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Python에서 푸리에 변환을 하고 싶으면 np.fft.fft( ) 함수를 아래와 같이 이용하면 된다. 35Hz를 갖는 0.6 진폭의 신호와 10Hz를 갖는 3 진폭 신호를 생성한 뒤, 두 신호를 더하여 설명에 사용할 신호를 생성한다.
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안녕하세요 PinkWink입니다. 이번에는 FFT를 이용해서 신호를 주파수 성분으로 변환하는 예제와 또 그 한계를 다루어 보았습니다. 그래서 그 한계를 극복하는 한 방법으로 STFT를 이야기를 합니다.
http://pinkwink.kr/1370
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Python에서 고속 푸리에 변환(FFT) 플로팅 – Delft Stack
이 Python 튜토리얼 기사에서는 Fast Fourier Transform을 이해하고 Python으로 플롯할 것입니다. 푸리에 분석은 주기적 구성 요소의 집합체로서의 …
Source: www.delftstack.com
Date Published: 8/28/2021
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데이터 전처리 : 신호 처리 방법(푸리에 변환) – DACON
안녕하세요, zerojin입니다. Numpy에서 제공해주는 FFT 메소드를 통해 시계열 데이터 전처리를 방법을 소개드립니다. 푸리에 변환을 통해 기존 상태 …
Source: dacon.io
Date Published: 3/12/2022
View: 8674
푸리에 변환 — gramman 0.1 documentation
푸리에 변환은 주파수를 분석하는데 사용되는 방법입니다. 주파수는 시간의 흐름에 따른 진동하는 파동의 횟수를 의미합니다. 이때 파동은 Sin, cos의 삼각함수로 표현할 …
Source: opencv-python.readthedocs.io
Date Published: 1/16/2021
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Python으로 수행하는 주파수 분석 – FFT, STFT – PinkWink
여기서 시간 구간에 대한 한계를 만날 수 있기 때문에 STFT Short Time Fourier Transform을 사용합니다. 오늘은 이 이야기를 해 보려고 합니다.
Source: pinkwink.kr
Date Published: 4/28/2022
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푸리에 변환과 스펙트럼 – 데이터 사이언스 스쿨
시간-주파수의 2차원 데이터로 나타난다. librosa 패키지¶. 파이썬으로 STFT 스펙트럼 분석을 하려면 librosa 패키지를 사용한다. 주피터 노트북에서 librosa 패키지를 …
Source: datascienceschool.net
Date Published: 3/14/2021
View: 3895
Fourier Transform Python – 크레이지J의 탐구생활
Fourier Transform. 푸리에 변환. 푸리에 변환은 연속적인 시계열 데이터를 sin, cos 함수들과 같은 파형들의 합으로 나타내는 것으로 여러 개의 …
Source: crazyj.tistory.com
Date Published: 2/22/2021
View: 6175
데이터 사이언스를 위한 푸리에 변환 – Medium
시계열을 분석하기 위해 쓰이는 푸리에 변환에 대해 알아보고 Python으로 … 대표적인 주파수 분해 방법이 Fourier Transform(푸리에 변환)입니다.
Source: medium.com
Date Published: 3/3/2022
View: 6562
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주제에 대한 기사 평가 파이썬 푸리에 변환
- Author: PinkLAB
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- Date Published: 2022. 2. 8.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=DFF_y4jBVy0
Python으로 신호 푸리에 변환하는 방법
신호 처리를 하다 보면 가장 먼저 접하게 되는 개념이 ‘푸리에 변환’이다. 이번 글에서는 파이썬의 numpy를 통해 푸리에 변환하는 방법에 대해 정리하고자 한다. 그 전에… 푸리에 변환에 대한 이론적 배경을 정확하게 알고있는 게 아니라 틀린 부분이 있을 수 있다는 점을 미리 밝힙니다!!
푸리에 변환 (Fourier transform)
시간 영역에서 표현되는 신호를 주파수 영역으로 변환하여 다른 관점에서 신호를 분석하는 방법
Python에서 푸리에 변환을 하고 싶으면 np.fft.fft( ) 함수를 아래와 같이 이용하면 된다.
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt fs = 100 t = np.arange(0, 3, 1 / fs) f1 = 35 f2 = 10 signal = 0.6 * np.sin(2 * np.pi * f1 * t) + 3 * np.cos(2 * np.pi * f2 * t + np.pi/2) fft = np.fft.fft(signal) / len(signal) fft_magnitude = abs(fft)
[Line 4~8]35Hz를 갖는 0.6 진폭의 신호와 10Hz를 갖는 3 진폭 신호를 생성한 뒤,
두 신호를 더하여 설명에 사용할 신호를 생성한다.
35Hz를 갖는 0.6 진폭의 신호와 10Hz를 갖는 3 진폭 신호를 생성한 뒤, 두 신호를 더하여 설명에 사용할 신호를 생성한다. [Line 10]
생성된 신호를 np.fft.fft( ) 함수로 푸리에 변환 시킨다.
여기서 중요한 점은,
함수의 반환값 (여기서는 fft 변수에 저장)을 신호의 길이로 나눠줘야 한다 는 점!
바꿔말하면 normalization 해줘야하는 다는 건데, 안 해주면 Line 12의 fft_magnitude 값이 엄청 커진다.
그래야 분석 대상 신호를 만들때 설정한 진폭 (각각 0.6 과 3)에 맞춰서 magnitude 그래프가 그려진다.
np.fft.fft( ) 결과에 왜 normalization을 적용해야만 하는지 설명해주는 사이트는 아직 찾지 못 했다.
생성된 신호를 np.fft.fft( ) 함수로 푸리에 변환 시킨다. 여기서 중요한 점은, 는 점! 바꿔말하면 normalization 해줘야하는 다는 건데, 안 해주면 Line 12의 fft_magnitude 값이 엄청 커진다. np.fft.fft( ) 결과에 왜 normalization을 적용해야만 하는지 설명해주는 사이트는 아직 찾지 못 했다. [Line 12]
푸리에 변환 결과를 통해 우리가 얻을 수 있는 그래프는 두 종류가 있다.
(1) 푸리에 스펙트럼 그래프 : 주파수에 따른 magnitude 그래프
(2) 위상 그래프 : 주파수에 따른 angle 그래프
우리가 원하는 건 magnitude 그래프이고,
이를 얻기 위해선 복소수 타입인 np.fft.fft( ) 함수 반환값에 절대값을 취해주면 된다.
생성된 신호와 푸리에 변환 결과를 표현하면 다음과 같다.
plt.subplot(2,1,1) plt.plot(t,signal) plt.grid() plt.subplot(2,1,2) plt.stem(fft_magnitude) plt.ylim(0,2.5) plt.grid() plt.show()
뭔가 이상하다. 우리가 생각했던 결과와는 다르게 나타나는 것 같이 보인다. magnitude 값은 뭔가 맞는 것 같으면서도 x축을 보니 너무도 다르다. 그 이유에 알아보자.
np.fft.fft( )는 반환값을 ‘양의 영역 다음에 음의 영역 순서’로 반환한다.
그래서 위의 그래프를 기존으로 0~149는 양의 영역 / 150 ~ 299는 음의 영역에 해당되는 값들이다.
우리는 제대로 된 그래프를 얻기 위해선 이를 음 → 양 순서로 바꿔줘야한다. x축이 이상하게 잡힌 건 Line 6에서 stem 그래프를 그려줄 때 x축을 지정 안 해줬기 때문이다.
우리는 위에서 fs = 100Hz로 잡았기 때문에 x축이 -50Hz ~ 50Hz가 되도록 설정해줘야 한다.
이제 문제 해결을 위해 다음의 코드를 사용하면 된다.
length = len(signal) f = np.linspace(-(fs / 2), fs / 2, length) plt.stem(f, np.fft.fftshift(fft_magnitude)) plt.ylim(0,2.5) plt.grid() plt.show()
[Line 1,2]stem 그래프의 x축을 지정해주는 코드이다. x축 변수를 새로 생성해서 맞춰준다 생각하면 된다.
np.linspace( start, end, num )은 start로 시작해 end까지 num개의 변수를 일정한 간격으로 생성해주는 함수이다.
따라러 변수 f에는 -50 ~ 50까지 일정한 간격으로 생성된 300개의 데이터가 저장 된다.
stem 그래프의 x축을 지정해주는 코드이다. x축 변수를 새로 생성해서 맞춰준다 생각하면 된다. np.linspace( start, end, num )은 start로 시작해 end까지 num개의 변수를 일정한 간격으로 생성해주는 함수이다. 따라러 된다. [Line 4]
np.fft.fftshift( )는 위에서 말한 np.fft.fft( ) 반환 값의 순서를 ‘음 → 양’ 으로 변경해주는 함수이다.
최종 결과를 그래프로 표현해보면 다음과 같음.
f : -35, -10, 10, 35 에서 magnitude : 0.3, 1.5, 1.5, 0.3 으로 그려지는 것을 확인할 수 있다. 이 그래프가 위에서 생성한 신호의 최종 푸리에 변환 그래프이다. 만약 양의 영역만 확인하고 싶다면 indexing을 해주면 된다.
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Python에서 고속 푸리에 변환(FFT) 플로팅
이 Python 튜토리얼 기사에서는 Fast Fourier Transform을 이해하고 Python으로 플롯할 것입니다.
푸리에 분석은 주기적 구성 요소의 집합체로서의 기능을 전달하고 구성 요소에서 해당 신호를 추출합니다. 함수와 그 변환이 이산 부분으로 교환되면 푸리에 변환으로 표현됩니다.
FFT는 주로 실행 속도를 높이기 위해 계산 알고리즘과 함께 작동합니다. 필터링 알고리즘, 곱셈, 이미지 처리는 응용 프로그램의 일부입니다.
고속 푸리에 변환을 위해 Python scipy.fft 모듈 사용
고속 푸리에 변환에서 측정해야 할 가장 중요한 점 중 하나는 타임스탬프가 균일한 데이터에만 적용할 수 있다는 것입니다. scipy.fft 모듈은 주어진 시간 영역을 주파수 영역으로 변환합니다. 길이 N 시퀀스 x[n] 의 FFT는 fft() 함수로 계산됩니다.
Doc Translator: 문서 번역기는… Please enable JavaScript Doc Translator: 문서 번역기는 어떻게 사용합니까?
예를 들어,
from scipy.fftpack import fft import numpy as np x = np.array([4.0, 2.0, 1.0, -3.0, 1.5]) y = fft(x) print(y)
출력:
[5.5 -0.j 6.69959347-2.82666927j 0.55040653+3.51033344j 0.55040653-3.51033344j 6.69959347+2.82666927j]높은 계산을 필요로 하기 때문에 잡음이 있는 신호를 사용할 수도 있습니다. 예를 들어 numpy.sin() 함수를 사용하여 사인 시리즈를 만들고 플롯할 수 있습니다. 시리즈를 플로팅하기 위해 Matplotlib 모듈을 사용합니다.
다음 예를 참조하십시오.
import scipy.fft import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np N = 500 T = 1.0 / 600.0 x = np.linspace(0.0, N*T, N) y = np.sin(60.0 * 2.0*np.pi*x) + 0.5*np.sin(90.0 * 2.0*np.pi*x) y_f = scipy.fft.fft(y) x_f = np.linspace(0.0, 1.0/(2.0*T), N//2) plt.plot(x_f, 2.0/N * np.abs(y_f[:N//2])) plt.show()
scipy.fft 모듈은 더 많은 추가 기능과 업데이트된 기능으로 scipy.fftpack 모듈에 구축되었습니다.
고속 푸리에 변환을 위해 Python numpy.fft 모듈 사용
numpy.fft 는 scipy.fft 모듈과 유사하게 작동합니다. scipy.fft 는 numpy.fft 에서 일부 기능을 내보냅니다.
numpy.fft 는 2D 배열을 다룰 때 더 빠른 것으로 간주됩니다. 구현은 동일합니다.
예를 들어,
데이터 전처리 : 신호 처리 방법(푸리에 변환)
안녕하세요,
zerojin입니다.
Numpy에서 제공해주는 FFT 메소드를 통해 시계열 데이터 전처리를 방법을 소개드립니다.
푸리에 변환을 통해 기존 상태 관측 데이터에서 필요없는 잡음을 없애는 용도로 사용하시면 됩니다.
참고하셔서 분석에 도움이 됐으면 좋겠습니다. 감사합니다.
(추가로 시계열 분해 자료도 업데이트 하겠습니다.)
푸리에 변환 — gramman 0.1 documentation
#-*- coding:utf-8 -*- “”” # Fourier Transform(푸리에 변환) . 시간 도메인(X축)에서 표현된 신호(일반적인 파형 도표)를 주파수 도메인으로 변환. . 시간축이 제거되어 대상의 전체적인 특징을 파악할 수 있음. . 이미지에 적용이 되어 중심이 저주파 영역, 주변이 고주파 영역을 나타냄. . 푸리에 변환을 하여 저주파 또는 고주파를 제거하고 다시 역으로 이미지로 변환 함으로써 이미지가공을 할 수 있음. (ex; 푸리에 변환 후 중심의 저주파를 제거하고 다시 Image로 전환 하면 이미지의 경계선만 남게 됨. 푸리에 변환 후 주변의 고주파를 제거하면 모아레 패턴(휴대폰으로 모니터를 찍었을 때 나타나는 현상) 을 제거할 수 있음.(모니터의 고주파를 제거함.) ) “”” import cv2 import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt img = cv2 . imread ( ‘images/lena.jpg’ ) b , g , r = cv2 . split ( img ) img = cv2 . merge ([ r , g , b ]) img = cv2 . cvtColor ( img , cv2 . COLOR_BGR2GRAY ) “”” # Fourier Transform을 적용. 적용을 하면 0,0, 즉 화면 좌측상단점이 중심이고, 거기에 저주파가 모여 있음. 분석을 용이하게 하기 위해 0,0을 이미지의 중심으로 이동 시키고 Log Scaling을 하여 분석이 용이한 결과값으로 변환 “”” f = np . fft . fft2 ( img ) # 이미지에 푸리에 변환 적용 fshift = np . fft . fftshift ( f ) #분석을 용이하게 하기 위해 주파수가 0인 부분을 중앙에 위치시킴. 중앙에 저주파가 모이게 됨. magnitude_spectrum = 20 * np . log ( np . abs ( fshift )) #spectrum 구하는 수학식. rows , cols = img . shape crow , ccol = rows / 2 , cols / 2 # 이미지의 중심 좌표 # 중앙에서 10X10 사이즈의 사각형의 값을 1로 설정함. 중앙의 저주파를 모두 제거 # 저주파를 제거하였기 때문에 배경이 사라지고 경계선만 남게 됨. d = 10 fshift [ crow – d : crow + d , ccol – d : ccol + d ] = 1 #푸리에 변환결과를 다시 이미지로 변환 f_ishift = np . fft . ifftshift ( fshift ) img_back = np . fft . ifft2 ( f_ishift ) img_back = np . abs ( img_back ) #threshold를 적용하기 위해 float type을 int type으로 변환 img_new = np . uint8 ( img_back ); ret , thresh = cv2 . threshold ( img_new , 30 , 255 , cv2 . THRESH_BINARY_INV ) plt . subplot ( 221 ), plt . imshow ( img , cmap = ‘gray’ ) plt . title ( ‘Input Image’ ), plt . xticks ([]), plt . yticks ([]) plt . subplot ( 222 ), plt . imshow ( magnitude_spectrum , cmap = ‘gray’ ) plt . title ( ‘Spectrum’ ), plt . xticks ([]), plt . yticks ([]) plt . subplot ( 223 ), plt . imshow ( img_back , cmap = ‘gray’ ) plt . title ( ‘FT’ ), plt . xticks ([]), plt . yticks ([]) plt . subplot ( 224 ), plt . imshow ( thresh , cmap = ‘gray’ ) plt . title ( ‘Threshold With FT’ ), plt . xticks ([]), plt . yticks ([]) plt . show ()
Python으로 수행하는 주파수 분석 – FFT, STFT
아주 예전에 Python으로 수행하는 FFT라는 주제의 글을 작성한 적이 있습니다. 이번에는 이 글에서 조금 더 나가서 STFT라는 개념도 이야기를 해 보려고 합니다. 시간영역에서의 신호를 분석할 때 많이 사용하는 것이 FFT인데요. 여기서 시간 구간에 대한 한계를 만날 수 있기 때문에 STFT Short Time Fourier Transform을 사용합니다. 오늘은 이 이야기를 해 보려고 합니다.
https://pinkwink.kr/708
시험 데이터 만들기
일단 학습을 위해 필요한 데이터를 만들어 두도록 하겠습니다.
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def sin_wave(amp, freq, time): return amp * np.sin(2*np.pi*freq*time)
먼저 numpy를 이용해서 삼각함수를 다소 간단한 형태로 정의 해 두겠습니다.
위 식을 코드로 구현한 것으로 f는 Hz 단위의 주파수입니다.
time = np.arange(0, 10, 0.001) sin1 = sin_wave(1, 10, time) sin2 = sin_wave(2, 5, time) sin3 = sin_wave(4, 1, time)
이제 시간 간격을 0.001(=1 milli-sec)로 두고 0초 부터 10초까지 시간(time)을 변수로 정의했습니다. 그리고 크기가 각각 1, 2, 4이고 주파수가 각각 10, 5, 1Hz가 되도록 sin1, sin2, sin3라는 데이터를 만들어 두었습니다. 각 데이터는 time에 의해 시간축 길이는 10초입니다.
plt.figure(figsize=(12,5)) plt.plot(time, sin1, label=r”$\sin {20\pi} t$”, color=’red’) plt.plot(time, sin2, label=r”$2\sin {10\pi} t$”, color=’blue’) plt.plot(time, sin3, label=r”$4\sin {2\pi} t$”, color=’green’) plt.legend(); plt.grid(); plt.show()
이 시험용 데이터가 어떻게 생겼는지 확인해보도록 하죠. 간단히 matlplotlib로 그리고 label을 LaTeX로 달아 두었습니다.
저렇게 생긴 아이입니다. 크기와 주파수를 보면 쉽게 세 개의 신호가 확인이 될겁니다.
sin_sum = sin1 + sin2 + sin3 plt.figure(figsize=(12,5)) plt.plot(time, sin_sum) plt.grid() plt.show()
이제 앞 서 만든 세 개의 신호를 더해서 sin_sum이라는 변수에 두었습니다. 그런데 이렇게 세 개의 신호를 더 하면 어떤 일이 생길까요?
넵 이렇습니다. 뭔가 신기하지 않나요? 만약 이 신호의 출력이 신기해 보인다면 여러분들은 공대 체질일 지도 모릅니다^^
plt.figure(figsize=(12,7)) plt.plot(time, sin1, label=r”$\sin {20\pi} t$”, color=’green’, alpha=0.5) plt.plot(time, sin2, label=r”$2\sin {10\pi} t$”, color=’blue’, alpha=0.5) plt.plot(time, sin3, label=r”$4\sin {2\pi} t$”, color=’magenta’, alpha=0.5) plt.plot(time, sin_sum, label=”sum_of_sin”, color=’black’, lw=0.8) plt.legend(); plt.grid(); plt.show()
네 개의 신호를 모두 한 번에 그려보죠.
가장 느린 주파수(1Hz)인 신호 위에 높은 주파수의 성분이 실려서 sin_sum이라는 신호가 만들어진 것처럼 보이나요.
FFT를 이용한 주파수 분석
출처 : 위키백과 FFT 문서
위 그림은 위키백과의 FFT 문서에 있는 그림입니다. 어떤 파형이 다양한 주파수 성분의 정현파로 표현할 수 있음을 보여주는 좋은 그림입니다. 빨간색으로 된 복잡해 보이는 신호는 삼각함수로 이뤄진 여러 파형으로 설명할 수 있음을 알 수 있습니다.
n = len(sin_sum) k = np.arange(n) Fs = 1/0.001 T = n/Fs freq = k/T freq = freq[range(int(n/2))]
일단 sin_sum 데이터의 길이 만큼에 샘플 타임(1ms)의 역수를 취하면 구할 수 있는 샘플 주파수 1kHz를 구하고(Fs), 길이(n)로 나누면 주파수 영역의 간격을 계산할 수 있습니다. 그렇게 구한 freq라는 주파수 영역을 사용합니다.
Y = np.fft.fft(sin_sum)/n Y = Y[range(int(n/2))]
그리고 numpy가 제공하는 fft기능을 이용해서 sin_sum이라는 시간영역에서의 데이터에서 주파수 성분을 찾게 됩니다. 애초에 sun_sum은 1, 5, 10Hz의 신호들을 합친것이니 그런 결과가 나와야겠죠.
fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(12,8)) ax[0].plot(time, sin_sum) ax[0].set_xlabel(‘Time’) ax[0].set_ylabel(‘Amplitude’); ax[0].grid(True) ax[1].plot(freq, abs(Y), ‘r’, linestyle=’ ‘, marker=’^’) ax[1].set_xlabel(‘Freq (Hz)’) ax[1].set_ylabel(‘|Y(freq)|’) ax[1].vlines(freq, [0], abs(Y)) ax[1].set_xlim([0, 20]); ax[1].grid(True) plt.show()
sin_sum과 그 주파수 분석 결과인 Y(인데 복소수라 절대값으로)를 동시에 그려보면,
이렇습니다. 어떤가요? 위 그래프는 sin_sum이구요. 그 밑에 그림… 어때요? 1, 5, 10Hz가 정확히 나타납니다. 특히, 그 크기 1, 2, 4의 절반이 정확히 보입니다. 이렇게 테스트 해보면 확실히 FFT라는 방식이 꽤 유용하다는 것도 알 수 있습니다.
신호 전체에 FFT를 적용하는 것의 한계
그럼 앞서서 수행한 FFT가 어떤 한계가 있는지를 한 번 확인해 보도록 하죠.
sin_concat = np.concatenate((sin1, sin2, sin3, sin_sum))
일단 numpy의 concatenate 명령은 신호를 이어서 붙이는 방식으로 합치는 겁니다. sin1, 2, 3과 sin_sum을 단지 시간 순서대로 합쳤기 때문에,
time = np.arange(0, 40, 0.001) plt.figure(figsize=(12,5)) plt.plot(time, sin_concat) plt.grid() plt.show()
그려보면~
이렇게 생겼습니다. 시간대별로 주파수의 성분이 확실히 다른 거죠.
n = len(sin_concat) k = np.arange(n) Fs = 1/0.001; T = n/Fs freq = k/T freq = freq[range(int(n/2))] Y = np.fft.fft(sin_concat)/n Y = Y[range(int(n/2))] fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(12,8)) ax[0].plot(time, sin_concat) ax[0].set_xlabel(‘Time’) ax[0].set_ylabel(‘Amplitude’); ax[0].grid(True) ax[1].plot(freq, abs(Y), ‘r’, linestyle=’ ‘, marker=’^’) ax[1].set_xlabel(‘Freq (Hz)’) ax[1].set_ylabel(‘|Y(freq)|’) ax[1].set_xlim([0, 20]) ax[1].vlines(freq, [0], abs(Y)); ax[1].grid(True) plt.show()
다시 FFT를 수행해 보았습니다.
이렇게 1, 5, 10Hz의 주파수 성분이 나타났지만, 사실 시간대별로 완전히 다른 주파수 특성을 다 반영하지 못하고 있습니다. 그냥 신호 전체에서의 주파수 특성을 보여 주는 거죠. 이렇게 하고 싶지 않은 겁니다. 10초, 20초, 30초, 40초마다 다른 주파수 특성을 잘 보여주고 싶은 겁니다.
Short Time Fourier Transform – STFT
앞서서의 이유로 시간 영역 전체 기간동안 FFT를 하는 것은 원하는 결과를 얻지 못 할 수 있습니다. 그래서 나타난 것이 시간 영역을 짧게 끊어서 각 영역마다 FFT를 수행하는 개념이 나타납니다.
출처 : mathworks 홈페이지에서 STFT 설명 문서
위 그림을 보면 Window Length와 Overlap Length를 정해서 짧은 구간 끊어서 각각 FFT를 수행하는 것입니다.
def draw_stft(f, t, Zxx): plt.figure(figsize=(12,5)) plt.pcolormesh(t, f, np.abs(Zxx), vmin=0, vmax=1, shading=’gouraud’) plt.title(‘STFT Magnitude’); plt.ylabel(‘Frequency [Hz]’) plt.xlabel(‘Time [sec]’); plt.ylim([0, 20]); plt.show()
앞서 이야기한 개념이 STFT인데 STFT를 수행한 결과를 pcolormesh라는 matplotlib의 함수를 이용해서 그릴겁니다.
from scipy import signal def calc_stft(nperseg): f, t, Zxx = signal.stft(sin_concat, Fs, nperseg=nperseg) draw_stft(f, t, Zxx)
STFT는 scipy에서 제공하는 함수를 사용하구요. nperseg라는 옵션이 window length를 결정하는 옵션이고, scipy의 stft 함수는 operlap 설정이 nperseg의 절반으로 잡는 것이 기본 설정입니다.
어떤가요 window length를 500개 샘플로 잡았더니 저렇게 시간대별 주파수 성분이 보입니다. 이렇게만 보면 어쩌면 잘 되었나하고 생각할 수도있지만 nperseg의 설정을 조금 바꿔보죠
이번에는 nperseg 설정을 높였습니다. 보다 주파수 성분이 선명해 지는 것을 볼 수 있습니다. 그럼 더 높을 수록 좋을까요?
그렇지는 않습니다. 10초, 20초 등등 경계선 지점을 보면 없던 주파수 성분이 있는 걸로 보이죠. 신호의 특성에 맞춰 스스로 window length는 잡아야 합니다.
마무리
이번 글에서는 예전에 다루었던 FFT를 이용해서 신호를 주파수 성분으로 변환하는 예제와 또 그 한계를 다루어 보았습니다. 그래서 그 한계를 극복하는 한 방법으로 STFT를 이야기를 했습니다. 이 글은 여기서 조금 더 이어서 다음 단계로 넘어가려고 하는데요. 일단 그건 다음에~^^ 아 혹시 푸리에 변환 자체게 완심이 있으신 분들은 아래의 글을 읽어보시기 바랍니다.
https://pinkwink.kr/198
그리고 이 내용은 혹시 필요하신 분이 있을까봐 영상으로도 공개됩니다.
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푸리에 변환과 스펙트럼 — 데이터 사이언스 스쿨
음성(speech), 음악(music) 등의 음향(sound) 데이터에서 특징(feature)을 추출하는 방법인 푸리에 변환(Fourier transfrom)과 스펙트럼(spectrum)에 대해서 알아본다.
복소 지수함수¶
오일러 공식에 의해 지수부가 허수(imaginary number)인 복소 지수함수(complex exponential function)는 코사인 함수인 실수부와 사인 함수인 허수부의 합으로 나타난다.
\[ \exp(i\cdot x) = \cos x + i\sin x \]
다음은 주기가 \(T\), 주파수가 \(\frac{2\pi}{T}\)인 복수 지수함수로서 주기가 \(T\)인 사인과 코사인의 조합이 된다.
\[ \exp \left( i\cdot 2\pi\frac{1}{T} t \right) = \cos \left(2\pi \dfrac{1}{T} t \right) +i\sin \left(2\pi \dfrac{1}{T} t \right) \]
따라서 주기가 \(\frac{T}{n}\), 주파수가 \(n\frac{2\pi}{T}\)인 복수 지수함수는 다음과 같다.
\[ \exp \left( i\cdot 2\pi\frac{n}{T} t \right) = \cos \left(2\pi \dfrac{n}{T} t \right) +i\sin \left(2\pi \dfrac{n}{T} t \right) \]
Fourier Transform Python
Fourier Transform
푸리에 변환
푸리에 변환은 연속적인 시계열 데이터를 sin, cos 함수들과 같은 파형들의 합으로 나타내는 것으로 여러 개의 주파수 성분들로 분해하는 작업이다.
주로 신호 처리나 사운드, 이미지와 같은 데이터의 주파수 변환에 많이 사용한다.
그렇다면 어떻게 분해를 할 수 있는 것일까?
여기서는 이론적인 이해가 아닌 프로그래밍 구현측면에서 접근하도록 한다.
위 그림은 도형 이미지를 시간에 따른 x, y 좌표 리스트로 나누어 x, y 각각을 주파수 분해한 다음 분해된 주파수들을 하나씩 결합하여 그린 모양이다. 주파수를 하나씩 더 했을 때 점점 원본에 닮아가는 것을 확인할 수 있다.
노이즈가 섞인 원본 신호라면 주파수 분해 후 적절한 신호의 재결합을 통해 노이즈가 제거되는 효과도 나타날 수 있을 것이다.
도구
가장 쉽게 접근할 수 있는 것은 python의 numpy나 scipy 라이브러리로 쉽게 원하는 작업을 할 수 있다. cpp로 된 라이브러리도 google에서 검색하면 금방 찾을 수 있다.
해결하려는 문제
시계열 데이터를 주파수 성분으로 분해하고 분해된 수치 정보만으로 원본을 복구하는 작업을 수행하고자 한다.
알 수 없는 시그널
시간값과 신호크기만 있는 시계열 데이터가 있다고 하자.
”’ foutier transform ”’ import numpy as np import matplotlib . pyplot as plt txlist = [ ( 0.0 , – 0.1729957805907173 ) , ( 0.0045871559633027525 , – 0.189873417721519 ) , ( 0.009174311926605505 , – 0.2236286919831224 ) , ( 0.013761467889908258 , – 0.2742616033755274 ) , ( 0.01834862385321101 , – 0.3080168776371308 ) , ( 0.022935779816513763 , – 0.3502109704641351 ) , ( 0.027522935779816515 , – 0.4092827004219409 ) , ( 0.03211009174311927 , – 0.4345991561181435 ) , ( 0.03669724770642202 , – 0.47679324894514763 ) , ( 0.04128440366972477 , – 0.510548523206751 ) , ( 0.045871559633027525 , – 0.5527426160337553 ) , ( 0.05045871559633028 , – 0.5864978902953586 ) , ( 0.05504587155963303 , – 0.620253164556962 ) , ( 0.05963302752293578 , – 0.6371308016877637 ) , ( 0.06422018348623854 , – 0.6540084388185654 ) , ( 0.06880733944954129 , – 0.6793248945147679 ) , ( 0.07339449541284404 , – 0.6877637130801688 ) , ( 0.0779816513761468 , – 0.6877637130801688 ) , ( 0.08256880733944955 , – 0.6877637130801688 ) , ( 0.0871559633027523 , – 0.6708860759493671 ) , ( 0.09174311926605505 , – 0.6540084388185654 ) , ( 0.0963302752293578 , – 0.6286919831223629 ) , ( 0.10091743119266056 , – 0.5949367088607596 ) , ( 0.10550458715596331 , – 0.5864978902953586 ) , ( 0.11009174311926606 , – 0.5527426160337553 ) , ( 0.11467889908256881 , – 0.5274261603375527 ) , ( 0.11926605504587157 , – 0.5021097046413502 ) , ( 0.12385321100917432 , – 0.4345991561181435 ) , ( 0.12844036697247707 , – 0.4092827004219409 ) , ( 0.13302752293577982 , – 0.3502109704641351 ) , ( 0.13761467889908258 , – 0.24894514767932485 ) , ( 0.14220183486238533 , – 0.11392405063291144 ) , ( 0.14678899082568808 , 0.029535864978903037 ) , ( 0.15137614678899083 , 0.03797468354430378 ) , ( 0.1559633027522936 , 0.139240506329114 ) , ( 0.16055045871559634 , 0.28270042194092837 ) , ( 0.1651376146788991 , 0.4430379746835442 ) , ( 0.16972477064220184 , 0.5021097046413503 ) , ( 0.1743119266055046 , 0.5527426160337552 ) , ( 0.17889908256880735 , 0.620253164556962 ) , ( 0.1834862385321101 , 0.6624472573839661 ) , ( 0.18807339449541285 , 0.6962025316455696 ) , ( 0.1926605504587156 , 0.729957805907173 ) , ( 0.19724770642201836 , 0.7805907172995781 ) , ( 0.2018348623853211 , 0.8227848101265822 ) , ( 0.20642201834862386 , 0.8481012658227849 ) , ( 0.21100917431192662 , 0.8481012658227849 ) , ( 0.21559633027522937 , 0.8312236286919832 ) , ( 0.22018348623853212 , 0.7974683544303798 ) , ( 0.22477064220183487 , 0.7890295358649788 ) , ( 0.22935779816513763 , 0.7721518987341771 ) , ( 0.23394495412844038 , 0.7552742616033756 ) , ( 0.23853211009174313 , 0.7215189873417722 ) , ( 0.24311926605504589 , 0.7046413502109705 ) , ( 0.24770642201834864 , 0.6877637130801688 ) , ( 0.25229357798165136 , 0.6540084388185654 ) , ( 0.25688073394495414 , 0.620253164556962 ) , ( 0.26146788990825687 , 0.5611814345991561 ) , ( 0.26605504587155965 , 0.4599156118143459 ) , ( 0.2706422018348624 , 0.36708860759493667 ) , ( 0.27522935779816515 , 0.31645569620253156 ) , ( 0.2798165137614679 , 0.24894514767932496 ) , ( 0.28440366972477066 , 0.1898734177215189 ) , ( 0.2889908256880734 , 0.11392405063291133 ) , ( 0.29357798165137616 , 0.09704641350210963 ) , ( 0.2981651376146789 , 0.029535864978903037 ) , ( 0.30275229357798167 , – 0.04641350210970463 ) , ( 0.3073394495412844 , – 0.18143459915611815 ) , ( 0.3119266055045872 , – 0.24894514767932485 ) , ( 0.3165137614678899 , – 0.19831223628691985 ) , ( 0.3211009174311927 , – 0.13080168776371304 ) , ( 0.3256880733944954 , – 0.06329113924050633 ) , ( 0.3302752293577982 , 0.012658227848101333 ) , ( 0.3348623853211009 , 0.08860759493670889 ) , ( 0.3394495412844037 , 0.139240506329114 ) , ( 0.3440366972477064 , 0.2067510548523206 ) , ( 0.3486238532110092 , 0.240506329113924 ) , ( 0.3532110091743119 , 0.2742616033755274 ) , ( 0.3577981651376147 , 0.31645569620253156 ) , ( 0.3623853211009174 , 0.33333333333333326 ) , ( 0.3669724770642202 , 0.35021097046413496 ) , ( 0.37155963302752293 , 0.3586497890295359 ) , ( 0.3761467889908257 , 0.39240506329113933 ) , ( 0.38073394495412843 , 0.40928270042194104 ) , ( 0.3853211009174312 , 0.4008438818565401 ) , ( 0.38990825688073394 , 0.2911392405063291 ) , ( 0.3944954128440367 , 0.23206751054852326 ) , ( 0.39908256880733944 , 0.1898734177215189 ) , ( 0.4036697247706422 , 0.14767932489451474 ) , ( 0.40825688073394495 , 0.08016877637130793 ) , ( 0.41284403669724773 , 0.021097046413502074 ) , ( 0.41743119266055045 , – 0.08860759493670889 ) , ( 0.42201834862385323 , – 0.16455696202531644 ) , ( 0.42660550458715596 , – 0.24894514767932485 ) , ( 0.43119266055045874 , – 0.3502109704641351 ) , ( 0.43577981651376146 , – 0.4008438818565401 ) , ( 0.44036697247706424 , – 0.49367088607594933 ) , ( 0.44495412844036697 , – 0.5780590717299579 ) , ( 0.44954128440366975 , – 0.6455696202531646 ) , ( 0.4541284403669725 , – 0.6455696202531646 ) , ( 0.45871559633027525 , – 0.4683544303797469 ) , ( 0.463302752293578 , – 0.36708860759493667 ) , ( 0.46788990825688076 , – 0.24894514767932485 ) , ( 0.4724770642201835 , – 0.08860759493670889 ) , ( 0.47706422018348627 , 0.00421940928270037 ) , ( 0.481651376146789 , 0.13080168776371304 ) , ( 0.48623853211009177 , 0.2742616033755274 ) , ( 0.4908256880733945 , 0.38396624472573837 ) , ( 0.4954128440366973 , 0.4345991561181435 ) , ( 0.5 , 0.6118143459915613 ) , ( 0.5045871559633027 , 0.6793248945147679 ) , ( 0.5091743119266054 , 0.6877637130801688 ) , ( 0.5137614678899083 , 0.7805907172995781 ) , ( 0.518348623853211 , 0.7805907172995781 ) , ( 0.5229357798165137 , 0.6793248945147679 ) , ( 0.5275229357798165 , 0.5696202531645569 ) , ( 0.5321100917431193 , 0.5443037974683544 ) , ( 0.536697247706422 , 0.4599156118143459 ) , ( 0.5412844036697247 , 0.39240506329113933 ) , ( 0.5458715596330275 , 0.31645569620253156 ) , ( 0.5504587155963303 , 0.21518987341772156 ) , ( 0.555045871559633 , 0.1223628691983123 ) , ( 0.5596330275229358 , 0.06329113924050622 ) , ( 0.5642201834862385 , – 0.021097046413502074 ) , ( 0.5688073394495413 , – 0.08016877637130804 ) , ( 0.573394495412844 , – 0.08860759493670889 ) , ( 0.5779816513761468 , – 0.18143459915611815 ) , ( 0.5825688073394495 , – 0.21518987341772156 ) , ( 0.5871559633027523 , – 0.2573839662447257 ) , ( 0.591743119266055 , – 0.24894514767932485 ) , ( 0.5963302752293578 , – 0.2236286919831224 ) , ( 0.6009174311926605 , – 0.21518987341772156 ) , ( 0.6055045871559633 , – 0.2067510548523207 ) , ( 0.6100917431192661 , – 0.189873417721519 ) , ( 0.6146788990825688 , – 0.189873417721519 ) , ( 0.6192660550458715 , – 0.18143459915611815 ) , ( 0.6238532110091743 , – 0.18143459915611815 ) , ( 0.6284403669724771 , – 0.18143459915611815 ) , ( 0.6330275229357798 , – 0.18143459915611815 ) , ( 0.6376146788990825 , – 0.18143459915611815 ) , ( 0.6422018348623854 , – 0.18143459915611815 ) , ( 0.6467889908256881 , – 0.2067510548523207 ) , ( 0.6513761467889908 , – 0.21518987341772156 ) , ( 0.6559633027522935 , – 0.21518987341772156 ) , ( 0.6605504587155964 , – 0.2236286919831224 ) , ( 0.6651376146788991 , – 0.2236286919831224 ) , ( 0.6697247706422018 , – 0.2236286919831224 ) , ( 0.6743119266055045 , – 0.2236286919831224 ) , ( 0.6788990825688074 , – 0.21518987341772156 ) , ( 0.6834862385321101 , – 0.21518987341772156 ) , ( 0.6880733944954128 , – 0.2236286919831224 ) , ( 0.6926605504587156 , – 0.36708860759493667 ) , ( 0.6972477064220184 , – 0.5021097046413502 ) , ( 0.7018348623853211 , – 0.6286919831223629 ) , ( 0.7064220183486238 , – 0.7383966244725738 ) , ( 0.7110091743119266 , – 0.8396624472573839 ) , ( 0.7155963302752294 , – 0.9409282700421941 ) , ( 0.7201834862385321 , – 1.0 ) , ( 0.7247706422018348 , – 0.9915611814345991 ) , ( 0.7293577981651376 , – 0.9915611814345991 ) , ( 0.7339449541284404 , – 0.9915611814345991 ) , ( 0.7385321100917431 , – 1.0 ) , ( 0.7431192660550459 , – 1.0 ) , ( 0.7477064220183486 , – 0.9831223628691983 ) , ( 0.7522935779816514 , – 0.9662447257383966 ) , ( 0.7568807339449541 , – 0.9578059071729957 ) , ( 0.7614678899082569 , – 0.9578059071729957 ) , ( 0.7660550458715596 , – 0.9578059071729957 ) , ( 0.7706422018348624 , – 0.9662447257383966 ) , ( 0.7752293577981652 , – 0.9831223628691983 ) , ( 0.7798165137614679 , – 0.9831223628691983 ) , ( 0.7844036697247706 , – 0.8818565400843882 ) , ( 0.7889908256880734 , – 0.8481012658227848 ) , ( 0.7935779816513762 , – 0.6455696202531646 ) , ( 0.7981651376146789 , – 0.49367088607594933 ) , ( 0.8027522935779816 , – 0.4008438818565401 ) , ( 0.8073394495412844 , – 0.26582278481012656 ) , ( 0.8119266055045872 , – 0.09704641350210974 ) , ( 0.8165137614678899 , – 0.05485232067510548 ) , ( 0.8211009174311926 , 0.012658227848101333 ) , ( 0.8256880733944955 , 0.1223628691983123 ) , ( 0.8302752293577982 , 0.240506329113924 ) , ( 0.8348623853211009 , 0.33333333333333326 ) , ( 0.8394495412844036 , 0.38396624472573837 ) , ( 0.8440366972477065 , 0.5358649789029535 ) , ( 0.8486238532110092 , 0.6624472573839661 ) , ( 0.8532110091743119 , 0.7383966244725739 ) , ( 0.8577981651376146 , 0.7468354430379747 ) , ( 0.8623853211009175 , 0.8987341772151898 ) , ( 0.8669724770642202 , 0.9578059071729959 ) , ( 0.8715596330275229 , 0.9831223628691983 ) , ( 0.8761467889908257 , 0.9831223628691983 ) , ( 0.8807339449541285 , 0.9831223628691983 ) , ( 0.8853211009174312 , 0.9831223628691983 ) , ( 0.8899082568807339 , 0.9746835443037976 ) , ( 0.8944954128440367 , 0.9746835443037976 ) , ( 0.8990825688073395 , 0.9746835443037976 ) , ( 0.9036697247706422 , 0.9578059071729959 ) , ( 0.908256880733945 , 0.9578059071729959 ) , ( 0.9128440366972477 , 0.9578059071729959 ) , ( 0.9174311926605505 , 0.9578059071729959 ) , ( 0.9220183486238532 , 0.9578059071729959 ) , ( 0.926605504587156 , 0.9746835443037976 ) , ( 0.9311926605504587 , 0.9831223628691983 ) , ( 0.9357798165137615 , 1.0 ) , ( 0.9403669724770642 , 0.9156118143459915 ) , ( 0.944954128440367 , 0.7046413502109705 ) , ( 0.9495412844036697 , 0.5527426160337552 ) , ( 0.9541284403669725 , 0.4430379746835442 ) , ( 0.9587155963302753 , 0.29957805907172985 ) , ( 0.963302752293578 , 0.139240506329114 ) , ( 0.9678899082568807 , 0.06329113924050622 ) , ( 0.9724770642201835 , – 0.04641350210970463 ) , ( 0.9770642201834863 , – 0.11392405063291144 ) , ( 0.981651376146789 , – 0.189873417721519 ) , ( 0.9862385321100917 , – 0.19831223628691985 ) , ( 0.9908256880733946 , – 0.21518987341772156 ) , ( 0.9954128440366973 , – 0.2067510548523207 ) , ( 1.0 , – 0.19831223628691985 ) ] txlist = np . asarray ( txlist ) plt . figure ( ) plt . scatter ( txlist [ : , 0 ] , txlist [ : , 1 ] ) plt . savefig ( ‘fft02.jpg’ ) plt . show ( )
위와 같은 그래프로 표현되는 원본 시그널이 있을 때, 수집된 샘플 데이터의 수가 부족할 수도 있다. 이 때는 보간법으로 점들 사이의 데이터들을 추정하여 채울 수 있다.
일정한 시간간격으로 추정된 위치값을 보간법으로 구해 데이터 수를 확장해 보자.
보간법
우리가 필요한 샘플링 주기는 최대 주파수 설정에 따른다.
최대 500Hz까지를 검사하여 성분 분석을 하려면 그 두배인 1000Hz를 maxfreq로 설정한다.
(나중에 나오지만 주파수 스펙트럼을 그려보면 중앙을 기준으로 좌우 대칭으로 나온다. 따라서 최대 주파수 *2를 해준다.)
1000Hz를 maxfreq로 잡으면 샘플링 주기는 1/1000 sec로 한다.
일정한 시간간격 (1ms)마다의 신호크기를 추정해 다시 그려보자.
from scipy . interpolate import splrep , splev spl = splrep ( txlist [ : , 0 ] , txlist [ : , 1 ] ) fs = 1000 dt = 1 / fs spl = splrep ( txlist [ : , 0 ] , txlist [ : , 1 ] ) newt = np . arange ( 0 , 1 , dt ) newx = splev ( newt , spl ) print ( newt ) print ( newx ) if True : plt . figure ( ) plt . scatter ( newt , newx ) plt . savefig ( ‘fft02_2.jpg’ ) plt . show ( )
FFT
위 신호를 분해해 보자.
먼저 주파수 스펙트럼을 구해서 어떤 주파수를 사용해야 하는지를 분석한다. 스펙트럼 그래프에서 높은 값을 가진 성분의 주파수를 선택하면 된다.
nfft = len ( newt ) print ( ‘nfft = ‘ , nfft ) df = fs / nfft k = np . arange ( nfft ) f = k * df nfft_half = math . trunc ( nfft / 2 ) f0 = f [ range ( nfft_half ) ] y = np . fft . fft ( newx ) / nfft * 2 y0 = y [ range ( nfft_half ) ] amp = abs ( y0 ) if True : plt . figure ( ) plt . plot ( f0 , amp ) plt . savefig ( ‘fft02_3.jpg’ ) plt . show ( )
위 그래프의 가로축은 주파수이고 세로축은 신호 강도이다.
작은 값을 버리고 강도가 센 주파수만 선별하면 된다.
top N개를 설정해서 몇 개만 할 수 도 있지만, 몇 개가 최적인지 알 수 없기에 사분위수의 극단점을 이용해 보았다. (데이터 분포의 25%~75%범위의 끝에서 해당 크기의 1.5배 이상 떨어진 데이터)
굳이 이렇게까지 할 필요는 없고 특정 개수로 (예를 들면 10개로) 설정해도 된다.
ampsort = np . sort ( amp ) q1 , q3 = np . percentile ( ampsort , [ 25 , 75 ] ) iqr = q3 – q1 upper_bound = q3 + 1.5 * iqr print ( ‘q1=’ , q1 , ‘q3=’ , q3 , ‘upper_bound=’ , upper_bound ) outer = ampsort [ ampsort > upper_bound ] print ( ‘outer cnt=’ , len ( outer ) ) topn = len ( outer ) print ( outer )
1000 개중에 특이하게 높은 값 101개를 찾았다.
nfft = 1000 q1= 2.7017249783348636e-05 q3= 0.00031241349163501486 upper_bound= 0.0007405078544125142 outer cnt= 101 [0.00081545 0.00085501 0.00086458 0.00090005 0.00090194 0.00091519 0.00091733 0.00093784 0.00096499 0.00097396 0.00099638 0.00104299 0.00107283 0.00126076 0.00126265 0.00127681 0.00129231 0.00131356….]
상위 101개의 주파수를 찾는다.
idxy = np . argsort ( – amp ) for i in range ( topn ) : print ( ‘freq=’ , f0 [ idxy [ i ] ] , ‘amp=’ , y [ idxy [ i ] ] )
마지막으로 주파수만으로 원본을 추정해 그려본다.
newy = np . zeros ( ( nfft , ) ) arfreq = [ ] arcoec = [ ] arcoes = [ ] for i in range ( topn ) : freq = f0 [ idxy [ i ] ] yx = y [ idxy [ i ] ] coec = yx . real coes = yx . imag * – 1 print ( ‘freq=’ , freq , ‘coec=’ , coec , ‘ coes’ , coes ) newy += coec * np . cos ( 2 * np . pi * freq * newt ) + coes * np . sin ( 2 * np . pi * freq * newt ) arfreq . append ( freq ) arcoec . append ( coec ) arcoes . append ( coes ) plt . figure ( ) plt . plot ( txlist [ : , 0 ] , txlist [ : , 1 ] , c = ‘r’ , label = ‘orginal’ ) plt . plot ( newt , newy , c = ‘b’ , label = ‘fft’ ) plt . legend ( ) plt . savefig ( ‘fft02_4.jpg’ ) plt . show ( )
거의 복원된 모습을 확인할 수 있다.
주성분 주파수를 하나씩 추가하여 변화하는 모습을 확인해 보자.
plt . figure ( ) plti = 0 ncnt = 15 newy = np . zeros ( ( nfft , ) ) for i in range ( ncnt + 1 ) : freq = f0 [ idxy [ i ] ] yx = y [ idxy [ i ] ] coec = yx . real coes = yx . imag * – 1 print ( ‘freq=’ , freq , ‘coec=’ , coec , ‘ coes’ , coes ) newy += coec * np . cos ( 2 * np . pi * freq * newt ) + coes * np . sin ( 2 * np . pi * freq * newt ) plti += 1 plt . subplot ( 4 , 4 , plti ) plt . title ( “N={}” . format ( i + 1 ) ) plt . plot ( newt , newy ) plt . savefig ( ‘fft02_5.jpg’ ) plt . show ( )
주파수를 추가할 때 마다 점점 원본의 모습으로 바뀌어진다.
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