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나비에-스토크스 방정식 – 나무위키:대문
유도. 4.1. 비압축성4.2. 압축성. 5. 부분적 해6. 창작물에서의 등장7. … 이 경우 Navier-Stokes equation이라는 이름은 Newtonian flu의 응력- …
Source: namu.wiki
Date Published: 12/6/2022
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연속방정식, 나비에-스톡스 방정식 (Continuity Equation, Navier …
연속방정식, 나비에-스톡스 방정식 (Continuity Equation, Navier-Stokes Equation). 완숙 2018. 12. 4. 16:18. 먼저 연속방정식에 대해 생각해보자.
Source: egg-money.tistory.com
Date Published: 7/14/2021
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나비어-스토크스 방정식 (Naview stokes equation) 소개와 유도
이렇게 유도된 식(10)을 Navier-Stokes 방정식이라고 부른다. 물론 이 식은 직교좌표의 경우이다. 6. ρ와 μ가 일정한 비압축성 흐름에서의 …
Source: 3dmpengines.tistory.com
Date Published: 10/3/2022
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Slip flow 영역에서 Navier Stokes 방정식의 해석 연구
Solutions of the Navier-Stokes equation in slip flow region. W.H. Park, T.K. Kim … (17) 에서 유도하였듯이 온도 변화가 없으면 밀도.
Source: www.koreascience.or.kr
Date Published: 5/2/2022
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- Date Published: 2014. 8. 19.
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연속방정식, 나비에-스톡스 방정식 (Continuity Equation, Navier-Stokes Equation)
먼저 연속방정식에 대해 생각해보자.
연속 방정식은 질량보존법칙을 오일러 표현으로 나타내었을 때
어떤 모양이 되는지를 설명해주는 식이다.
라그랑지언 표현을 오일러 표현으로 바꾸어주는 RTT를 사용해
미소 면적을 표현해보자.
미소면적의 중앙에서 모든 Property의 값을 갖는다고 가정했을 때,
상하좌우에서 Property의 값은 테일러 급수를 통해 값을 근사해서
나타낼 수 있다.
(1계 미분까지만 표현한 것은 2계미분 항부터는 너무 크기가 작아 무시할 수 있기 때문에)
이렇게 나온 식을 연속 방정식이라 부른다.
그런데 여기서 이 항을 조금더 풀게 되면 물질도함수의 모양으로 정리가 가능하다.
다시 연속방정식을 이 모양으로 해석하게 되면,
특정 점에서 밀도의 시간에 따른 변화는 경계면에서의 속도의 발산(다이버전스)값에 밀도를 곱해준 것과 같다.
로 해석할 수 있다.
여기서 만약 시간에 따라 밀도가 일정하다면,
즉, 특정점에서 밀도 변화가 없다면,
(밀도 = 상수, 비압축성 유체)
속도의 발산 값이 0, 즉 경계면에서 나가고 들어오는 양의 총합이 0,
우리가 생각하는 결과와 일치한다.
나비에 스톡스 방정식은 그럼 무엇인가.
뉴턴 법칙을 오일러 관점에서 서술한 식이다.
net_F = m*a에서 RHS의 서술이 오일러 관점에서 어떻게 서술될 수 있는지
알 수 있다.
이를 바꿔주는 RTT에서 B = V를 대입해서 정리해보자.
마찬가지로 미소면적에 대해 정리하면,
여기서 비압축성 유체(밀도 = 상수)일 경우,
첫번째 항에서 밀도가 상수로 빠져나올 수 있게 된다.
그리고 비압축성 유체의 연속방정식으로 부터,
결론적으로 미소 부피의 Total F는 밀도 * 속도에 대한 물질도함수로 나타낼 수 있다.
그런데, 이 건 외력의 총합이 시스템에서 어떻게 작용하는 지에 대한,
m*a에 대한 정리이고,
실제로 특정 시스템을 잡았을 때, 그 곳에 작용 할 수 있는 외력의 종류가
무엇이 있는지 정리할 필요가 있다.
우리가 가하는 힘을 제외했을 때, 자연적으로 발생하는 힘은
Body force와 Surface force로 나눌 수 있다.
그중 Body force는 쉽게 구할 수 있다.
표면힘이 조금 까다로운데, 미소면적의 중앙에서 작용하는 응력을 기준으로
잡았을 때, 테일러 급수에 의해 각 면에 해당하는 응력을 구할 수 있다.
이 때, 응력에 의해 이 미소면적에 작용하는 알짜 힘은 각면에서의 응력차에
해당하는 힘이 그 역할을 하므로, 다음과 같이 구할 수 있을 것이다.
만약 3차원이라면 각포인트에서 3개의 응력항이 나오고, 이것을 행렬형태로
만든것을 응력 텐서라 한다. 이것에 대해서는 다른 포스팅에서 좀더 자세하게
다루도록 하겠다.
이것들을 한번에 나타내면,
외력은 라그랑지언 관점 과, 오일러 관점 에서 서술할 수 있다.
라그랑지언 관점 은 기존의 생각하는 방식과 동일하게 작용하는 외력항을
다 더해준 형태를 말한다.
오일러 관점 에서는 조금 변화되서 생각하는 것이 좋은데,
다른 구조물에 의한 외력을 제외했을 때, body force와 surface force로
생각한다. 이는 유체내에서 해석하기 좋게 하기 위해 식을 풀어 쓰는 것이다.
ma항도 역시 라그랑지언 관점 과, 오일러 관점 에서 서술할 수 있다.
라그랑지언 관점 은 ma로 해석하면 된다.
오일러 관점 은 물질도함수를 사용하여 나타내는데,
전역가속항과 국소가속항으로 나누어서 표현한다.
유체역학에서 ma항은 보통 오일러 관점으로 서술한다.
뉴튼 유체, 즉 incompressible(밀도 상수)인 유체에서
나비에 스톡스 방정식을 정리해보자.
밑 부분은 사실 벡터 형태로 정리할 경우 더 직관적인 사실을 알 수 있다.
지금은 그냥 넘어가고 다음 포스팅에서 이를 알아보자.
마지막으로 이 나비에 스톡스 방정식에서 베르누이 방정식을 도출할 수 있는지
알아보자. 베르누이 정리를 쓰기위한 4가지 가정을 이 식에 적용시켜야 한다.
Steady No friction Incompressible Along the Streamline
나비어-스토크스 방정식 (Naview stokes equation) 소개와 유도
클레이 수학 연구소가 밀레니엄 난제로 지목한 7개 문제중 하나에 들어가는 나이어스토크스 관계식은 사실 수십년전부터 기계공학을 비롯한 각종 공학에서는 유용한 지배방정식으로 이미 활용되고 있었다. 단, 수학적 일반해를 구해서 이용한 것이 아니라 수치해석적으로 접근하여 공학적으로 이용한것에 불과하다. 이 방정식의 일반해를 구하는 것은 앞으로도 오랫동안 영구미제로 남을수도 있을 것이다. 비선형 방정식은 아주 오래전부터 지독하게도 어려운 방정식으로 정평이 나 있었기도 하다… 이미 공학을 접었으나 여전히 수학교육이라는 다분히 이공학적 마인드와 관계가 있는 분야에 종사하고 있는 관계로 과거의 악몽이었었던 나비어스토크스 관계식은 여전히 나의 가슴에 영원한 관심사로 남아있기도 하다. 수학교육과 의학의 도상에서 잠시 공학의 기억을 되살려보고자한다.
이동현상은 크게 세가지의 전달현상을 다룬다. 운동량과 열 그리고 물질전달이 이 세가지이다. 이들의 각각 이동현상은 전달매체가 다를 뿐만 아니라 물리적인 이동과정도 매우 상이하다. 그러나 이들의 현상을 설명하는 수학적 체계는 매우 단순하리만큼 일치성을 보이고 있다는 것은 놀라운 점이다.
여기서 내가 다루고자 하는 분야는 바로 운동량 전달이다. 이름대로 운동량의 전달현상을 목적으로 하기에 당연히 운동량의 변화를 설명할 수 있는 관계식으로부터 현상을 이해하여야 할 것이다. 에서 유체 흐름의 운동관계식을 적분형으로 다루어 볼수도 있으나, 적분형 식은 여러 현상을 적용하기에 한계가 있기에 이를 더욱 유용한 미분형으로 바꾸어 일반식을 만들어 놓는 것이 여러 가지 이유로 필요할 것이다. 따라서 여기서는 운동량 관계식을 미분형으로 유도하는 과정을 설명하고, 이에 대한 여러 관점을 함께 논하고자 한다.
일단 나비어 스토크스 방정식을 이해하기 위한 기본 개념을 짚고 넘어가자.
질량보존의 법칙은 자연의 기본 원리로서 잘 알려진 법칙 중 하나이다. 즉 어떠한 물리적 과정을 거치게 될 때, 과정 전과 후의 총 질량이 변하지 않다는 원리이다. 이 법칙을 유체 흐름에 적용시키면 매우 유용하게 사용할 수 있는 관계식을 얻을 수 있게 된다. 우리가 관심을 가지는 대상부피에 대한 질량보존의 개략적 표현은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(1)
이 관계를 잘 살펴보면 매우 당연한 표현이다. 즉, 질량의 유출과 유입의 차이가 바로 대상부피 내의 질량 축적량을 의미하는 것이다. 이 관계를 수식으로 표현하기 위하여 다음의 간단한 모형을 생각해 볼 수 있다.
이 모형은 어느 특정 시간에 형성되는 유선을 표현하였다. dA는 대상부피 표면의 미세면적이고, v는 유선방향의 속도벡터, n는 dA의 법선벡터이다. 당연히 θ는 v와 n의 차이각이다. 따라서 dA로 통과되는 질량의 유출속도는 가 된다. 여기서 를 질량플럭스(mass flux)라고 하며 단위시간당 및 단위면적을 통과하는 질량을 의미한다. 이러한 질량의 유출속도를 벡터 표현으로 바꾸면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
미세면적의 질량 유출속도 = (2)
이 값을 전체 대상표면에 대하여 적분을 하면 총 대상면적을 통과하는 질량의 순유출량을 알 수 있다. 이 값은 윗 식을 적분하면 얻게 된다.
(3)
이 값이 양수이면 질량의 순유출이 일어나며, 반대로 음수이면 순유입이 된다. 또한 0이면 대상부피 내의 질량은 항상 정량을 유지하게 된다.
한편, 질량 축적속도는 결국 시간에 대한 밀도변화이므로 다음과 같이 표현할 수 있다.
(4)
결과적으로 질량보존의 최종 관계식은 식(3)과 (4)를 식(1)에 적용시켜서 다음의 적분형 물질수지식을 얻게 된다.
(5)
유체흐름의 선운동량 식은 질량보존의 관계식과 매우 비슷하게 유도될 수 있다. 아래 그림에서 운동량의 유출속도는 질량유출속에 속도를 곱하는 것으로 생각할 수 있다. 자세한 관계식 유도는 질량보존의 관계식을 참고하도록 하고, 여기서는 최종 결과식만을 제시하고자 한다.
(1)
1. 유체흐름의 운동량 관계식 모형
유체 운동량의 적분형 관계식을 다음과 같이 유도됨을 전 절에서 다루었다.
(1)
이 관계식을 풀어서 설명하면 다음과 같은 개념관계로 도시할 수 있다.
(2)
이 관계식을 쉽게 설명하기 위하여 식(1)을 대상부피로 나눈 다음 극한값을 취하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
(3)
이제 이 식을 하나하나의 항으로 분류하여 풀어보도록 하자.
2. 외부 힘의 합
대상부피에 작용하는 외부 힘의 영향으로는 수직응력과 전단응력, 그리고 중력과 외부로부터 받는 압력의 영향을 적용할 수 있다. 먼저 x 방향으로 작용하는 힘만을 고려한다면 다음과 같이 쓸 수 있다.
(4)
식(3)의 형식을 맞추기 위하여 식(4)를 미소부피( )로 나누어 극한을 취하고, 동일한 방법으로 y 방향과 z 방향을 적용하면 다음과 같이 종합할 수 있다.
(5)
3. 대상부피를 통과하는 선운동량의 유출속도
위 그림은 대상 미소부피를 통과하는 운동량 flux를 표현한 것이다. 이 그림을 참조하여 식(2)와 (3)의 선운동량의 순 유출속도항을 플어서 쓰면 다음과 같이 표현할 수 있다.
(6)
마지막 식은 연속방정식을 적용시킨 결과이다.
4. 대상부피내의 운동량 변화 속도
(7)
5. 종합된 결과와 Navier-Stokes 방정식
지금까지 얻어진 결과들을 종합하면 다음과 같이 정리할 수 있다.
(8)
식(8)의 결과식을 식(3)에 대입하고 성분별로 분리하여 쓰면 다음과 같다.
(9)
여기서 D/Dt는 전미분을 의미한다. 식(9)는 응력-변형률 관계에 상관없이 모든 유체에 적용할 수 있으며, Stokes의 점도법칙으로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(10)
이렇게 유도된 식(10)을 Navier-Stokes 방정식이라고 부른다. 물론 이 식은 직교좌표의 경우이다.
6. ρ와 μ가 일정한 비압축성 흐름에서의 Navier-Stokes 방정식
일반적인 경우는 이러한 구속조건을 가지는 경우가 많이 발생한다. 비압축성 흐름의 경우는 이므로, 이 경우에는 다음과 같이 전 좌표의 상황을 하나의 식으로 표현할 수 있다.
(11)
특히 더욱 특수한 경우로서 비점성인 경우 즉, 점도가 ‘0’인 경우의 식을 Euler의 식이라고 불리며, 다음과 같이 나타낸다.
(12)
7. 역학적 에너지관계식의 표현
Navier-Stokes 방정식을 조금 관점을 달리 하여, 흐르는 유체상에서 에너지 관계성이 어떠한지에 대하여 알아보고자 한다. 식(9)를 벡터형식으로 통합하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(13)
식(13)을 에너지 rate형식으로 나타내기 위하여 양 변에 지역속도를 곱하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
(14)
식(14)를 각각 의미를 가지는 항으로 풀어서 정리하면 다음처럼 종합할 수 있다.
: net rate of input of kinetic energy by virtue of bulk flow (15) : rate of increase in kinetic energy per unit volume : rate of work done by pressure od surroundings on volume element : rate of reversible conversion to internal energy : rate of work done by viscous force on volume element : rate of irreversible conversion to internal energy : rate of work done by gravity force on volume element
여기서 항은 Newtonian 흐름에서 항상 (+)값을 가지며, 다음과 같은 의미를 지닌다.
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