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\”딱 한줄이면 끝나. 라이프니츠의 위엄이죠.\”
\”라이프니츠의 큰 업적 중 하나는
‘변수가 아무리 복잡하게 꼬여 있어도 쉽게 미분할 수 있다’는 거야.
올해 부터는 이런 스타일이 자유롭게 나올겁니다.\”
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[2022수능] 수학 고난도 문항 어떻게 나왔나.. 미적분 30번
[베리타스알파=강태연 기자] 2022수능 수학영역 미적분 30번이 고난도 문항으로 꼽혔다. 주어진 조건을 만족시키는 정적분 값을 구하는 문항이다.Source: www.veritas-a.com
Date Published: 5/12/2022
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킬러 문제 – 나무위키
2019학년도 대학수학능력시험 국어 영역 31번. 정답률 18%. 쉽게 말해, 20% 확률로 찍는 것보다 못한 수준의 정답률이라는 것. 이 문제뿐만 아니라 2019학년도 대학수학 …
Source: namu.wiki
Date Published: 11/18/2022
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[수능] 어렵다는 수학 30번, 수학전공자 직접 풀어보니…”두통 …
실제로 EBS가 제공한 자료에 따르면 2016, 2017학년도 수능 수리가형 30번 문항은 각각 1.4%, 3% 대의 저조한 정답률을 보였다. 대학에서 수학을 전공한 …
Source: www.chosun.com
Date Published: 3/6/2022
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2021학년도 수능 수학 가형 30번 – 수학과 사는 이야기
올해도 어김없이 30번 문제가 학생들을 힘들게 했다. 30. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 …
Source: suhak.tistory.com
Date Published: 8/9/2022
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2021학년도 수능 수학 가형 30번 해설 – 단수이낭만상점
30번 문항 역시 어렵습니다. 그런데 이번 30번의 특징은 꽤나 특별합니다. 이런 류의 문제는, 수학을 정말 잘하는 최상위권은 오히려 금방 풀어내는 …
Source: gosamy.tistory.com
Date Published: 7/9/2022
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- Author: theMEGASTUDY
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- Date Published: 2020. 2. 24.
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[2022수능] 수학 고난도 문항 어떻게 나왔나.. 미적분 30번
[베리타스알파=강태연 기자] 2022수능 수학영역 미적분 30번이 고난도 문항으로 꼽혔다. 주어진 조건을 만족시키는 정적분 값을 구하는 문항이다. 부분적분법과 치환적분법을 이용하면 적분값을 구할 수 있다. 정답은 143이다.2022수능 수학 미적분은 9월모평과 비슷한 난이도로 출제된 것으로 분석된다. 이투스 교육평가연구소의 분석에 의하면 공통과목은 난이도를 높이고, 선택과목별 난이도는 조정해 변별력을 확보하고 과목별 편차를 줄이려 노력한 것으로 보인다. 지난 6월/9월모평을 통해 수학은 미적분 선택자의 1등급 점유율이 높은 것으로 확인됐고, 이에 평가원은 이번 수능 시험을 통해 이를 해소하려 한 것으로 분석된다.
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2021학년도 수능 수학 가형 30번
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올해도 어김없이 30번 문제가 학생들을 힘들게 했다.
30. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)=f(\sin^2 \pi x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $0
2021학년도 수능 수학 가형 30번 해설
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30번 문항 역시 어렵습니다. 그런데 이번 30번의 특징은 꽤나 특별합니다. 이런 류의 문제는, 수학을 정말 잘하는 최상위권은 오히려 금방 풀어내는 문제지만, 다수의 학생들은 건드려볼 시간도 없었을 것이고 풀어내기 까다롭습니다. 게다가 마지막에 $f(x)$ 를 결정하는 식 세우는 방법이 일종의 테크닉인데, 최근 기출문제에서도 제 기억이 맞다면 2020학년도 6월 평가원 (가)형 21번에 쓰였던 것 말고 없었던 것 같습니다. 이 때문에 시험장에서 30번을 맞았다면 거의 1등급일 가능성이 농후할 듯 싶습니다. 총체적으로 이번 수학 (가)형은 어려운 시험이 맞습니다. 시간이 흐름에 따라 서서히 수능 난이도도 상향 평준화 되는 듯 합니다.
1. (가) 조건
(가)조건에 의하면 실수 전체에서 정의된 함수 $g(x)$의 극대가 되는 $x$의 개수가 열린구간 $(0,1)$에서 $3$이라 했으니, 일단 미분을 해봐야 합니다.
$$\begin{align*} g'(x)=f(\mathrm{sin}^2\pi x)&=f'(\mathrm{sin}^2\pi x)\,2\,\mathrm{sin}\pi x \cdot \mathrm{cos}\pi x\cdot \pi
\\&=\pi f'(\mathrm{sin}^2\pi x)\,\mathrm{sin}2\pi x \end{align*}$$
극대를 찾기 위해 $g'(x)=0$ 이 되는 $x$값을 찾아야겠죠? 일단 함수를 두 부분으로 쪼갰을 때 $\mathrm{sin}2\pi x=0$ 을 먼저 조사하면, 이는 주기가 $1$인 사인함수이므로 아래 [그림 1]과 같이
[그림 1]$x=\displaystyle\frac{1}{2}$ 에서 부호가 한 번 바뀝니다. 그런데 극대가 되는 $x$의 개수가 3이라고 했네요. 극대는 증가하다가 감소하는 곳에서 발생하므로, 다시말해 도함수의 부호가 양수에서 음수가 될 때에 해당합니다. 이를 만족하기 위해서는, 도함수의 부호가 $$+\rightarrow -\rightarrow + \rightarrow – \rightarrow + \rightarrow -$$
로 증가 – 감소 – 증가 – 감소 – 증가 – 감소로 5번이 바뀌어야 합니다. 따라서 도함수를 그렸을 때 도함수의 근(중근이 아닌 근)이 5개 존재한다는 뜻이죠. 그런데 $g'(x)$에서 우리는 $x=\displaystyle\frac{1}{2}$ 하나만 찾았으니, $f'(\mathrm{sin}^2\pi x)$ 에서 4개의 근이 나와야 한다는 결론을 얻습니다.
$f'(\mathrm{sin}^2\pi x)=0$ 이 되는 $x$값은 당연하게도 치환(Substitution)을 사용해야 합니다. 치환은 수학에서 손에 꼽힐 정도로 아주 강력한 도구입니다. 고등학교 수준에서는 합성함수가 나왔을 때 십중팔구 치환을 이용하는게 짱입니다. 이번 수능 28번 문제도 합성함수이고, 30번도 합성함수입니다. 모두 치환을 이용해서 풀어야 하는 문제이지요. 치환을 할 때는 근의 모양과 범위가 바뀐다는 사실만 주의깊게 기억하고 사용하면 됩니다. 치환 후에는 다음과 같이 이차함수의 $x$절편을 찾는 문제로 귀결됩니다.
$$f'(\mathrm{sin}^2\pi x)=f'(t)=0$$
$f(x)$가 최고차항 계수가 1인 삼차함수라 했으니, $f'(x)$는 최고차항 계수가 3인 이차함수입니다. 이 때 이차함수의 근은 $t=\mathrm{sin}^2\pi x$ 이고 $x$의 값이 4개가 나오려면, $f'(t)=0$이 서로 다른 두 실근을 가져야만 함을 알 수 있습니다. $f'(t)=0$이 허근을 가지면 $x$가 존재하지 않고, 중근을 가지면 $x$가 최대 2개까지밖에 안나오기 때문이죠. $f'(t)=0$의 두 근을 $t_1,t_2\;\;(t_1
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