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Reference:
[1] Barner, Klaus. \”Paul Wolfskehl and the Wolfskehl prize.\” Notices of the AMS 44.10 (1997): 1294-1303.
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[4] Wiles, Andrew. \”Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem.\” Annals of mathematics 141.3 (1995): 443-551.
[5] Cornell, Gary, Joseph H. Silverman, and Glenn Stevens, eds. Modular forms and Fermat’s last theorem. Springer Science \u0026 Business Media, 2013.
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[16] Ribenboim, Paulo. 13 lectures on Fermat’s last theorem. Springer Science \u0026 Business Media, 1979.
◆ Video
The Abel Prize interview with Andrew Wiles(https://www.youtube.com/watch?v=cWKAzX5U85Q)
Andrew Wiles, Curves of Genus One(https://www.youtube.com/watch?v=jwoKB2h4DtA)
Beauty Is Suffering [Part 1 – The Mathematician](https://www.youtube.com/watch?v=i0UTeQfnzfM)
Oxford Mathematics London Public Lecture – Andrew Wiles in Conversation with Hannah Fry(https://www.youtube.com/watch?v=uQgcpzKA5jk)
Testing NO BORAX Slime Recipes! How To Make Slime Without Borax
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주제에 대한 기사 평가 페르마 의 마지막 정리 독후감
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- Date Published: 2019. 9. 11.
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페르마의 마지막 정리 독후감
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페르마 페르마의 마지막 정리
페르마의 마지막 정리 – 사이먼 싱
위의 정리는 고등학생인 내가 봐도 바로 이해가 될 정도로 간단한 정리이다.
하지만 이 정리가 350년 동안, 그토록 뛰어난 수학자들이 있었음에도 증명되지 못했다는 사실은 저절로 이 책에 관심을 가지게 해 주었다.
페르마가 이 정리를 만들고 아래에 남긴 말은 많이 들어봐 굉장히 친숙함을 느꼈다.
나는 경이적인 방법으로 이 정리를 증명했다. 그러나 이 책의 여백이 너무 좁아 여기 옮기지는 않겠다. 아마도 정리 아래에 적은 이 말이 그토록 많은 수학자들을 좌절시키고 도전시켰던 이유였던 것 같다.
이 책은 페르마가 정리를 남기고 죽은 뒤부터 이를 증명하려는 수학자들의 이야기를 시간 순서대로 소개되어 있는 형식이다.
물론 1995년 와일즈가 이를 증명하기 전까지 명확히 페르마의 정리를 증명한 사람은 없었다.
나는 이 책을 읽으면서 단순히 글로부터 수많은 수학자들의 수학에 대한 집념과 끈기를 느꼈고 나로 하여금 수학 문제를 푸는 것에 대한 생각을 전환하게 되는 계기가 되었다고 생각한다.
앤드루 와일즈가 물론 페르마의 마지막 정리를 증명했다고는 하지만 그의 증명에는 수많은 수학자들의 이론이 사용되었다.
그중에서 가장 대표적이라고 할 수 있는 타니야마-시무라 추론은 정수론 문제인 페르마의 정리와는 전혀 다른 타원곡선의 급수에 관련된 정리인데 전혀 별개의 분야의 수학을 하나로 묶고 둘 중 하나가 해결되면 둘 다 증명이 되는 모습을 보고는 굉장히 놀랐고 흥미로웠다.
앤드루 와일즈는 이 간단한 정리를 증명하기 위해 7년이라는 시간 동안 그 누구에게도 자신의 연구과정을 드러내지 않고 연구를 진행한 끝에 200페이지가 넘는 논문으로 페르마의 마지막 정리를 증명했다고 한다.
이 책을 다 읽고 난 뒤에 가장 먼저 궁금했던 것은 과연 페르마는 어떻게 이 정리를 증명하였을까 이다. 와일즈의 경우 증명을 하긴 했지만 현대 수학을 이용하여 증명을 하였으며 게다가 200페이지가 넘는 증명과정을 거쳤다.
하지만 페르마의 경우에는 17세기의 사람으로 현대수학을 사용했을 턱이 없다.
17세기 당시의 수학은 현재 고등학생인 우리가 모두 이해할 수 있을 정도라고 하는데 그렇다면 페르마가 증명한 방법 또한 우리도 이해 할 수 있을 정도 간단했을 것이다.
그리고 페르마가 여백이 부족하여 증명과정을 나타내지 않겠다고 한 것이 200페이지 분량의 여백이 모자랐다는 의미는 분명히 아니었을 것이다.
크게 두 가지로 나누어 생각해 볼 수 있을 것 같다.
먼저 페르마가 정확한 증명을 하지 못했으나 본인이 증명을 했다고 착각하였거나 혹은 증명과정에 오류가 있었으나 그 오류를 본인이 발견하지 못한 것
그것이 아니라 정말로 그가 증명을 하였다면 350년간 수많은 수학자들이 발견하지 못했을 정도로 획기적인 방법이거나 둘 중 하나 일 것이다.
현재 수많은 사람들은 아마도 첫 번째일 것으로 거의 확신에 가깝게 추측하고 있지만 나는 개인적으로 정말 또 다른 획기적인 방법으로 그가 증명했으리라고 믿고 싶다.
만약 그가 정말로 증명을 했다면 어려운 현대 수학이 없이도 충분히 증명할 수 있을 것이며 우리도 지금 당장 증명할 수 있을 것이다.
한번 수학자가 된 마냥 페르마의 마지막 정리에 대해 생각해 보는 것은 어떨까.
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[북리뷰] 『페르마의 마지막 정리』- 쉬워 보이는 하나의 방정식이 증명되기까지
[Book Review] <페르마의 마지막 정리> written by. 사이먼 싱평점: ■ ■ ■ ■ ■ (5 / 5)
수학책 <페르마의 마지막 정리> 표지 ⓒ영림카디널
“풀리지 않을 수도 있는 문제에 제가 어떻게 그토록 집요하게 매달릴 수 있었는지 의아해하실지도 모릅니다. 저는 그저 이 문제와 씨름을 벌이는 그 자체가 즐거웠어요. 완전히 몰두했던 거지요. ··· <페르마의 마지막 정리>를 결국 증명하지 못하게 될 가능성도 있었지만, 제가 하고 있는 일이 시간 낭비라고 생각한 적은 단 한 번도 없었습니다.”
<페르마의 마지막 정리>. 이 책은 거의 고전이라고 할 만큼 수학과 과학에 관심이 있는 사람들 누구라면 한 번쯤은 들어 봤거나 읽어 봤을 책이다. 나는 초등학교 5학년 때 처음 이 책을 알게 되었다. 당시 친했던 친구가 학교에 이 책을 들고 와서 읽고 있었는데, 뭔가 표지부터 있어 보이는 책이라 집에 가자마자 바로 서점으로 달려가 이 책을 샀다. 하지만 막상 책을 펼쳐 보니 그 당시의 나로서는 이해되지 않는 말들이 가득했다. 막 선행을 시작했던 터라 ‘피타고라스의 정리’도 아직 모르고 있었던 때였다. 결국 이해하는 것을 포기하고 책을 덮었다.
고등학교 수학은 공부를 다 끝냈고 각종 경시대회를 나가면서 어느 정도 수학에 대한 자신감이 있는 지금, ‘그때는 멋도 모르고 이 책을 도전했었는데.. 지금 읽어 보면 완벽하게는 아니더라도 어느 수준까지는 이해할 수 있지 않을까?’ 하는 마음에 다시 이 책을 집어 들었다.
페르마의 마지막 정리
우선 이 책의 제목이기도 한 <페르마의 마지막 정리>는 “임의의 두 정수를 각각 n승(n은 3 이상의 정수)하여 더한 결과는 다른 제3의 정수의 n승으로 표현될 수 없다.”이다. 이를 수식으로 표현하면 “x^n + y^n = z^n (n은 3 이상의 정수)을 만족하는 정수해 x, y, z는 존재하지 않는다. 단, x, y, z 중 하나가 0이거나 모두 0인 경우는 제외한다.”
줄거리 요약 & 감상평
이 책은 피타고라스를 비롯한 과거의 위대한 수학자들이 발견한 것들과 업적들을 시대순으로 설명한다. 피타고라스의 정리에서 시작해 유클리드의 귀류법, 오일러의 반복 연산 방식 등 수학사에 한 획을 그었던 정리(theorem)와 공식들을 나열한다. 이 책을 읽는데 특히나 시간이 오래 걸렸는데, 그 이유가 각각의 정리나 증명들에 대한 자세한 주석이 없어서였다. 내가 모르는 새로운 개념이 튀어나오면 따로 인터넷에 검색하거나 다른 수학 관련 서적을 뒤적이며 어떻게 그런 결론을 도출해 냈는지 중간 과정을 공부해야 했다. 하지만 그렇게 찾으며 공부하면서 그 수학자가 어떤 삶을 살았는지, 그리고 그 당시 수학에 대한 인식이 어떠했는지에 대해 더 깊이 알게 되어서 오히려 더 재미있었던 것 같다.
과거의 수학자들의 발견과 업적에 대한 설명은 17세기 프랑스의 수학자 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)의 이야기로 이어졌다. 내가 볼 때 페르마는 굉장히 재미있는 사람이었다. 그는 사람들에게 보내는 편지에 자신이 최근에 발견한 수학 정리를 아무런 증명도 없이 적어놓고, “당신도 한번 이 정리를 증명해 보시죠. 저는 이미 했습니다.”라면서 읽는 사람의 마음을 애태우곤 했다. 그의 이런 행동 때문에 데카르트는 페르마를 ‘허풍쟁이’라고 불렀으며, 심지어 영국인 수학자 존 월리스는 ‘빌어먹을 프랑스 녀석’이라고 표현하기까지 했다. 페르마의 생애를 돌아보면 그는 그다지 명예를 좇는 사람이 아니었다. 그냥 말 그대로 수학에 미친 사람, 수학과 결혼한 사람이다. 그렇기에 당대 수학자들의 속을 썩였을지 모르는 그의 장난기 어린 심성은 나에게 큰 웃음을 선사해줬다.
증명을 깔끔하게 정리해서 남기는 것에 중요성을 느끼지 못했던 페르마는 책 <아리스메티카> 8번 문제 다음에 있는 여백에 다음과 같은 주석을 달아놓았다. “임의의 세제곱수는 다른 두 세제곱수의 합으로 표현될 수 없다. 임의의 네제곱수 역시 다른 두 네제곱수의 합으로 표현될 수 없다. 일반적으로, 3 이상의 지수를 가진 정수는 이와 동일한 지수를 가진 다른 두 수의 합으로 표현될 수 있다.” 이어 그 밑에 페르마는 장난기 어린 주석을 달아 놓았다. “나는 경이로운 방법으로 이 정리를 증명했다. 그러나 책의 여백이 너무 좁아 여기에 옮기지는 않겠다.” 그리고 바로 이 주석이 향후 300여 년간 전 세계의 수학자들의 자존심을 여지없이 짓밟아 놓았다. 여기서 난 페르마의 그 장난기에 웃을 수가 없었다. 조금만 더 자세히, 아니 어떻게 증명했는지 간략하게라도 몇 단어 더 써 두었더라면 좋았을 텐데.. 그냥 그 ‘경이적인 방법’을 다른 종이에 휘갈겨서라도 정리해 두었더라면.. 아쉬운 마음이 가득했다.
이 책은 페르마가 그렇게 주석을 달아두고 세상을 뜬 뒤로부터 수많은 수학자들이 <페르마의 마지막 정리>를 증명하기 위해 도전했으나 실패하는 과정에 대해 이야기한다. 그리고 1994년 프린스턴 대학의 교수 앤드류 와이즈가 8년 간의 은둔 생활과 노력 끝에 시행착오를 거쳐 마침내 <페르마의 마지막 정리>를 증명해 내는 그 일련의 시간을 파노라마처럼 펼쳐 보인다.
이 책을 꼭 읽어야 하는 이유
이 책의 서두에 정재승 KAIST 바이오및뇌공학과 교수가 이렇게 말한다.
“우리 시대 젊은이들에게 단 한 권의 수학 책을 추천해야 한다면, 단연 <페르마의 마지막 정리>를 권하겠다. 이 책은 내 젊은 시절 가장 각별한 ‘단 한 권의 수학책’이었기 때문이다. 나는 수학의 아름다움, 그리고 수학자의 치열한 열정을 이 책에서 제대로 배웠다. ··· 이 수학 책은 그 어떤 영화보다 극적이며, 어떤 드라마보다 뭉클하다. 수학 교과서 앞에서 종종 ‘왜 우리가 이런 걸 배워야 하는지 모르겠어!’를 연발했던 사람이라면, 이 책에서 수학에 대한 편견을 깨볼 것을 권한다.”
정말 정재승 교수가 말한 것처럼 이 책은 수학의 역사와 수학 그 자체에 대한 관심을 키울 수 있도록 도와 주는 책이라고 생각한다. 이 책은 수학이 단순히 어떤 개념을 이해하고 문제 풀이를 하는 과목이 아니라는 것을 일깨워 줄 수 있는 것이다. 뿐만 아니라, 이 책을 다 읽고 나면 ‘어, 이 책은 단순히 수학에 대해서만 설명하는 책이 아니구나’라는 것을 깨닫게 해 준다. 수학에 초점을 맞춰 다양한 에피소드를 알 수 있는 것은 사실이지만, 수학자들이 어떤 난제를 증명해 내기 위해 끊임없이 고뇌하고 상상하면서 어떤 방식으로 접근해야 할지, 어떻게 한 개념과 다른 개념 사이에 ‘수학의 다리’를 놓을지 고민하는 과정을 읽다 보면, 수학을 대하는 그들의 자세를 자신의 자세와 비교하며 유지할 점은 유지하고 개선할 점은 개선하는 능력을 기를 수 있게 된다.
내가 이 책을 읽고 내린 감상평을 두 단어로 줄이자면, ‘지적 호기심’. 다시 말해 300년 동안 피타고라스, 유클리드, 페르마, 앤드루 와일즈에 이르기까지 수많은 수학자들이 <페르마의 마지막 정리>를 풀어내기 위해 쏟아부었던 시간과 노력의 원동력이 바로 ‘지적 호기심’이다. 그리고 현대를 살아가는 우리에게 가장 필요한 것이 바로 이 ‘지적 호기심’을 가지고 끊임없이 탐구하는 능력을 지니는 것이라고 생각한다.
이해가 어려웠던 구절!
“임의의 집합은 자기 자신의 원소가 될 수 있으며 그렇지 않을 수도 있다. 예를 들어 티스푼의 집합 자체는 하나의 티스푼이 될 수 없으므로 후자의 경우에 속하지만 ‘티스푼이 아닌 모든 물건의 집합’은 티스푼이 아닌 하나의 대상물이 될 수 있으므로 전자의 경우에 해당된다.”
명확히 이해가 되지 않았다. 언젠가 무릎을 탁 치며 ‘와! 이해됐다!!!’ 할 날이 꼭 오기를 바라는 마음이다.
독후감 <페르마의 마지막 정리>
이책은 페르마의 마지막 정리가 탄생하고 해결되기 까지의 과정을 한편의 영화처럼 역동적으로 그려내고 있다. 수학에 관심이 없는 대중들을 배려했기에 복잡한 수식이 등장하지 않으면서도 대강의 내용이 이해되는데.. 재미있고 탄탄한 스토리는 왠만한 소설 못지않다.
피타고라스 이후 오일러 페르마 괴델 튜링 그리고 군론의 창시자인 갈루아 등등 수학의 발전에 기여한 인물들을 조명하는 부분과 페르마의 마지막 정리를 해결하기까지 시대별로 수학이 발전해 온 과정이 주된 내용이다.
3세기 그리스 수학자 디오판토스의 산수론 Arithmetica 이책이 이슬람어(아라비아문명)로 번역 되고 전승되어오다 중세말에 다시 유럽으로 전해지게 되는데 그 책의 여백에 페르마가
알듯 모를 듯 써놓은 것을 출판하면서 <페르마의 마지막 정리>가 세상에 알려진다.
피타고라스의 정리 x^2+y^2=z^2 이 방정식에서 x, y. z의 정수해는 무수히 존재한다. 피타고라스는 이것을 증명했다. 증명이 수학에서 같는 의미는 엄청나다. 우리는 방정식에 무수히 많은 수를 대입시키는 노력을 하지 않고도 그것이 참이라는 것을 안다.
또한 수학자들은 증명된 수학적 명제를 기초로 수학의 성을 쌓아올린다.
그런데 17세기의 아마추어 수학자가 x^n+y^n=z^n 에서 n이 3이상의 정수 일 때, 이 방정식을 만족하는 정수해 x, y, z는 존재하지 않는다고 주장한다. 자신이 그것을 증명했지만, 여백이 없어 적지 않는다는 말과 함께…. 이것이 <페르마의 마지막 정리>이다.
이후 수백년에 걸쳐 수학자들이 페르마의 주장을 증명하기 위해 노력했지만 실패했다.
결국 영국출신의 수학자 앤드류 와일즈가 1993년 페르마의 마지막 정리를 증명하는데 성공한다. 사실 앤드류 와일즈는 <타니야마 – 시무라의 추론>을 증명한 것인데 그것을 증명하는 것이 페르마의 마지막 정리를 증명하는 것과 같기 때문이다.
<타니야마-시무라의 추론>은 모든 타원방정식은 그에 상응하는 모듈 형태를 파트너처럼 갖는다는 것인데.. (마치 로제타석 처럼 고대 이집트 문자와 그리스 문자, 상형문자가 함께 새겨져 있어서 어느 한가지를 알면 나머지 문자를 해독할수 있다.) 하나의 수학 분야로부터 전혀 다른 것처럼 여겨지던 분야를 이해할 수 있는 가교 역할을 한다.
1984년 독일의 정수론 학회에서 게르하르트 프레이에 의해 <페르마의 마지막 정리>와 <타니야마-시무라의 추론>은 하나로 연결될 수 있다는 것이 밝혀진다. 그리고 그것을 앤드류 와일즈가 증명한것이다.
증명의 수학적 과정이 자세히 소개되지는 않는다. 그것은 아마추어 수학의 경계를 벗어나기 때문에 이 책에서는 대강의 구조만 보여준다. 고맙게도..
이 책 초반에 피타고라스가 소개된다. 피타고라스 학파는 종교적 이유에서 자신들의 증명에 의해 필연적으로 도출되는 무리수를 인정하지 않는다. 그리고 이것을 외부에 발설한 히파수스를 처형했다고 한다. 수학사 최초의 위기가 바로 이것이다.
종교와 정치사상과는 무관한 것처럼 보였던 수학이 사실은 아주 강력한 연관관계에 있다는 것. 이것이 그 시대만의 문제였을까?
수학뿐만 아니라 철학을 비롯한 모든 학문이 사회 문화적 토대에 연관되어 있다. 객관적인 진리 라던가 있는 사실만 그대로 본다 라고 하는 것은 불가능하다. 인간은 개념을 통해.. 구체적으로 언어를 통해 사고하기 때문이다. 개념화 되지 않은 것 언어화 되지 않은 대상을 인간은 지각할 수 없다.
이집트 수학과 인도, 중국의 수학은 서로 상이한 모습으로 발전하는데 그 또한 각기 다른 사회 문화적 기반을 반영한 것이다. 그 중 가장 극적인 사건은 인도수학에서 0의 도입 이었다.
우리가 흔히 쓰는 진리 라는 말도 종교적인 유래를 갖는다. “진리가 너희를 자유케 하리라” 이말에서 진리는 하나님의 말씀을 뜻한다.
요즘도 모든 학문의 목표는 진리를 탐구하는 것이다. 그런데 맑스에 의하면 객관적 진리는 존재하지 않으며, 진리효과가 있을 뿐이라고 한다.
수학에 대해 공부하면서 인문학이라고 느끼게 되는 점이 이런 것이다. 수학은 수학자체의 논리만으로 발전해온 것이 아니다.
마지막으로 덧붙이고 싶은 것이 있는데.. 백북스에서 정치 종교적 발언을 금지하고 있다, 이것은 한번 생각해 볼 문제이다. 활발해야 될 질문과 토론을 경직되는 하는 것은 아닌지, 학문의 영역에서 정치와 종교를 빼고 순수하게 남는 것이 무엇이냐는 근본적인 의문도 들기 때문이다.
오히려 그런 조치가 가장 정치적인 행위이며, 종교적 편향은 아닌지 생각해봐야 되지 않을까?
물론 선량한 회원들을 정치적 논쟁과 종교에 기인한 소모적 싸움에서 보호한다는 긍정적인 측면도 있을 것이다. 그러나 학문과 학습은 그렇게 보호한다고 해서 올바르게 되거나 잘되는 것은 아닐 것이다. 회원들의 수준을 그렇게 낮추어 보는 것도 문제가 있다고 본다.
평범한 셀러리맨인 내가 독서클럽에서 정치적 논쟁을 하고 싶다는 얘기는 아니다. 나 또한 복잡한 정치적 논쟁에서 한발 비켜나고 싶은 보통사람의 정서를 갖고 있다.
다만, 과학이 종교와 다른점이 있다면 스스로에 대해 반문할 수 있고, 외부에 대해 열려있는 자세가 아닐까 하는 생각이다.
독후감,독서감상문,도서,책을 읽고 느낀점.. [좋은글]
서평/독후감 영화감상 여행일기 홈 > 독후감 > 독후감 독후감 제목 페르마의 마지막 정리 날짜 04-01-17 등록자 하늘 조회수 5511 – edu 사이먼 싱 :
역자 : 박병철 / 출판사 : 영림카디널 / 출판일 : 1998/5/15 / 페이지수 : 400
내가 수학 관련 서적을 흥미 있게 보기 시작하게 된 것은 전파과학사에서 나온 ´괴델의 불가능성 정리´일 것이다. 이 책은 19세기 수학의 발전과정을 기술하면서 괴델이 어떻게 등장하게 되었는가를 보여주고 있고, 그 정리의 파장이 어떠했는가를 보여주고 있는 아주 쉽지만 상당히 잘 쓰여진 책이다. 이를 통해 일본의 기본교육이 얼마나 탄탄하고, 훌륭하게 정비되어 있는지를 대충 가늠할 수 있을 정도였다. 이러한 수학에의 관심이 이 책을 잡게 한 계기였다.
페르마의 정리는 수학사에서 악명 높은 정리이다. 왜냐하면 그 정리의 단순함에 비해 증명은 너무나도 힘들기 때문에, 심지어는 와일즈가 증명을 하기에 앞서 괴델의 불완전성 정리(참이긴 하나 일단의 수학체계에서 증명할 수 없는 정리가 ´존재´한다 정도로 괴델의 정리를 이해해 본다면..)가 이 정리에 적용되는 것일지도 모른다는 주장이 있었을 정도이니 말이다.
이러한 악명 높은 증명이 결국 증명이 된 것이 사실은 어떤 천재적인 사람이 불쑥 튀어나와서 이루어진 것은 아니라는 것을 이 책은 보여준다. 한 개인의 끊임없는 노력은 결국 그가 사용할 수 있는 도구들(수학의 체계는 이러한 면에서 근사한 측면을 갖는다–도구들은 몇 백년, 몇 천년이 지나도 항상 새것이기 때문이다..단 사용법만 안다면 말이다), 동시대 수학자들의 목적지를 향한 쉬임 없는 노력들(그의 증명에 획기적으로 도움을 준 일본의 수학자들)의 도움을 받고서야 결국 페르마의 정리의 증명이라는 결과물을 얻어 낼 수 있었던 것이다.
영원성에 대한 경험일까.
근대성(modernity)의 특징은 끊임없는 파괴와 생성, 즉 변화에 있다고 한다(솔직히 내겐 이 쪽이 훨씬 흥미롭다). 수학 역시 그 변화의 영역에서 자유롭지 않음이 주장되고 있는 것도 사실이다. 하지만 수학 체계에서의 몇 가지 약속들, 즉 소수의 정의(definition)들과 공리(axiom)들에 대해 긍정을 한다면, 그 영역 내에서 바로 우리는 영원성을 경험하게 되는 것이고, 이 영원함의 구조물에서 무수한 수학자들의 이름들을 확인하게 되는 것이며, 그리고 그것들은 결코 신비로운 것들이 아닌 것임을 깨닫게 된다. 논리와 창의성은 낯선 것들이 아니기 때문이다.
(교보문고 전재)
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