù 60ù+90ù+∠y=180ù ∴ ∠y=30ù ∴ ∠x-∠y=65ù-30ù=35ù 41 ∠BOD=∠BOC+∠COD (∠AOC+∠COE) = _180ù=90ù ;2!; = ;2!; 42 ∠AOC+∠COD+∠DOB=180ù ∠AOC+90ù+2∠AOC=180ù 3∠AOC=90ù ∴ ∠AOC=30ù 43 ∠AOD=4∠COD에서 ∠AOC=3∠COD이므로 90ù=3∠COD ∴ ∠COD=30ù ∠DOB=60ù이므로 ∠DOE= ∠DOB= _60ù=30ù ;2!; ;2!; ∴ ∠COE=∠COD+∠DOE=30ù+30ù=60ù 개 념 익 힘 탑 46 ∠x+∠y+∠z=180ù이고 ∠x`:`∠y`:`∠z=2`:`7`:`3이므로 ∠x= _180ù=30ù 2 2+7+3 47 ∠a`:`∠b=2`:`3, ∠a`:`∠c=1`:`2이므로 ∠a`:`∠b`:`∠c=2`:`3`:`4 ∠a+∠b+∠c=180ù이고 ∠a`:`∠b`:`∠c=2`:`3`:`4이므로 ∠a= _180ù= _180ù=40ù ;9@; 2 2+3+4 49 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 2∠x-40ù=∠x+50ù ∴ ∠x=90ù 50 ⑴ (∠x+50ù)+∠x+(2∠x+10ù)=180ù 4∠x+60ù=180ù, 4∠x=120ù ∴ ∠x=30ù ⑵ 2∠x+(∠x+30ù)=90ù, 3∠x=60ù ∴ ∠x=20ù 51 ∠a+∠b+∠c=180ù이므로 2 _180ù=60ù ∠b= 3+2+1 52 ∠AOB와 ∠COD, ∠AOD와 ∠COB의 2쌍이다. 53 ∠AOB와 ∠DOE, ∠BOC와 ∠EOF, ∠COD와 ∠AOF, ∠AOC와 ∠DOF, ∠BOD와 ∠AOE, ∠BOF와 ∠COE의 6쌍이다. [다른 풀이] 3_(3-1)=6(쌍) 54 (맞꼭지각의 쌍의 개수)=4×(4-1)=12(쌍) 44 ∠COE =∠COD+∠DOE = ∠AOD+ ∠BOD ;4!; ;4!; ;4!; ;4!; = ∠AOB= _180ù=45ù 45 ∠x+∠y+∠z=180ù이고 ∠x`:`∠y`:`∠z=3`:`2`:`5이므로 (cid:38) (cid:37) (cid:36) PCÓ이다. 55 점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발 C까지의 거리이므로 (cid:34) (cid:48) (cid:35) 56 ② BCÓ⊥CDÓ ⑤ 점 A와 CDÓ 사이의 거리를 나타내는 선분은 BCÓ이다. 57 ⑵ 점 C와 ABÓ 사이의 거리는 점 C에서 ABÓ에 내린 수선 의 발 H까지의 거리이므로 4.8`cm이다. 정답과 풀이 55 58 ∠y=30ù ∠x=∠BOD-30ù=90ù-30ù=60ù ∴ ∠x-∠y=60ù-30ù=30ù 59 ∠y=∠x+90ù이므로 ∠y-∠x=90ù 60 ∠AOD=90ù이므로 (∠x+15ù)+30ù=90ù ∴ ∠x=45ù 75 모서리 BC와 한 점에서 만나는 모서리는 모서리 AB, DC, BF, CG이므로 a=4 모서리 AD에 평행한 모서리는 모서리 BC, FG, EH이므 모서리 DH와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AB, 로 b=3 EF, BC, FG이므로 c=4 ∴ a+b+c=4+3+4=11 ∠y-25ù=90ù+30ù=120ù이므로 ∠y=145ù 76 모서리 BC와 평행한 모서리는 모서리 AD, EH, FG의 3 ∴ ∠y-∠x=145ù-45ù=100ù 개이므로 a=3 61 ⑤ 직선 l은 두 점 A, C를 지나고 두 점 B, D를 지나지 않 CG, EH, HG, FG의 5개이므로 b=5 는다. ∴ a-b=3-5=-2 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 DH, 62 ⑤ 점 D는 직선 l 위에 있고, 직선 m 위에 있지 않다. 63 ㄱ. 직선 l 위에 있지 않은 점은 점 C, D, E의 3개이다. ㄴ. 세 점 A, B, E가 평면 P 위에 있다. 64 ④ 서로 직교하는 경우는 한 점에서 만나는 특수한 경우이다. ⑤ 한 평면 위에 있는 두 직선은 평행하거나 만난다. 65 ③ 점 A는 CDê 위에 있지 않다. 66 l⊥m, m⊥n이므로 오른쪽 그림과 같이 나타낼 수 있다. (cid:77) (cid:79) 따라서 두 직선 l과 n은 평행하다. (cid:78) 즉, ln 67 ABê와 한 점에서 만나는 직선은 BCê, CDê, DEê, FGê, GHê, AHê의 6개이다. BC, BE이다. 68 모서리 DF와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AB, EI이다. 70 모서리 BG와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AE, AD, EF, EH, DH의 5개이다. 72 모서리 AF와 수직으로 만나는 모서리는 모서리 AB, AE, FG, FJ이다. 73 모서리 BC와 평행한 모서리는 모서리 AD, FG, EH의 3 개이다. 56 Ⅰ . 도형의 기초 77 주어진 전개도로 만든 정육면체는 오른쪽 그림과 같으므로 모서리 BC와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 NK이다. (cid:34)(cid:9)(cid:46)(cid:13)(cid:65)(cid:42)(cid:10) (cid:45)(cid:9)(cid:43)(cid:10) (cid:35)(cid:9)(cid:37)(cid:13)(cid:65)(cid:41)(cid:10) (cid:47) (cid:36) (cid:38)(cid:9)(cid:40)(cid:10) (cid:44) (cid:39) 78 주어진 전개도로 만든 삼각기둥은 오른쪽 그림과 같으므로 모서리 AB와 평행한 모 서리는 모서리 JC, HE의 2개이므로 a=2 (cid:43) (cid:36) (cid:34)(cid:9)(cid:42)(cid:13)(cid:65)(cid:40)(cid:10) (cid:41) (cid:38) (cid:35)(cid:9)(cid:37)(cid:13)(cid:65)(cid:39)(cid:10) 모서리 HE와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 JI(=AJ), CD(=BC)의 2개이므로 b=2 ∴ a+b=2+2=4 79 주어진 전개도로 만든 정팔면체는 오 (cid:41) 른쪽 그림과 같으므로 (cid:34) (cid:43) (cid:42) (cid:40) (cid:35) 모서리 AJ와 꼬인 위치에 있는 모서 (cid:37) 리는 모서리 BD, CD(=DE), FI, (cid:38) (cid:39) (cid:36) (cid:35)(cid:9)(cid:39)(cid:10) (cid:34)(cid:9)(cid:40)(cid:10) (cid:36)(cid:9)(cid:38)(cid:10) (cid:43)(cid:9)(cid:41)(cid:10) (cid:42) (cid:37) ① 모서리 AJ와 모서리 BC는 평행하다. ⑤ 모서리 AJ와 모서리 GI는 한 점에서 만난다. 80 ㄹ. 공간에서 만나지 않는 두 직선은 평행하거나 꼬인 위 치에 있다. 81 ① 한 직선에 수직인 서로 다른 두 직선은 한 점에서 만나 거나 평행하거나 꼬인 위치에 있다. ② 서로 다른 두 직선이 만나지 않으면 평행하거나 꼬인 위치에 있다. ④ 꼬인 위치에 있는 두 직선을 포함하는 평면은 없다. ⑤ 한 직선과 꼬인 위치에 있는 서로 다른 두 직선은 평행 91 오른쪽 그림과 같이 수직으로 만난다. 즉, PQ, P⊥R이면 Q⊥R이다. 하거나 한 점에서 만나거나 꼬인 위치에 있다. (cid:49) (cid:50) (cid:51) 82 ① 공간에서 서로 만나지 않는 두 직선은 평행하거나 꼬인 위치에 있다. 92 ② 한 평면에 평행한 서로 다른 두 직선은 평행하거나 한 점에서 만나거나 꼬인 위치에 있다. ④ 꼬인 위치에 있는 두 직선은 한 평면 위에 있지 않다. ③ 한 직선에 수직인 서로 다른 두 직선은 평행하거나 한 83 ① 면 BGFA, 면 AFJE, 면 DIJE의 3개이다. ③ 모서리 CD는 면 CHID에 포함된다. ⑤ 모서리 AE는 면 FGHIJ와 평행하다. 84 ㄱ. 면 BFGC와 수직인 모서리는 ABÓ, CDÓ, EFÓ, GHÓ의 4개이다. ㄴ. 점 A와 EFÓ를 포함하는 면은 면 ABFE이다. ㄷ. BDÓ와 평행한 면은 면 EFGH이다. ㄹ. CGÓ와 수직인 면은 면 ABCD, 면 EFGH의 2개이다. 85 면 ABC에 포함되는 모서리는 모서리 AB, BC, CA의 3 면 DEF와 수직인 모서리는 모서리 AD, BE, CF의 3개 개이므로 a=3 이므로 b=3 ∴ a+b=3+3=6 86 주어진 전개도로 만든 삼각기둥은 오른쪽 그림과 같다. ② 모서리 BC는 면 CDE에 포함된다. ⑤ 모서리 HE는 면 CDE와 수직이다. (cid:43) (cid:36) (cid:34)(cid:9)(cid:42)(cid:13)(cid:65)(cid:40)(cid:10) (cid:41) (cid:38) (cid:35)(cid:9)(cid:37)(cid:13)(cid:65)(cid:39)(cid:10) 개 념 익 힘 탑 점에서 만나거나 꼬인 위치에 있다. ④ 한 평면에 수직인 서로 다른 두 평면은 평행하거나 한 직선에서 만난다. 94 ① lP, mP이면 오 른쪽 그림과 같이 두 (c

구분 초등 중등 고등 영어 학년 1학년 2학년 3학년 학기 1학기 2학기 과목 영어 국어 수학 과학 사회

교재선택 NEW 투탑 영어 2-2 NEW 투탑 영어 3-2 투탑 집중완성 과학 3-1 투탑 집중완성 과학 3-2 투탑 집중완성 사회 ② 투탑 집중완성 역사 ② 투탑 집중완성 사회 ②-1 투탑 집중완성 역사 ②-1 투탑 집중완성 사회 ②-2 투탑 집중완성 역사 ②-2 투탑수학 중학 1-1 투탑수학 중학 1-2 투탑수학 중학 2-1 투탑수학 중학 2-2 투탑수학 중학 3-1 투탑수학 중학 3-2 NEW 투탑 영어 3-1 패턴수학 중학 3-2 최상위수학 중등 1-1 최상위수학 중등 2-1 최상위수학 중등 3-1 최상위수학 중등 1-2 최상위수학 중등 2-2 최상위수학 중등 3-2 문제로 국어문법 중등 전과정 총정리 최상위수학 라이트 중 1-1 최상위수학 라이트 중 2-1 최상위수학 라이트 중 3-1 최상위수학 라이트 중 1-2 최상위수학 라이트 중 2-2 최상위수학 라이트 중 3-2 디딤돌수학 개념연산 중1-1A 디딤돌수학 개념연산 중1-1B 디딤돌수학 개념연산 중2-1A 디딤돌수학 개념연산 중2-1B 디딤돌수학 개념연산 중3-1A 디딤돌수학 개념연산 중3-1B 디딤돌수학 개념연산 중1-2 디딤돌수학 개념연산 중2-2 디딤돌수학 개념연산 중3-2 디딤돌 생각독해 1 디딤돌 생각독해 2 디딤돌 생각독해 3 디딤돌 생각독해 4 디딤돌 생각독해 5 디딤돌수학 개념기본 중1-1 디딤돌수학 개념기본 중2-1 디딤돌수학 개념기본 중3-1 디딤돌수학 개념기본 중1-2 디딤돌수학 개념기본 중2-2 디딤돌수학 개념기본 중3-2 디딤돌수학 중학세트 개념연산+개념기본 1-1 디딤돌수학 중학세트 개념연산+개념기본 2-1 디딤돌수학 중학세트 개념연산+개념기본 3-1 디딤돌수학 중학세트 개념연산+개념기본 1-2 디딤돌수학 중학세트 개념연산+개념기본 2-2 디딤돌수학 중학세트 개념연산+개념기본 3-2

투탑 수학 중 3-2 정답

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「개념탑」에서는 수학 개념을

사례 중심으로 쉽게 설명하면서도,

수학적 원리와 개념 간의

연결 관계(맥락) 속에서

개념이 더욱 탄탄해지도록

내용을 구성하였다.

Ⅰ. 삼각비

1. 삼각비

2. 삼각비의 활용

Ⅱ. 원의 성질

1. 원과 직선

2. 원주각

Ⅲ. 통계

1. 대푯값과 산포도

2. 상관관계

투탑_중_3-2_정답과_풀이.pdf 3.63MB

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