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00:08 서론
1. 행렬
01:39 (1) 용어정리
10:13 (2) 행렬의 연산
2. 연립일차방정식
24:20 (1) 행렬의 표현
26:35 (2) 가우스 조던 소거법
38:37 (3) 역행렬 이용
3. 행렬식
40:44 (1) 행렬식이란?
56:25 (2) 역행렬
1:16:07 (3) 크래머 공식
1:21:56 과제 preview
1:25:00 마치며
#행렬 #행렬식 #가우스
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[선형대수학] 벡터, 행렬 기초, 행렬의 분해 – 네이버 블로그
3) 행렬의 기본 연산. 4) 벡터의 내적과 행렬의 곱. . 2. 역행렬, 전치행렬, 선형방정식. 1) 선형연립방정식의. 2) 선형연립방정식의 미지수(x)를 …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 12/14/2022
View: 3068
선형대수: 행렬, 벡터, 행렬식, 선형연립방정식
선형대수: 행렬, 벡터,. 행렬식, 선형연립방정식 … 처음 3개의 행렬은 크기가 × 이고 마지막 2개의 … 4개의 성분을 갖는 벡터와 × 행렬도 더할 수.
Source: www.kunsan.ac.kr
Date Published: 4/16/2022
View: 8326
행렬 표기법, 덧셈, 곱, 전치 – 선형대수학 – 딥러닝 공부방
[선형대수학] 2.1 행렬 연산 – Matrix Operations – 행렬 표기법, 덧셈, 곱, 전치. AI 꿈나무 2020. 11. 7. 14:03. 반응형. 이번에 공부할 내용은 행렬 연산(Matrix …Source: deep-learning-study.tistory.com
Date Published: 10/16/2021
View: 971
그러면 행렬과 선형대수는 무슨 관계죠?
어쨌거나 의미상으로 ‘선형대수’라는 것은 Linear Algebra 즉, 1차원 대수학만을 의미하는 것 같긴 합니다. ‘선행대수’라고 하는 것은 오타같기도 합니다.
Source: dm4ir.tistory.com
Date Published: 8/15/2021
View: 4956
선형대수학 – 나무위키
수학과의 선형대수 과정은 추상적인 대수적 개념들과 선형함수를 먼저 배운 후에[27], 한참 나중에 학생들에게 친숙한 개념인 행렬과의 연결고리를 …
Source: namu.wiki
Date Published: 2/4/2021
View: 2672
선형대수학 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
선형대수학(線型代數學, 영어: linear algebra)은 벡터 공간, 벡터, 선형 변환, 행렬, 연립 선형 방정식 등을 연구하는 대수학의 한 분야이다. 현대 선형대수학은 …
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 10/20/2021
View: 4855
[행렬대수학] 행렬대수학(Matrix Algebra) 기초 – 행렬(Matrix)
안녕하십니까, 간토끼입니다. 이번 카테고리에서는 Matrix Algebra, 행렬대수학에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 보통은 선형대수학(Linear Algebra)를 …
Source: datalabbit.tistory.com
Date Published: 5/26/2021
View: 557
[선형대수학 #1] 주요용어 및 기본공식
우리가 알고있는 행렬연산, 벡터연산, 미분, 적분 등이 위 관계식을 만족하는 선형 함수(연산)에 해당된다. 또한 대수학(代數學)은 대수(代數)라는 명칭 …
Source: darkpgmr.tistory.com
Date Published: 1/3/2021
View: 8318
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주제에 대한 기사 평가 선형 대수 행렬
- Author: 이상엽Math
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- Date Published: 2019. 5. 12.
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[선형대수학] 벡터, 행렬 기초, 행렬의 분해
벡터의 길이가 달라도 덧셈, 뺄셈 연산이 가능하다 => R, Pyhon numpy
– 벡터의 내적
R이나 Python에서는 곱셈 가능하지만, 선형대수에서는 가능하지 않다.
하지만 내적이라는 기능이 있다.
곱셈과 유사 기능이지만 R과 Python에서의 *연산자의 곱셈기능 아니다.
벡터의 길이가 같아야 내적 연산이 가능하다.
[선형대수학] 2.1 행렬 연산
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이번에 공부할 내용은 행렬 연산(Matrix Operations)입니다.
행렬 표기법 – Matrix Notation
행렬 덧셈 – Matrix Sum
스칼라 곱 – Scalar Multiple
행렬 곱 – Matrix Multiplication
행렬의 전치 – The transpose of a matrix
1. 행렬 표기법 – Matrix Notation
A가 mxn 행렬이면 i번째 행, j번째 열에 있는 스칼라 항목은 $a_{ij}$로 표기합니다.
또한 A의 (i,j) 항목이라고 부릅니다.
2. 행렬 덧셈 – Matrix Sum
같은 사이즈 행렬 A와 B가 있으면 행렬 덧셈을 할 수 있습니다.
각각 모든 entry를 더하면 됩니다.
3. 스칼라 곱 – Scalar Multiple
r 스칼라와 A 행렬이 있으면 스칼라 곱(scalar multiple) rA를 할 수 있습니다.
4. 이론 1 – Theorem 1
Matrix A, B, C 가 있고 Scalar r, s가 있을 때 위 성질을 만족합니다.
이는 1장에서 공부했었던 $R^n$ 공간에서 vector의 성질과 동일합니다.
각각의 matrix는 column vector로 이루어져 있습니다.
따라서 vector의 성질을 만족하게 되어 위 성질을 만족하게 됩니다.
5. 행렬 곱 – Matrix Multiplication
행렬 곱(Matrix Multiplication)은 스칼라 곱(Scalar Multiplication)과 다릅니다.
Matrix Multiplication은 matrix size가 중요합니다.
m X n matirx A와 n X p matrix B를 곱하면 m X p matrix AB를 생성합니다.
AB는 Ab1, Ab2, Ab3을 나열한 행렬입니다.
이전 chapter까지는 b1 하나의 vector에 대해 공부했는데 이번에는 b matrix가 b1~bp로 이루어진 matrix에 대한 내용입니다.
6. 이론 2 – Theorem 2
A, B, C가 같은 size를 갖고 있으면 위 성질을 만족합니다.
주의할 점은 AB는 BA와 다릅니다.
일반적인 실수 체계에서는 AB=BA가 성립하지면 matrix 체계에서는 성립하지 않습니다.
7. 행렬의 전치 – The Transpose of a Matrix
행렬의 전치(transpose of a matrix)는 column과 row를 바꾼 것입니다.
8. 이론 3 – Theorem 3
주의할 점은 성질 d 입니다.
전치를 하면 matrix의 size가 변하게 됩니다.
matrix multiplication은 matrix size가 같아야 하는 성질이 있으므로 순서를 바꿔 size를 동일하게 합니다.
David C.Lay 의 Linear algebra and its application를 공부하면서 정리해보았습니다. 감사합니다.
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그러면 행렬과 선형대수는 무슨 관계죠?
연립1차 대수적 방정식과 이들의 해는 ‘선행대수’라는 과정에서 공부
대수학이란?
대수학(代數學, algebra)은 수학의 한 분야로 원래 대수(代 數)라는 말을 통해 실제 수 대신에 문자 를 사용해 방정식을 푸는 방법을 연구 한다는 뜻을 나타냈다. 이런 의미에서 대수란 명칭은 정확하다. 그러나, 현대의 대수학의 방법은 이런 고전적인 의미를 벗어나는 범위로 넓어 졌기 때문에, 이런 명칭을 통한 이해는 적당치 않다. 대수학은 구조(structure),관계,양에 대한 연구에 관련된 수학의 한분야이다. 기하학 , 해석학 , 정수론과 함께 대수학은 수학의 중요한 연구분야의 하나이다. (代數學, algebra)은 수학의 한 분야로 원래(代 數)라는 말을 통해졌기 때문에, 이런 명칭을 통한 이해는 적당치 않다. 대수학은 구조(structure),관계,양에 대한 연구에 관련된 수학의 한분야이다. 기하학 , 해석학 , 정수론과 함께 대수학은 수학의 중요한 연구분야의 하나이다.
1차방정식(Linear Equation)?
“a1*x1 + a2*x2 + … + an*xn = b”으로 표현할 수 있다.
1차방정식은 여러 변수끼리의 임의의 곱 또는 제곱근을 포함하지 않는다.
모든 변수는 1승 만으로 나타나고 3각함수, 대수함수 또는 지수함수의 변수로 나타나지 않는다 .
1차방정식의 해?
1차방정식 표현에서 n개의 수열 x1=s1, x2=s2, … xn=sn을 대입했을 때 그 방정식이 만족되는 n개의 수열 s1, s2, …, sn 이다. 그리고 이러한 모든 해의 집합을 그 방정식의 해집합( solution set ) 또는 그 방정식의 일반해( general solution ) 이라고 한다.
연립1차방정식?
변수 x1,x2,…,xn에 관한 1차방정식의 유한개 집합을 연립1차방정식( system of linear equations ) 또는 선형계( lineary system ) 예를들어, 1차방정식이 2개가 있고 두 방정식을 만족시키는 해가 1개 이상이면 모순이 없다( consistent ) 라고 하고, 하나도 없으면 해가 없다( inconsistent ) 고 한다.
기울기가 같으면 해가
나
그리고 기울기가 다르면 해가
가 될 것입니다.
첨가행렬(
)
n차
2차방정식의
왜 이러한 행렬이 필요할까요?
행렬이라는 것은 대단한 내용이 아니라 단순히 숫자 또는 그에 상응하는 심벌을 배열을 통해서 보여주는 배열 구조체 정도라고 생각됩니다. 결국 계산의 편리함이나 직관적임을 바라고 만든 형태가 아닐까 생각해봅니다. 그리고 현재 많이 사용되는 행렬의 형태는 이런 것들이 있겠습니다.
첫째. 방정식을 풀기 위한 방법
* 가우스 소거법 등을 이용하여 다차원의 방정식에서 해를 좀 더 편리하게 구할 있다.
둘째. 벡터의 표현 및 연산 을 위한 방법
* 벡터의 형태로 표현된 모든 자료를 행렬로 표현 및 연산이 용이합니다.
즉 행렬 자체가 마치 함수처럼 사용될 수도 있다
Linear expression based classifier?
약간 앞서나가보면, linear expression a1*x1 + a2*x2 + … + an*xn = b 라는 수식에서 a1, a2, … an 행렬과 x1, x2, …, xn 이라는 행렬의 곱은 b 행렬이다로 볼 수 있고
이러한 연립1차방정식을 만족하는 값들을 많이 알고있다면, 계수행렬을 추측할 수 있을 것이며, 이러한 계수행렬을 추측할 수 있다는 말은, 분류기를 하나 만들 수 있다 는 말과 같다.
벡터로 표현할 수 있는 자료들간에 연산을 하기 위함
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선형대수학(線型代數學, 영어: linear algebra)은 벡터 공간, 벡터, 선형 변환, 행렬, 연립 선형 방정식 등을 연구하는 대수학의 한 분야이다. 현대 선형대수학은 그중에서도 벡터 공간이 주 연구 대상이다. 추상대수학, 함수해석학에 널리 쓰이고 있다. 선형대수학은 자연과학과 공학에도 널리 활용된다. 선형 연립방정식을 푸는 좋은 방법으로는 소거법과 행렬식이 있다.
기초 [ 편집 ]
선형대수학은 2차원 혹은 3차원의 직교 좌표계에 대한 연구로부터 시작되었다.
선형대수학에서 기본적인 정의는 다음과 같다.
벡터: 벡터 공간의 원소를 벡터라 한다.
벡터 연산 : 두 벡터끼리의 합, 혹은 벡터와 스칼라(크기만 있고 방향성은 없는 성분)사이의 곱이 벡터의 기본 연산이다.
: 두 벡터끼리의 합, 혹은 벡터와 스칼라(크기만 있고 방향성은 없는 성분)사이의 곱이 벡터의 기본 연산이다. 벡터 공간 : 벡터의 기본 연산을 만족하는 모든 벡터의 모음을 뜻한다.
: 벡터의 기본 연산을 만족하는 모든 벡터의 모음을 뜻한다. 차원 : 흔히 평면을 2차원, 공간을 3차원이라고 부른다. 이때 차원을 구성하는 각각의 요소(3차원의 경우 x,y,z)는 서로 독립적인데 이에 대한 개념을 확장한 것이 바로 선형대수학의 차원이다.
: 흔히 평면을 2차원, 공간을 3차원이라고 부른다. 이때 차원을 구성하는 각각의 요소(3차원의 경우 x,y,z)는 서로 독립적인데 이에 대한 개념을 확장한 것이 바로 선형대수학의 차원이다. 행렬: 여러개의 숫자들을 직사각형의 모양으로 한데 묶어 나타낸 성분. 벡터를 하나의 행 혹은 하나의 열로 구성된 행렬로 볼 수도 있다. 하지만 이것이 행렬의 수학적으로 엄밀한 정의는 아니다.
보통 3차원까지의 벡터는 그림 등으로 시각적 표현이 가능하지만 그 이상의 벡터는 벡터의 각 구성요소를 괄호 안에 나열함으로써 표기한다.
여러 가지 문제를 수학으로 해결하는 데 있어 선형대수학의 개념은 매우 중요한데, 선형화 혹은 선형 근사를 통해, 복잡한 비선형 방정식 문제를 간단한 선형 방정식 문제로 변환해 문제를 해결할 수 있기 때문이다.
선형성 [ 편집 ]
선형대수학의 선형성(영어: linearity)이라는 성질은 직관적으로는 아래와 같은 개념에서 시작되었다.
y = a 1 ⋅ x 1 + a 2 ⋅ x 2 + ⋯ + a n ⋅ x n {\displaystyle y=a_{1}\cdot x_{1}+a_{2}\cdot x_{2}+\cdots +a_{n}\cdot x_{n}} ( a k {\displaystyle a_{k}} 는 상수를, x k {\displaystyle x_{k}} 는 변수를 가리킨다)
이와 같이 선형성은 변수의 지수승( x n {\displaystyle x^{n}} )을 가리키는 것이 아니라 일차함수( x 1 {\displaystyle x^{1}} )와 같은 형태를 가리킨다. 선형과 대립되는 개념으로 비선형이 있는데, x n , sin x , cos x {\displaystyle x^{n},\sin x,\cos x} 등 일차함수와 같은 형태의 성질을 만족시키지 않는 함수들을 가리킨다. 선형의 직관적인 이해는 일차함수와 동일시해서 생각해도 좋다. 하지만 선형의 엄밀한 의미는 일차함수보다 더 확장된다. 수학적으로 정확한 선형의 설명은 다음과 같다.
(정의) 정의역 X {\displaystyle X} 에서 임의의 원소 u , v {\displaystyle u,v} 를 치역 Y {\displaystyle Y} 에 대응시키는 연산 T {\displaystyle T} 는 다음과 같은 성질을 만족시킬 때 “선형”이라고 한다. 여기서 c는 임의의 상수이다.
(1) T ( c u ) = c T ( u ) {\displaystyle T(cu)=cT(u)} (2) T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v ) {\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v)}
예를 들어 일차함수 y ( x ) = x {\displaystyle y(x)=x} 를 생각해보자. y ( c u ) = ( c u ) = c ( u ) = c y ( u ) {\displaystyle y(cu)=(cu)=c(u)=cy(u)} 로 (1)번 조건을 만족시키고 y ( u + v ) = ( u + v ) = u + v = y ( u ) + y ( v ) {\displaystyle y(u+v)=(u+v)=u+v=y(u)+y(v)} 로 (2)번조건을 만족시킨다. 그러므로 이 함수는 선형이다. 이차함수 y ( x ) = x 2 {\displaystyle y(x)=x^{2}} 의 경우에는 y ( c u ) = ( c u ) 2 = c 2 u 2 = c 2 y ( u ) {\displaystyle y(cu)=(cu)^{2}=c^{2}u^{2}=c^{2}y(u)} 로 조건을 만족시키지 않는다. 다른 선형연산의 예로는 회전변환, 원점을 지나는 직선에 대한 대칭변환, 어떤 벡터 공간에 대한 수직입사 등이 있다.
“선형”이라는 성질은 행렬과 동전의 양면과 같은 관계를 가지고 있다. 어떤 연산이 선형이라면 그것은 행렬로 표현이 가능하며, 어떤 행렬은 반대로 어떤 선형연산으로 해석될 수 있다. 이 선형대수학의 행렬이론은 수학의 이론뿐만 아니라 물리학, 전자공학, 컴퓨터 그래픽, 기계공학 등에 널리 쓰이고 있다.
학부과정 [ 편집 ]
학부과정에서 가르치는 선형대수학의 내용들은 다음과 같다. 다만 이 내용은 일반적으로 이와 같이 가르치는 내용이며 각 학교마다 비중있게 다루는 부분이 다를 수 있고 내용을 추가하거나 뛰어넘을 수 있다.
벡터와 행렬 : 벡터의 개념과 행렬의 개념에 대해 강의한다. 이에 대한 내용은 앞의 ‘기초’와 행렬문서를 참고하라.
가우스-요르단 소거법: 가우스-요르단 소거법은 행렬의 행 간의 연산이다. 이 연산은 행렬로 구성된 방정식의 해를 구하는 방법을 제시한다. 또한 이 계산과정을 뒷받침하는 이론에 대해서도 공부하며, 소거법의 결과로 구해진 해를 해석하는 방법도 공부한다. 가우스-요르단 소거법은 방정식의 해를 보존할 수 있는 연산들로 이루어져 있으며, 세 가지가 존재한다. 1. 행렬의 행을 그 행의 상수배만큼으로 대체하여도 그 행렬 방정식의 해는 보존된다. 2. 행렬의 한 행의 상수배를 다른 행에 더하더라도 그 행렬 방정식의 해는 보존된다. 3. 행렬의 한 행과 다른 행을 교환하더라도 그 행렬 방정식의 해는 보존된다.
행렬 연산자와 특정 형태의 행렬: 행렬에 관계된 연산자들과 특정한 형태의 행렬에 대해 배운다. 전치, 트레이스, 역행렬등이 중요한 행렬연산자이다. 특정한 형태의 행렬로는 단위행렬, 상부삼각행렬, 하부삼각행렬, 대칭행렬 등에 대해 배운다. 상부삼각행렬과 하부삼각행렬을 이용해 행렬을 표현하는 LU분해법도 배운다.
선형독립: 벡터들의 일차독립에 대해 가르친다. 행렬을 통한 일차독립 판별에 대해 공부한다.
행렬식(판별식): 행렬식의 정의와 행렬식을 구하는 방법을 공부한다. 또한 대수적으로 행렬식을 표현하고 행렬식에 관계된 정리들을 배운다.
고윳값과 고유벡터: 행렬의 고윳값과 고유벡터에 대해 공부한다. 행렬식을 통해 고윳값을 찾고, 고윳값과 가우스 소거법을 통해 고유벡터를 찾는 과정을 익힌다. 그 외에도 고윳값과 고유벡터에 관계된 정리들에 대해 공부한다.
선형연산자: 이 문서의 ‘선형’을 참조하라. 특히, 이 부분에서는 선형연산과 행렬 간의 상호성에 대해 주의 깊게 다룬다.
직교행렬: 직교화된 연산과 행렬에 대해 공부한다. 직교행렬이란 그것의 전치행렬과 그것의 역행렬이 같은 경우를 말한다. 직교화된 연산이란 연산대상 벡터의 크기가 보존되고 벡터들의 내적이 보존되는 경우를 말한다.
벡터 공간: 벡터 공간을 행렬을 통해 해석하는 방법을 익힌다. 선형연산과 행렬 간의 상호성과 마찬가지로 벡터 공간과 행렬 사이에는 깊은 상호성이 있다. 중요한 개념들로는 다음과 같은 것들이 있다. 기저, 차원: 기저란, 어떤 벡터 공간을 이루는 벡터들을 말한다. 이 벡터들은 일차독립이여야 하며, 이 벡터들의 선형조합으로 그 벡터 공간의 모든 벡터를 표현할 수 있어야 한다. 직관적인 예를 들면 x축, y축, z축은 3차원공간의 기저이다. 차원이란 기저를 구성하는 벡터들의 숫자를 말한다. 기본공간, 차원 정리, 계수정리, 피봇정리: 기본공간은 행렬과 벡터 공간 사이의 다리와 같은 역할을 한다. 기본공간에는 영공간, 행공간, 열공간 등이 있다. 차원정리, 계수정리, 피봇정리는 이 기본공간들의 차원과 기저에 대해 유용한 알고리즘을 제공한다. 벡터의 직교화: 직교화된 벡터들에 대해 공부한다. 직교화된 벡터들이란 다른 벡터와의 내적값이 0인 벡터들을 의미한다.
그람-슈미트 직교정규화: 그람-슈미트 직교정규화를 통해 주어진 벡터의 집합을 직교화된 벡터의 집합으로 변환하는 법을 다룬다. 벡터의 직교화에서 배운 개념을 바탕으로 전개해 나간다.
상사성과 대각화: 상사성이란 두 행렬이 동일한 연산을 의미한다는 뜻이다. 즉, 두 행렬이 서로 다른 두 벡터 공간에서 동일한 연산을 처리하고 있다는 의미이다. 그러므로 상사성을 가진 두 행렬은 적당한 기저를 선택해서 서로를 표현할 수 있다. 대각화란 이 상사성을 계산 측면에서 응용한 것으로 특정 행렬을 대각행렬로 표현하는 과정이다.
이 외에도 복소수 고윳값, 벡터 공간의 공리 등에 대해 다루기도 한다.
유용한 정리들 [ 편집 ]
ZFC 공리계 하에서 모든 벡터 공간은 기저가 존재한다. 그러나 ZF 공리계에서는 무한 차원 벡터 공간의 기저의 존재성을 보장할 수 없다. 유한 차원 벡터 공간의 기저는 선택 공리와 무관하게 항상 존재한다.
행렬의 역행렬이 존재할 필요충분조건은 행렬식의 값이 0이 아니어야 한다.
행렬의 역행렬이 존재할 필요충분조건은 행렬로 표현할 수 있는 선형 변환이 동형 사상이어야 한다.
행렬의 고윳값들의 곱은 행렬식의 값과 같으며, 합은 행렬의 대각합과 같다.
역사 [ 편집 ]
선형대수학에 관한 가장 오래된 기록은 고대 바빌로니아인들이 기원전 4세기 경에 선형연립방정식으로 이어지는 문제들을 연구한 기록이다. 현존하는 문헌 중에 가장 오래된 것은 한(漢)왕조 때인 BC 200년에서 BC 100년 사이에 쓰여진 <구장산술(九章算術)> 제8장「방정(方程)」장으로, 여기에 행렬에 관한 문제를 다루는 해법인 방정술(方程術)이 소개되어 있다. 이외에도 중국에서 다양한 기록이 있으며, 최소한 동양에서는 2세기 이전부터 선형대수학 연구가 시작되었다. 「방정」장 원본을 현대 선형대수학의 용어로 라이프니츠(G. W. Leibniz, 1646-1716),세키 고와(Seki Kowa, 関孝和, 1642-1708), 가우스(J. C. F. Gauss, 1777-1855)와 연결하여 구체적으로 서술한 논문에 따르면,이 책에서 방정장의 영부족(贏不足, excess and deficit)을 이용하는 두 개의 미지수를 갖는 두 개의 방정식의 해법과 방정장의 대부분을 정확하게 복원하였으며, n+1개의 미지수를 갖는 n개의 방정식을 복원하여 행렬식 계산(determinantal calculation)의 가장 오래된 기록임을 확인하였다.
선형대수학의 기초가 되는 행렬과 행렬식에 대한 연구는 모두 선형연립방정식의 연구에서 비롯되었다. 흥미로운 것은 행렬의 개념이 행렬식의 개념보다 훨씬 나중에 소개되었다는 것이다. 행렬식의 개념은 일본인 세키 고와가 1683년에 처음 소개했으며, 2×2, 3×3, 4×4, 5×5행렬의행렬식을 구하는 방법을 찾아서 방정식의 해법을 구했다. 유럽에서는 행렬식의 개념이1683년 라이프니츠에 의하여 소개된 것으로 알려져 있다. 더 나아가 그 이전에 가우스에 의하여 알려졌다고 주장하는 의견도 있다. 그러나 기록에 의하면 서양에서는 1693년 라이프니츠가 로피탈(L’Hôpital)에게 보낸 편지에 비로소 처음 소개되었다. 라이프니츠는 1700년과 1710년에 발표한 논문에서 소개한 계수행렬에 관한 연구를 통하여, 현재의 크래머(Cramer)공식에 이르는 기본 원리와 현대에서 라플라스(Laplace) 여인자 전개식이라 불리는 것의 기초를 닦았다.
근대 선형대수학의 이론적 발전은 뫼비우스에 의하여 본격적으로 시작되었다. 뫼비우스는 1827년 자신의 책 ‘Barycentric Calculus’에서 기하학적 대상(점)들을 가지고 직접 연산을 하는 최초의 대수적 체계를 소개하였고 동일 직선상의 선분을 어떻게 더하는지 보였다. 그러나 이에 관한 여러 어려움이 있었다. 이에 대한 답을 처음으로 준 수학자가 바로 그라스만이다. 그라스만은 베를린에서 수학이 아니라 신학과 철학을 공부하고 귀향하여 교사가 되었다. 그라스만은 1830년대 초부터 수학기초론을 공부하며 선형대수학을 발견하게 되었다. 그라스만은 1844년 자신의 첫 번째 책 ‘lineale Ausdehnungslehre (Extension)’에서12쪽의 서문과 16쪽의 서론에 걸쳐 자신의 저술 의도에 대하여 철학적으로 자세히 설명했다. 여기서 보인 완전히 추상적인 접근은 ‘n차원 공간’과 ‘교환법칙이 성립하지 않는 곱셈’이라는 새로운 수학적인 아이디어를 제공했다. 1844년 그라스만은 또한‘벡터들 사이의 내적(inner product)’을 정의하여 ‘벡터대수(vector algebra)’를 연구하였다.행렬 대수는 행렬곱셈을 곱셈 연산으로 하는 벡터대수의 일반화로 볼 수 있는데, 벡터의 내적은 행렬 중 특별한 경우인 1×n 행렬과 n×1 행렬의 곱셈으로 생각할 수 있기 때문이다. 따라서 벡터대수는 행렬대수의 특별한 경우임을 알 수 있다. 그러나 그라스만이 제시한 새로운 대수적 체계를 서술하는 혁명적인 아이디어와 난해한 기술방법은 큰 장애가 된다. 가우스는 1844년 12월에 그라스만에게 쓴 편지에서 “독자에게 익숙한 용어를 사용할 것”을 권고하고 있으며,뫼비우스가 1846년 1월에 아펠트(E. F. Appelt, 1812-1859)에게 쓴 편지에서는 “그라스만의 책은 이해하기 어려워서 한 페이지를 넘길 수가 없었다.”고썼다. 또 엥겔(F. Engel, 1861-1941)은 18권의 ‘Gesammelte(전집) Werke, Band 3’에서 그라스만의 업적을 실으면서 그의 업적과 출판이 어디서도 주목받지 못했음을 서술하였다. 그럼에도 불구하고 그라스만은 자신의 방법에 확신을 가지고 책을 다시 쓰기 시작하여 1861년 10월에 수정을 마치고, 1862년 ‘The second Ausdehnungslehre’ 300 권을 모두 자신의 비용으로 인쇄했다.이 책은 철학적 설명 없이 모두 정의-정리-증명(definition-theorem-proof)형식으로 썼는데(Fearnley-Sander, 1979), 여기서 제시한 내용 전체를 모두 그라스만이 처음으로 발견한 것은 아니지만 당시에 벌써 선형대수학의 거의 모든 주요 내용을 이해하고 정리한 그 완성도는 정말 놀랄만하다. 그가 다룬선형대수학의 내용을 현대적 용어로 쓰면 다음과 같다.
‘일차독립, 차원, 부분공간, 정사영, 좌표변환, 내적과 외적, 선형연립방정식의 해법, 직교, 선형변환, 선형변환의 행렬표현, rank-nullity 정리, 고유값, 고유공간, 특성방정식, 행렬의 대각화, 행렬분해, law of inertia, 미분방정식에의 응용, … ’
이후, 1888년 페아노가 그라스만의 업적을 소개하고, 1918년 와일이 이를 한번 더 인용하면서 선형대수학에 대한 본격적인 연구가 시작되었다. 이 다음은 실베스터, 케일리 등 저명한 여러 수학자들의 연구를 거치면서 현대 선형대수학의 형태에 이르게 되었다.
[행렬대수학] 행렬대수학(Matrix Algebra) 기초 – 행렬(Matrix)
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안녕하십니까, 간토끼입니다.
이번 카테고리에서는 Matrix Algebra, 행렬대수학에 대해 다뤄보도록 하겠습니다.
보통은 선형대수학(Linear Algebra)를 다루는 게 일반적인데요.
굳이 행렬대수학이라고 한 이유는 통계학을 위한 선형대수학만을 다룰 예정이므로, 선형대수학의 엄밀한 부분까지 다루진 않으려고 합니다. (사실 자신도 없고요 ㅎㅎ)
통계학에서 행렬의 역할은 매우 중요합니다.
통계분석 과정에서 발생하는 수학적 연산을 간단하고 명료하게 표현해낼 수 있다는 점에서 행렬이 갖는 의의는 상당합니다.
실제로 행렬을 사용하여 복잡한 연립방정싱의 문제를 풀 수 있는데요.
한번 예를 들어보죠.
우리가 중학교 때 방정식에 대해서 배우고, 이러한 연립방정식을 푸는 방법에 대해서도 배웠습니다.
위 문제는 방정식이 2개이고, 방정식의 해도 2개(x1, x2)인 문제이죠?
보통은 우리가 이러한 연립방정식 문제를 풀기 위해서는 비교적 단순하게(?) 접근하였습니다.
바로 특정 미지수의 계수를 서로 같게 만들어줌으로써 특정 항을 소거하고,
미지수 하나에 대한 식으로 만듦으로써 미지수의 값을 구한 후, 이 미지수를 식에 대입함으로써 다른 미지수의 값도 구하였습니다.
바로 이렇게 구했죠.
위와 같은 문제는 사실 중학교 수준에서도 충분히 풀 수 있을 정도로 단순합니다.
식도 2개이고, 미지수도 2개밖에 없으므로, 단순히 연립방정식을 이용한 해법으로도 쉽게 풀 수 있다는 거죠.
하지만 미지수가 n개인 선형방정식이 m개 있는 문제를 푼다면 어떻게 될까요?
바로 이런 문제이죠.
아마 이런 문제를 손으로 푼다고 생각하면 굉장히 오래 걸릴 것입니다.
특히 n과 m이 충분히 큰 수라고 가정하면… 손으로 풀 수 없을지도 모릅니다.
이때 우리는 행렬을 이용하면 간단하게 문제를 풀 수 있습니다
먼저 위 간단한 연립방정식 문제를 행렬로 표기하면 다음과 같습니다.
방정식의 계수 부분을 행렬로 표현할 수 있습니다.
이를 계수행렬(Coefficient Matrix)이라고 합니다.
그리고 방정식의 해로 이루어진 [x1 x2] 부분을 일반적으로 벡터(vector)라고 부릅니다.
따지고 보면 행렬이라고 할 수도 있습니다. 여기서 차원을 한번 얘기해보죠.
먼저 행렬의 정의를 보면 행과 열로 이루어진 직사각형 모양의 배열입니다.
가로 줄을 행(Row)라고 부르고, 세로 줄을 열(Column)이라고 부르는데요.
그렇기에 행렬 A는 3행 3열로 이루어진 행렬이라고 할 수 있으며, 이 행과 열의 수를 우리는 차원(Dimension)이라고 할 수 있습니다.
차원의 엄밀한 정의는 다음에 다루도록 하고요. 가볍게 알아두시면 좋을 것 같습니다.
따라서 행렬 A는 3 x 3 행렬(Matrix)라고 정의할 수 있습니다.
그렇기에 이러한 정의를 이용하면 위에서 정의한 벡터는 2 x 1 Matrix라고 할 수 있습니다.현재 타이핑으로 표현하므로 불가피하게 가로로 [x1 x2]라고 표현했지만, 위 참고 이미지를 보시면 세로로 표현돼있죠?이를 열벡터(Column Vector)라고 합니다.
가로로 표현하는 형태는 행벡터(Row Vector)라고 하고요.
따라서 위 정의들을 바탕으로 개념을 확장해보겠습니다.
이러한 선형방정식 문제를 행렬 표기법으로 나타내면
계수행렬 A는 다음과 같이 m x n Matrix 형태로 표현할 수 있으며
방정식의 해로 이루어진 벡터 x를 vector라고 할 수도 있고, n x 1 Matrix라고도 할 수 있습니다.
방정식의 우항은 마찬가지로 vector로 표현할 수 있겠죠?
이를 종합하면 위 문제는 다음과 같이 축약하여 표현할 수 있습니다.
이러한 문제를 다음과 같이 Ax = b 형태로 표현하여 푸는 과정을 선형 시스템(Linear System)이라고 하며,
행렬을 이용하면 선형 시스템을 효과적으로 풀 수 있습니다.
그리고 이를 확장함으로써 통계적인 관점에서도 행렬이 굉장히 유용하게 쓰일 수 있습니다.
다음 포스팅에서는 이러한 선형 시스템의 해를 구하는 방법론을 소개하면서 점차적으로 행렬대수학을 다뤄보도록 하겠습니다.
감사합니다.
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다크 프로그래머 :: [선형대수학 #1] 주요용어 및 기본공식
이번 글은 우리가 배우는 수학 중 영상처리 뿐만 아니라 공학 및 연구개발에 있어서 실질적으로 가장 많이 활용되는 선형대수학(linear algebra)에 대한 것입니다.
사실 저도 예전에 선형대수학을 배운 적은 있지만 지금 기억나는 것은 대략적인 개념들 몇가지 뿐이고 대부분은 가물가물한 상태입니다. 그렇다고 나이도 있는데 그걸 다 다시 공부하기는 힘든 일입니다.
따라서, 선형대수학에 대한 전반적인 내용을 모두 다루기보다는 실질적인 활용도 면에 있어서 중요하다고 생각되는 것들 위주로 글을 정리할 예정입니다.
그리고 가급적 실제 활용 측면에서의 내용을 적어볼 생각입니다.
예상되는 주요 내용은 선형대수학의 핵심이라고 할 수 있는 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector), 대각화, 특이값분해(SVD, singular value decomposition)를 포함하여 pseudo-inverse, 케일리-해밀턴 정리, 행렬식(determinant), 최소자승법(least-square)과 선형연립방정식의 풀이, 주성분분석(principal component analysis), 2차곡선의 행렬표현 등입니다.
첫번째 내용은 선형대수학에 나오는 기본 용어 및 성질(정리, 공식)에 대한 단순 요약입니다.
1. 선형대수학이란?
선형대수학은 선형 함수(or 사상, 연산, 변환)에 대한 대수학으로서, 여기서 선형(linear)은 다음 두 관계식으로 정의된다.
— (1)
우리가 알고있는 행렬연산, 벡터연산, 미분, 적분 등이 위 관계식을 만족하는 선형 함수(연산)에 해당된다.
또한 대수학(代數學)은 대수(代數)라는 명칭 그대로 수를 대신하여 문자를 사용해 식을 전개하고 방정식을 푸는 방법을 연구하는 수학 분야이다.
2. 선형대수학 기초
벡터의 개념, 행렬연산, 역행렬 등 선형대수학의 기본 개념에 대해서는 http://blog.daum.net/eigenvalue/10856412 글을 참조하시길 추천합니다. 선형대수학에 대한 기본 개념을 고등학교 수학 수준에 맞추어 아주 쉽고 상세하게 설명하고 있습니다.
약 40 페이지에 걸친 한글 문서인데 저도 처음부터 끝까지 전부 읽어보았습니다. 글을 읽으면서 일종의 현기(무협지 등에서 말하는 글이나 무공에서 느껴지는 현묘한 기운, 깊은 이치)를 느낄 수 있었습니다. 그중 한 예를 들면 다음과 같은 문장입니다.
‘역행렬이 정의가 뭐야?’하고 물어보면 어떤 고등학생은 1/(ad-bc)*[d -b; -c a]요.’ 라고 대답을 한다. 그러나 이것은 ‘행렬 [a b; c d]의 역행렬을 어떻게 구하느냐?’라는 질문에 대한 대답은 되지만 처음 질문의 올바른 대답은 아니다.
3. 선형대수학에서 나오는 용어 및 성질
– 행렬(matrix) & 벡터(vector) 표기
– 정방 행렬(square matrix)
– 단위 행렬 (identity matrix)
– 전치 행렬 (transpose of a matrix)
– 행렬식 (determinant) : 정방행렬에 대해서만 정의됨
– trace (대각 합) : 정방행렬에 대해서만 정의됨
– 대각 행렬 (diagonal matrix): 보통 정방행렬에 대해 정의
– 고유값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvector)
– 행렬의 대각화 : 고유값 분해 (eigen decomposition)
고유값 분해 대각화는 모든 행렬에 대해 가능한 것이 아니라 정방행렬 A가 n개의 일차독립(linearly independent)인 eigenvector를 가질 때에만 가능함
– 특성 방정식(characteristic equation)
– 케일리-해밀턴 정리(Cayley-Hamilton theorem)
모든 행렬은 자신의 특성다항식의 zero이다.
즉, A의 특성다항식을 구한 후 λ에 A 자신을 대입하면 영행렬이 나온다.
만일 행렬 A의 특성다항식이 p(λ)=λn+c n-1 λn-1+…+c 1 λ+c 0 라면 항상 An+c n-1 An-1+…+c 1 A+c 0 = 0 가 성립한다는 것이 케일리-해밀턴 정리
– 특정 조건을 만족하는 행렬의 명칭
– 특이값 분해 (singular value decomposition)
U의 열벡터: AAT의 eigenvector (left-singular vectors)
V의 열벡터: ATA의 eigenvector (right-singular vectors)
Σ: ATA, AAT의 eigenvalue들의 square root (singular values)
특이값 분해는 모든 행렬에 대해 가능
(A: m × n, U: m × m, V: n × n, Σ: m × n)
☞ 첫번째 글은 개인적으로도 참조할 목적이라서 거의 선형대수학 공식의 단순 나열이 되고 말았습니다.
[선형대수학 #1] 주요용어 및 기본공식 [선형대수학 #2] 역행렬과 행렬식(determinant) [선형대수학 #3] 고유값과 고유벡터 (eigenvalue & eigenvector) [선형대수학 #4] 특이값 분해(Singular Value Decomposition, SVD)의 활용 [선형대수학 #5] 선형연립방정식 풀이 [선형대수학 #6] 주성분분석(PCA)의 이해와 활용by 다크 프로그래머
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