짤강 고등 수학 상 답지 | 수학 문제집 추천 최근 답변 38개

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짤강 고등수학 (상) 정답지 – 버블리

책소개 단기간에 기초를 잡을 수 있는 쉬운 개념서 예비고등학생을 위한 빠르고 쉬운 선행서입니다. 정답을 확인하는 용도로 사용해주세요.

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Source: bebubbly.tistory.com

Date Published: 1/7/2022

View: 7317

2020 짤강 고등 수학 상 답지

2020 짤강 고등 수학 상 답지. 정답 2020. 6. 2. 06:22. 날씨가 너무 더워져서 몸이 축쳐집니다. 이럴때일수록 힘을 내야하는데 쉽지 않습니다.

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Source: dapjibook.com

Date Published: 12/18/2022

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짤강 고등수학(상) (2021) 답지 – 세모답

짤강 고등수학(상) (2021) 답지. 교재소개. 단기간에 기초를 잡을 수 있는 쉬운 개념서. 상세정보. 학년고1년도2021과목수학저자최용준, 해법수학 …

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Source: saemodap.tistory.com

Date Published: 5/30/2022

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짤강 고등 수학 상 하 답지 올릴게여 – ZUAKI’s info

짤강 고등 수학 상 답지를 올려요. 본문 아래 부분에 올려뒀으니 스크롤 쭈욱 내리신 다음 다운받으시면 된답니다. ^O^

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Source: zuaki.tistory.com

Date Published: 10/18/2022

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2018년 천재교육 짤강 고등 수학( 상 ) 답지 – 답지저장소

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Date Published: 2/15/2021

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[천재교육]짤강 고등 수학 1 (2019) 답지 – 네이버 블로그

[천재교육]짤강 고등 수학 1 (2019) 답지 · 1) 예비고등학생을 위한 빠르고 쉬운 선행서 · 2) 중하위권 고등학생들의 기초를 잡아줄 수 있는 개념서 · 3) …

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Source: m.blog.naver.com

Date Published: 3/4/2021

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짤강 고등 수학 (상) (2022년용) – YES24

짤강 고등 수학 (상) (2022년용). : 짧지만 개념에 강하다. [ 2015 개정 교육과정 ]. 최용준,해법수학연구회 공저 | 천재교육(학원) | 2017년 10월 15 …

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Source: www.yes24.com

Date Published: 12/21/2022

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고등 수학(상) – 천재교육 수업이 편리한 ACA

고등자료실; 고등 수학(상). temp. 고등 수학. 유형 해결의 법칙 내신에 최적화된 문제 기본서 학년 : 고등. 내 교재 추가 교재 및 내용 문의.

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Source: aca.chunjae.co.kr

Date Published: 4/5/2021

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짤강 고등 수학(상)(2022) | 최용준 | 천재교육 – 교보문고

짤강 고등 수학(상)(2022) 2015 개정 교육과정 | 새 교과서 반영. 최용준 , 해법수학연구회 지음 | 천재교육 | 2017년 10월 15일 출간.

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Source: www.kyobobook.co.kr

Date Published: 12/17/2022

View: 4729

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주제에 대한 기사 평가 짤강 고등 수학 상 답지

• Author: 연고티비
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• Date Published: 2020. 3. 21.
• Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=AUubzNiwmxw

짤강 고등수학 (상) 정답지

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단기간에 기초를 잡을 수 있는 쉬운 개념서

예비고등학생을 위한 빠르고 쉬운 선행서입니다.

정답을 확인하는 용도로 사용해주세요.

짤강 고등수학 (상)

Ⅰ. 다항식

1. 다항식의 연산

2. 항등식과 나머지정리

3. 인수분해

Ⅱ. 방정식과 부등식

4. 복소수

5. 이차방정식

6. 이차방정식과 이차함수

7. 여러 가지 방정식

8. 여러 가지 부등식

Ⅲ. 도형의 방정식

9. 평면좌표

10. 직선의 방정식

11. 원의 방정식

12. 도형의 이동

고등_짤강수학(상)정답.pdf 6.20MB

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2020 짤강 고등 수학 상 답지

날씨가 너무 더워져서 몸이 축쳐집니다. 이럴때일수록 힘을 내야하는데 쉽지 않습니다. 항상 봄, 가을만 있었으면 좋겠습니다. 겨울에는 껴입기라도 하겠지만 여름에는 아무리 벗어도 더위를 이겨낼수 없습니다. 결국엔 에어컨을 틀고 시원하게 있을수는 있지만 언젠가는 우리 지구가 온실가스로 가득차서 숨쉬기조차 힘들어질지도 모릅니다. 그래서 강대국은 새로운 우주를 개척하기 위해서 노력하는 것인지도 모릅니다. 아래에 짤강 고등 수학 상 답지가 있습니다.

올해는 역대 날씨 중에서 가장 더운날이 될 것이라고 합니다. 아직 여름이 시작되지도 않았는데 이렇게 덥기 시작하면 한여름에는 얼마나 더울지 걱정이 되기도 합니다. 이제는 여름에 바닷가에 가서 휴양을 즐기는 것도 힘들어질수도 있습니다. 폭염때문에 오히려 햇빛 아래에 있는 것이 더 문제가 될수도 있거든요. 정말로 너무 더운 날씨때문에 죽을 맛 입니다.

위를 보면 짤강 고등 수학 상 답지가 있습니다. 해당 답지는 구글 드라이브로 연결되어 있고 pdf 파일로 되어 있습니다. 다운로드 하지 않아도 웹상으로 바로 볼수 있도록 제공하고 있습니다. 답만 베끼지 말고 체점하고 공부하는데 이용하길 바랍니다.

짤강 고등수학(상) (2021) 답지

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짤강 고등수학(상) (2021) 답지

교재소개

단기간에 기초를 잡을 수 있는 쉬운 개념서

상세정보

학년고1년도2021과목수학저자최용준, 해법수학연구회판형변형 국배판쪽수208쪽

교재특징

1) 예비고등학생을 위한 빠르고 쉬운 선행서

2) 중하위권 고등학생들의 기초를 잡아줄 수 있는 개념서

3) 실수 방지를 위한 오답의 예와 바른 풀이 수록

4) 단원 시작 전에 중학교에서 배운 개념을 다시 한 번 체크할 수 있도록 기초개념피드백 수록

5) 반복해서 풀어야 하는 유형을 집중 연습 코너에서 연습할 수 있도록 함

교재목차

Ⅰ. 다항식

1. 다항식의 연산

2. 항등식과 나머지정리

3. 인수분해

Ⅱ. 방정식과 부등식

4. 복소수

5. 이차방정식

6. 이차방정식과 이차함수

7. 여러 가지 방정식

8. 여러 가지 부등식

Ⅲ. 도형의 방정식

9. 평면좌표

10. 직선의 방정식

11. 원의 방정식

12. 도형의 이동

교재구성

본책+정답과 풀이(책속의 책)

170908_고등_짤강수학(상)_PL_정답.pdf 6.20MB

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2018년 천재교육 짤강 고등 수학( 상 ) 답지

. . .

.

. . .

개념에 강한

짧지만

짤강 고등수학 (상)

정답과 해설

01 다항식의 연산

02 항등식과 나머지정리

03 인수분해

04 복소수

05 이차방정식

06 이차방정식과 이차함수

07 여러 가지 방정식

08 여러 가지 부등식

09 평면좌표

10 직선의 방정식

11 원의 방정식

12 도형의 이동

02

06

09

13

17

22

26

32

39

43

47

52

01 다항식의 연산

&

기초 개념 피드백 TEST

1-1 ⑴ 2x

1-2 ⑴ (-2xÛ`-5x-1)+(-3xÛ`+x)

=-2xÛ`-5x-1-3xÛ`+x

⑵ +, -10xÛ`

=-5xÛ`-4x-1

⑵ (4xÛ`-3x-6)-(2xÛ`-8x)

=4xÛ`-3x-6-2xÛ`+8x

=2xÛ`+5x-6

2-1 ⑴ 5aÛ`

2-2 ⑴ 4x(x+y)-2x(3x-2y)

⑵ 4a, 2a

=4xÛ`+4xy-6xÛ`+4xy=-2xÛ`+8xy

⑵ (9xÜ`yÛ`-3xyÜ`)Ö

xy=27xÛ`y-9yÛ`

;3!;

3-1 ⑴ 4a ⑵ 4 ⑶ x ⑷ 2

3-2 ⑴ (2a-1)Û` =(2a)Û`-2_2a_1+1Û`

=4aÛ`-4a+1

=aÛ`-

2

=aÛ`-

;4!;

{;2!;}

a+

` ⑵

{

;2!;}

⑶ (x-2)(x-5)

;2!;}{

a-

=xÛ`-7x+10

⑷ (2x+5)(x+3)

=xÛ`+(-2-5)x+(-2)_(-5)

=(2_1)xÛ`+(2_3+5_1)x+5_3

=2xÛ`+11x+15

본문 | 009쪽

⑷ A-2B =(xÜ`-3xÛ`+1)-2(2xÜ`+xÛ`-x+4)

⑶ A+2B =(xÜ`-3xÛ`+1)+2(2xÜ`+xÛ`-x+4)

=xÜ`-3xÛ`+1+4xÜ`+2xÛ`-2x+8

=(1+4)xÜ`+(-3+2)xÛ`-2x+(1+8)

=5xÜ`-xÛ`-2x+9

=xÜ`-3xÛ`+1-4xÜ`-2xÛ`+2x-8

=(1-4)xÜ`+(-3-2)xÛ`+2x+(1-8)

=-3xÜ`-5xÛ`+2x-7

3-1 x

3-2 ⑴ (xÛ`+4x-1)(x-2)

=xÛ`(x-2)+4x(x-2)-(x-2)`

=xÜ`-2xÛ`+4xÛ`-8x-x+2

=xÜ`+2xÛ`-9x+2

⑵ (3x+2y)(xÛ`-xy+5yÛ`)

=3x(xÛ`-xy+5yÛ`)+2y(xÛ`-xy+5yÛ`)

=3xÜ`-3xÛ`y+15xyÛ`+2xÛ`y-2xyÛ`+10yÜ`

=3xÜ`-xÛ`y+13xyÛ`+10yÜ`

4-1 ⑴ 4, 6 ⑵ 6, 12 ⑶ 2x, 8xÜ`

4-2 ⑴ (x-2y-z)Û`

=xÛ`+(-2y)Û`+(-z)Û`+2x(-2y)+2(-2y)(-z)

+2(-z)x

=xÛ`+4yÛ`+zÛ`-4xy+4yz-2zx

⑵ (x-2)Ü`

=xÜ`-3xÛ`_2+3x_2Û`-2Ü`

=xÜ`-6xÛ`+12x-8

⑶ (2x+1)(4xÛ`-2x+1)=(2x)Ü`+1Ü`=8xÜ`+1

본문 | 010~015쪽

1-1 3xÛ`, 2

1-2 ⑴ 내림차순으로 정리하면 3xÜ`+2xÛ`+x-4

오름차순으로 정리하면 -4+x+2xÛ`+3xÜ`

⑵ 내림차순으로 정리하면 xÛ`-xyÛ`+y+3

오름차순으로 정리하면 y+3-xyÛ`+xÛ`

5-1 ⑴ 2, 6 ⑵ 4, 8 ⑶ 6, 14

5-2 ⑴ xÛ`+yÛ` =(x-y)Û`+2xy

=(-3)Û`+2_4=17

⑵ (x+y)Û` =(x-y)Û`+4xy

=(-3)Û`+4_4=25

⑶ xÜ`-yÜ` =(x-y)Ü`+3xy(x-y)

=(-3)Ü`+3_4_(-3)=-63

2-1 -3, 4

2-2 ⑴ A+B =(xÜ`-3xÛ`+1)+(2xÜ`+xÛ`-x+4)

⑵ A-B =(xÜ`-3xÛ`+1)-(2xÜ`+xÛ`-x+4)

=xÜ`-3xÛ`+1+2xÜ`+xÛ`-x+4

=(1+2)xÜ`+(-3+1)xÛ`-x+(1+4)

=3xÜ`-2xÛ`-x+5

=xÜ`-3xÛ`+1-2xÜ`-xÛ`+x-4

=(1-2)xÜ`+(-3-1)xÛ`+x+(1-4)

=-xÜ`-4xÛ`+x-3

02 ⦁ 정답과 해설

6-1 ⑴ 3, 7 ⑵ 3, 5 ⑶ 9, 18

6-2 ⑴ aÛ`+

=

a-

{

;a!;}

2

2

+2=2Û`+2=6

⑵

{

a+

;a!;}

=

a-

{

;a!;}

+4=2Û`+4=8

2

3

1

aÛ`

1

aÜ`

⑶ aÜ`-

=

a-

{

;a!;}

+3

a-

{

;a!;}

=2Ü`+3_2=14

7-1 -3, 2x, -4x

7-2 ⑴

x-1

2xÛ`-3x+5

2x-1 <Ò 2xÛ`-x 2xÛ`-2x+5 2xÛ`-2x+1 2xÛ`-2x+4 ∴ 몫 : x-1, 나머지 : 4 ⑵ xÛ`+x+1 <Ò 3x-4 3xÜ`-3xÛ`+5x+3 3xÜ`+3xÛ`+3x 2xÛ`-4xÛ`+2x+3 2xÛ`-4xÛ`-4x-4 2xÛ`-4xÛ`-6x+7 ∴ 몫 : 3x-4, 나머지 : 6x+7 ⑶ 2x-1 xÛ`-2x+2 <Ò 2xÜ`-5xÛ`+4x+3 2xÜ`-4xÛ`+4x 2xÛ`-4xÛ`-4x+3 2xÛ`-4xÛ`+2x-2 2xÛ`-xÛ` -6x+5 ∴ 몫 : 2x-1, 나머지 : -6x+5 8-1 3x, 5xÛ` 8-2 ⑴ A =(xÛ`-x+2)(x-1)-x+3 =xÛ`(x-1)-x(x-1)+2(x-1)-x+3 =xÜ`-xÛ`-xÛ`+x+2x-2-x+3 ⑵ A =(x-1)(xÛ`+x+1)+3 =xÜ`-2xÛ`+2x+1 =(xÜ`-1)+3 =xÜ`+2 9-1 -2, 2 9-2 ⑴ 2 2 3 -1 2 4 7 14 13 1 26 27 ∴ 몫 : 2xÛ`+7x+13, 나머지 : 27 ⑵ -1 3 -1 -5 2 -3 4 1 3 -4 -1 3 ∴ 몫 : 3xÛ`-4x-1, 나머지 : 3 10-1 1, xÛ`, 0 10-2 ⑴ 2 2 -1 0 -10 2 4 6 3 6 12 2 ∴ 몫 : 2xÛ`+3x+6, 나머지 : 2 ⑵ -1 1 0 -1 3 -1 1 -1 1 0 0 3 ∴ 몫 : xÛ`-x, 나머지 : 3 11-1 - , x, 2 ;2!; 11-2 ⑴ - 2 1 -5 -4 ;2#; -3 3 3 2 -2 -2 -1 2xÜ`+xÛ`-5x-4 = x+ (2xÛ`-2x-2)-1 { ;2#;} =2 x+ (xÛ`-x-1)-1 { ;2#;} =(2x+3)(xÛ`-x-1)-1 ∴ 몫 : xÛ`-x-1, 나머지 : -1 ⑵ 3 5 1 2 ;3!; 3 1 2 1 6 3 3 3xÜ`+5xÛ`+x+2 = x- (3xÛ`+6x+3)+3 { ;3!;} =3 x- (xÛ`+2x+1)+3 { ;3!;} =(3x-1)(xÛ`+2x+1)+3 ∴ 몫 : xÛ`+2x+1, 나머지 : 3 ⑶ - 3 4 -6 ;3!; 4 3 -1 -1 -1 3 3 -7 3xÜ`+4xÛ`+4x-6 = x+ (3xÛ`+3x+3)-7 { ;3!;} =3 x+ (xÛ`+x+1)-7 { ;3!;} =(3x+1)(xÛ`+x+1)-7 ∴ 몫 : xÛ`+x+1, 나머지 : -7 ⑷ 3 1 -8 0 ;3@; 3 2 2 -4 3 -6 -4 3xÜ`+xÛ`-8x = x- (3xÛ`+3x-6)-4 { ;3@;} =3 x- (xÛ`+x-2)-4 { ;3@;} =(3x-2)(xÛ`+x-2)-4 ∴ 몫 : xÛ`+x-2, 나머지 : -4 01. 다항식의 연산 ⦁ 03 집중 연습 본문 | 016, 017쪽 기초 문제 가평 본문 | 020, 021쪽 1 ⑴ (2x+3)Û`=4xÛ`+12x+9 ⑵ { x+ y ;2!; } 2 =xÛ`+xy+ yÛ` ;4!; ⑶ (3x-5)Û`=9xÛ`-30x+25 ⑷ (2x-3y)Û`=4xÛ`-12xy+9yÛ` ⑸ (x+2y)(x-2y)=xÛ`-4yÛ` ⑹ { 3x+ y 2 }{ y 2 } 3x- =9xÛ`- yÛ` 4 ⑺ (x+4)(x+8)=xÛ`+12x+32 ⑻ (x+2)(x-6)=xÛ`-4x-12 ⑼ (2x+1)(3x-7)=6xÛ`-11x-7 ⑽ (x+y)(x-4y)=xÛ`-3xy-4yÛ` ⑾ (x-2y)(x-5y)=xÛ`-7xy+10yÛ` ⑿ (3x-2y)(4x+y)=12xÛ`-5xy-2yÛ` 2 ⑴ (a+2b+3c)Û`=aÛ`+4bÛ`+9cÛ`+4ab+12bc+6ca ⑵ (2a+b-3c)Û`=4aÛ`+bÛ`+9cÛ`+4ab-6bc-12ca ⑶ (3x-y+2z)Û`=9xÛ`+yÛ`+4zÛ`-6xy-4yz+12zx ⑷ (4x-3y-z)Û`=16xÛ`+9yÛ`+zÛ`-24xy+6yz-8zx ⑸ (2a+3)Ü`=8aÜ`+36aÛ`+54a+27 ⑹ (3a+2b)Ü`=27aÜ`+54aÛ`b+36abÛ`+8bÜ` ⑺ (3x-2)Ü`=27xÜ`-54xÛ`+36x-8 ⑻ (x-2y)Ü`=xÜ`-6xÛ`y+12xyÛ`-8yÜ` ⑼ (2x+1)(4xÛ`-2x+1)=8xÜ`+1 ⑽ (3x+y)(9xÛ`-3xy+yÛ`)=27xÜ`+yÜ` ⑾ (3x-2)(9xÛ`+6x+4)=27xÜ`-8 ⑿ (a-2b)(aÛ`+2ab+4bÛ`)=aÜ`-8bÜ` 기초 개념 가평 본문 | 018, 019쪽 01 교환 03 2ca 05 ab, - 07 3, - 09 R=0 11 계수 04 ⦁ 정답과 해설 02 결합 04 3abÛ`, - 06 2, 2 08 작다 10 일차식 12 Q(x), R ;a!; 1 ⑴ 2xÛ`-(5y+2)x+3yÛ`+y-4 ⑵ 3yÛ`-(5x-1)y+2xÛ`-2x-4 2 ⑴ 3A+2(A-B) =3A+2A-2B ⑵ 2B-3(-A+2B) =2B+3A-6B =5A-2B =5(3xÛ`-2x-1)-2(2xÛ`+x-5) =15xÛ`-10x-5-4xÛ`-2x+10 =11xÛ`-12x+5 =3A-4B =3(3xÛ`-2x-1)-4(2xÛ`+x-5) =9xÛ`-6x-3-8xÛ`-4x+20 =xÛ`-10x+17 3 ⑴ X =-A+B =-(xÛ`+2xy-3yÛ`)+(2xÛ`-xy+yÛ`) =-xÛ`-2xy+3yÛ`+2xÛ`-xy+yÛ` =xÛ`-3xy+4yÛ` ⑵ X =3A+2B =3(xÛ`+2xy-3yÛ`)+2(2xÛ`-xy+yÛ`) =3xÛ`+6xy-9yÛ`+4xÛ`-2xy+2yÛ` =7xÛ`+4xy-7yÛ` 4 ⑴ 주어진 식에서 xÛ` 항이 나오는 항들만 전개하면 x_3x+(-2)_xÛ`=3xÛ`-2xÛ`=xÛ` 따라서 xÛ`의 계수는 1이다. ⑵ 주어진 식에서 xÛ` 항이 나오는 항들만 전개하면 2xÛ`_4+(-x)_(-x)+1_xÛ`=8xÛ`+xÛ`+xÛ`=10xÛ` 따라서 xÛ`의 계수는 10이다. ⑶ 주어진 식에서 xÛ` 항이 나오는 항들만 전개하면 -3xÛ`_(-1)+8_2xÛ`=3xÛ`+16xÛ`=19xÛ` 따라서 xÛ`의 계수는 19이다. 5 ⑴ { a+ 3 ;a!;} =aÜ`+3aÛ`_ +3a_ 2 {;a!;} + 1 aÜ` =aÜ`+3a+ + ;a!; ;a#; 1 aÜ` 3a- ⑵ { 3 =(3a)Ü`-3(3a)Û`_ ;3!;} ;3!; +3(3a)_ 2 - 3 {;3!;} {;3!;} =27aÜ`-9aÛ`+a- ⑶ (x-y)(x+y)(xÛ`+yÛ`) =(xÛ`-yÛ`)(xÛ`+yÛ`) =xÝ`-yÝ` ;2Á7; ⑷ (x+1)(xÛ`-x+1)(x-1)(xÛ`+x+1) =(xÜ`+1)(xÜ`-1) =xß`-1 6 ⑴ a+b= ab=( 2+1+ ' 2+1)( 2-1=2 2, ' 2-1)=2-1=1이므로 ' ' ' aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b) ` 2)Ü`-3_1_2 2=16 2-6 2 ' ' ' ⑵ a-b= 2-1)=2, ab=1이므로 =(2 ' =10 2 ' 2+1-( ' ' aÜ`-bÜ` =(a-b)Ü`+3ab(a-b) ` =2Ü`+3_1_2=8+6 =14 7 xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy에서 x+y=3, xÛ`+yÛ`=7이므로 7=3Û`-2xy, 2xy=2 ∴ xy=1 ∴ A=xÛ`+x-1 ⑵ 2xÜ`-7xÛ`-13x+3=A(2x+3) 10 ⑴ xÜ`-xÛ`-x+5=A(x-2)+2x+3이므로 xÜ`-xÛ`-3x+2=A(x-2) xÛ`+2 x- 1 x-2 <Ò xÜ`-2xÛ`-3x+2 xÜ`-2xÛ` 2 -2xÛ`-3x+2 2 -2xÛ`-2x 2 -2xÛ`-2x+2 2 -x2Û`-2x+2 2 -3xÛ`-3x 0 2x+3 <Ò xÛ`- 5x+ 1 2xÜ`-7xÛ`-13x+3 2xÜ`+3xÛ` 2`-10xÛ`-13x+3 2`-10xÛ`-15x 2`-10xÛ`-12x+3 2`-10xÛ`-12x+3 2`-10xÛ`-12x+0 ∴ A=xÛ`-5x+1 11 ⑴ 2 1 -2 1 -1 1 2 0 0 1 2 1 ∴ 몫 : xÛ`+1, 나머지 : 1 ⑵ -2 1 0 -1 3 -2 4 -6 1 -2 3 -3 ∴ 몫 : xÛ`-2x+3, 나머지 : -3 ⑶ - -9 3 9 -2 ;3@; 6 -6 -2 -9 9 3 -4 -9xÜ`+3xÛ`+9x-2 = x+ (-9xÛ`+9x+3)-4 { ;3@;} =(3x+2)(-3xÛ`+3x+1)-4 ∴ 몫 : -3xÛ`+3x+1, 나머지 : -4 01. 다항식의 연산 ⦁ 05 ∴ xÜ`+yÜ` =(x+y)Ü`-3xy(x+y) =3Ü`-3_1_3=18 8 ⑴ xÛ`-3x+3 xÜ`-2xÛ`-3x+3 x+1 <Ò xÜ`+2xÛ` 2 -3xÛ`-3x+3 2 -3xÛ`-3x 2 -3xÛ`-3x+3 2 -3xÛ`-3x+3 2 -3xÛ`-3x+0 ∴ 몫 : xÛ`-3x+3, 나머지 : 0 ⑵ 3x xÛ`-2 <Ò 3xÜ`+xÛ`+2x-1 3xÜ`+xÛ`-6x 3xÜ`+xÛ`-8x-1 ⑶ ∴ 몫 : 3x, 나머지 : 8x-1 x-2 2xÛ`+1 <Ò 2xÜ`-4xÛ`-2x+8 2xÜ`-4xÛ`+2x 2xÜ`-4xÛ`-3x+8 2xÜ`-4xÛ`-3x-2 2xÜ`-4xÛ`-3x+10 ∴ 몫 : x-2, 나머지 : -3x+10 9 A =(x-3)(2x+1)+2 =(2xÛ`-5x-3)+2 =2xÛ`-5x-1 x-1 2x-3 2xÛ`-5x-1 <Ò 2xÛ`-2x 2xÛ`-3x-1 2xÛ`-3x+3 2xÛ`-3x-4 따라서 구하는 나머지는 -4이다. 02 항등식과 나머지정리 ⑵ 주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면 -b=-2 ∴ b=2 x=1을 대입하면 2a=2 ∴ a=1 본문 | 022~025쪽 x=-1을 대입하면 2c=0 ∴ c=0 1-1 3, 항등식 1-2 ⑴ 주어진 식의 우변을 전개하여 정리하면 2(x+2)-1=2x+3 문자 x에 어떤 값을 대입해도 항상 성립한다. 5-1 3, 1 5-2 ⑴ 나머지정리에 의하여 P(-1)=1 이때 P(-1)=-1+a-2-3=a-6이므로 따라서 2x+3=2(x+2)-1은 x에 대한 항등식이다. a-6=1 ∴ a=7 (○) ⑵ 나머지정리에 의하여 P(2)=-4 ⑵ 3x-4=5x에서 -2x=4이므로 x=-2일 때만 성립 이때 P(2)=16-4a-2+2=-4a+16이므로 -4a+16=-4 ∴ a=5 한다. 따라서 3(x-1)-1=5x는 x에 대한 항등식이 아니다. (_) 6-1 -2, 1, -2x+1 6-2 P(x)를 xÛ`-x-6으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머 지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 P(x) =(xÛ`-x-6)Q(x)+ax+b =(x-3)(x+2)Q(x)+ax+b 이때 나머지정리에 의하여 P(3)=4, P(-2)=-1 P(3)=4에서 3a+b=4 P(-2)=-1에서 -2a+b=-1 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 yy㉠ yy㉡ a=1, b=1 x+1이다. 따라서 P(x)를 xÛ`-x-6으로 나누었을 때의 나머지는 참고 다항식을 이차식으로 나누었을 때의 나머지는 일차 식이거나 상수이므로 ax+b (a, b는 상수) 꼴로 나 7-1 0, -12, x-2 7-2 P(1)=1-2-5+6=0 P(-1)=-1-2+5+6=8 P(2)=8-8-10+6=-4 P(-2)=-8-8+10+6=0 P(3)=27-18-15+6=0 P(-3)=-27-18+15+6=-24 따라서 인수인 것은 x-1, x+2, x-3이다. 8-1 0, -2 8-2 ⑴ 인수정리에 의하여 P(1)=0 이때 P(1)=a-2+1-1=a-2이므로 a-2=0 ∴ a=2 ⑵ 인수정리에 의하여 P(-2)=0 이때 P(-2)=-24+4a+4-8=4a-28이므로 4a-28=0 ∴ a=7 2-1 ⑴ 2, 1 ⑵ 4, 3, -2 2-2 ⑴ a=-1, -3=b-5 ∴ a=-1, b=2 ⑵ a+2=0, b=0, c=0 ∴ a=-2, b=0, c=0 ⑶ a-1=2, b+3=0, c-2=1 ∴ a=3, b=-3, c=3 3-1 8, 3 3-2 ⑴ 주어진 등식의 좌변을 전개한 다음 x에 대한 내림차순으 로 정리하면 2xÛ`+3x+2ax+3a=bxÛ`+x+c 양변의 계수를 비교하면 2=b, 3+2a=1, 3a=c ∴ a=-1, b=2, c=-3 ⑵ 주어진 등식의 좌변을 전개한 다음 x에 대한 내림차순으 로 정리하면 a(xÛ`+2x+1)+bx-b+c=xÛ`-x+2 즉, axÛ`+(2a+b)x+a-b+c=xÛ`-x+2가 항등식 이므로 양변의 계수를 비교하면 a=1, 2a+b=-1, a-b+c=2 ∴ a=1, b=-3, c=-2 4-1 3, 9a 4-2 ⑴ 주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면 a+b-1=1 ∴ a+b=2 x=-2를 대입하면 a-b-1=3 ∴ a-b=4 ㉠ , ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-1 yy㉠ yy㉡ 06 ⦁ 정답과 해설 즉 , 2xÛ`+(3+2a)x+3a=bxÛ`+x+c가 항등식이므로 타낼 수 있다. 기초 개념 가평 본문 | 026, 027쪽 3+a-4=b-c ∴ -5=b-c yy㉢ x=1을 대입하면 01 항등식 03 a=0 05 b=0 07 계수비교법 09 1, 0 11 P(a) 13 0,``x-a 02 방정식 04 b=b' 06 a=a' 08 수치대입법 10 1, -2 12 P - { ;aB;} 14 a ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-4, b=3, c=8 다른 풀이 주어진 등식의 우변을 전개한 다음 x에 대한 내 림차순으로 정리하면 3xÛ`+ax-4=bxÛ`-4bx+4b+cx-2c 즉, 3xÛ`+ax-4=bxÛ`+(-4b+c)x+4b-2c가 항등식 이므로 양변의 계수를 비교하면 3=b, a=-4b+c, -4=4b-2c ∴ a=-4, b=3, c=8 3 주어진 등식이 x, y에 대한 항등식이므로 a+2b=2, 2a+b=1 본문 | 028, 029쪽 두 식을 연립하여 풀면 a=0, b=1 4 등식의 좌변을 k에 대하여 정리하면 (x-1)k+xy+y-4=0 이 등식이 k에 대한 항등식이므로 x-1=0, xy+y-4=0 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=2 기초 문제 가평 1 ⑴ 주어진 식의 우변을 전개하여 정리하면 (x+1)Û`-(5x+1)=xÛ`-3x이므로 문자 x에 어떤 값을 대입해도 항상 성립한다. 따라서 xÛ`-3x=(x+1)Û`-(5x+1)은 x에 대한 항등식 (○) ⑵ 주어진 식의 좌변을 전개하면 xÜ`-1=xÜ`-x에서 x=1일 따라서 (x-1)(xÛ`+x+1)=xÜ`-x는 x에 대한 항등식 이다. 때만 성립한다. 이 아니다. 2 ⑴ a-2=0, b+1=0, c=0 ∴ a=2, b=-1, c=0 ⑵ 주어진 등식의 우변을 전개한 다음 x에 대한 내림차순으 (_) 5 ⑴ 다항식 2xÜ`+ax+b를 x-1로 나누었을 때의 몫이 2xÛ`+2x+1이고 나머지가 5이므로 2xÜ`+ax+b=(x-1)(2xÛ`+2x+1)+5 우변을 전개하여 정리하면 2xÜ`+ax+b=2xÜ`-x+4 로 정리하면 이 등식은 x에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면 xÜ`+axÛ`+bx+3=xÜ`+2xÛ`+c가 항등식이므로 a=-1, b=4 양변의 계수를 비교하면 a=2, b=0, c=3 ⑶ 주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면 2a=-4 ∴ a=-2 x=-1을 대입하면 -c=-5 ∴ c=5 x=-2를 대입하면 2b=-6 ∴ b=-3 ⑵ 두 다항식 xÜ`+axÛ`+b, xÛ`-x+1의 최고차항의 계수가 모두 1이므로 xÜ`+axÛ`+b를 xÛ`-x+1로 나누었을 때의 몫을 x+c (c는 상수)로 놓는다. 이때 나머지가 x+1이므로 xÜ`+axÛ`+b =(xÛ`-x+1)(x+c)+x+1 =xÜ`+(c-1)xÛ`+(-c+2)x+c+1 다른 풀이 주어진 등식의 좌변을 전개한 다음 x에 대한 내 이 등식은 x에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면 림차순으로 정리하면 a(xÛ`+3x+2)+bxÛ`+bx+cxÛ`+2cx=x-4 a=c-1, 0=-c+2, b=c+1 c=2이므로 a=1, b=3 즉, (a+b+c)xÛ`+(3a+b+2c)x+2a=x-4가 항등 ⑶ 두 다항식 3xÜ`+ax+b, 3xÛ`-6x+2의 최고차항의 계수 식이므로 양변의 계수를 비교하면 a+b+c=0, 3a+b+2c=1, 2a=-4 ∴ a=-2, b=-3, c=5 ⑷ 주어진 등식의 양변에 x=2를 대입하면 가 모두 3이므로 3xÜ`+ax+b를 3xÛ`-6x+2로 나누었을 때의 몫을 x+c (c는 상수)로 놓는다. 이때 나머지가 0이므로 3xÜ`+ax+b =(3xÛ`-6x+2)(x+c) =3xÜ`+(3c-6)xÛ`+(-6c+2)x+2c 12+2a-4=0, 2a=-8 ∴ a=-4 yy㉠ 이 등식은 x에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면 x=3을 대입하면 27+3a-4=b+c ∴ 11=b+c yy㉡ 0=3c-6, a=-6c+2, b=2c c=2이므로 a=-10, b=4 02. 항등식과 나머지정리 ⦁ 07 6 ⑴ 나머지정리에 의하여 P(1)=-1, P(2)=-2 P(1)=-1에서 8 P(x)=3xÜ`-xÛ`+ax-2에서 나머지정리에 의하여 P(-1)=-10이므로 1+a+b=-1 ∴ a+b=-2 yy㉠ -3-1-a-2=-10 ∴ a=4 P(2)=-2에서 따라서 P(x)=3xÜ`-xÛ`+4x-2를 3x-1로 나누었을 때의 4+2a+b=-2 ∴ 2a+b=-6 yy㉡ 나머지는 나머지정리에 의하여 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=2 ⑵ 나머지정리, 인수정리에 의하여 P(-1)=0, P(1)=4 P {;3!;} = - ;9!; ;9!; + ;3$; -2=- ;3@; 9 P(x)=2xÜ`+ax-4에서 인수정리에 의하여 P(1)=0이므로 2+a-4=0 ∴ a=2 따라서 P(x)=2xÜ`+2x-4를 x+2로 나누었을 때의 나머 지는 나머지정리에 의하여 P(-2)=-16-4-4=-24 10 P(x)=axÜ`-2xÛ`+x+10에서 인수정리에 의하여 P(-2)=0이므로 -8a-8-2+10=0 ∴ a=0 따라서 P(x)=-2xÛ`+x+10을 x-1로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의하여 P(1)=-2+1+10=9 11 P(x)를 xÛ`-2x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머 지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 P(x) =(xÛ`-2x-3)Q(x)+ax+b =(x-3)(x+1)Q(x)+ax+b 이때 나머지정리, 인수정리에 의하여 P(-1)=-2, P(3)=0 P(-1)=-2에서 -a+b=-2 P(3)=0에서 3a+b=0 yy㉠ yy㉡ ㉠ , ㉡을 연립하여 풀면 a= , b=- ;2!; ;2#; 따라서 P(x)를 xÛ`-2x-3으로 나누었을 때의 나머지는 -1+a-b-1=0 ∴ a-b=2 yy㉠ 1+a+b-1=4 ∴ a+b=4 yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=1 ⑶ 인수정리에 의하여 P(2)=0, P(-1)=0 P(-1)=0에서 P(1)=4에서 P(2)=0에서 P(-1)=0에서 8+4a-4+b=0 ∴ 4a+b=-4 yy㉠ -1+a+2+b=0 ∴ a+b=-1 yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=0 ⑷ 몫을 Q(x)라 하면 xÜ`+axÛ`+bx-4 =(xÛ`+x-2)Q(x) =(x+2)(x-1)Q(x) 이 식의 양변에 x=-2를 대입하면 -8+4a-2b-4=0 ∴ 2a-b=6 yy㉠ 이 식의 양변에 x=1을 대입하면 1+a+b-4=0 ∴ a+b=3 yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=0 다른 풀이 두 다항식 xÜ`+axÛ`+bx-4, xÛ`+x-2의 최고차 항의 계수가 모두 1이므로 xÜ`+axÛ`+bx-4를 xÛ`+x-2로 나누었을 때의 몫을 x+c (c는 상수)로 놓는다. 이때 나머지가 0이므로 xÜ`+axÛ`+bx-4 =(xÛ`+x-2)(x+c) a=c+1, b=c-2, -4=-2c c=2이므로 a=3, b=0 참고 P(a)=0임을 나타내는 표현 •P(x)를 x-a로 나누었을 때의 나머지가 0이다. •P(x)는 x-a로 나누어떨어진다. •P(x)는 x-a를 인수로 가진다. •P(x)=(x-a)Q(x) 7 P(x)=axÛ`+4x-2에서 나머지정리에 의하여 P(1)=4이므로 a+4-2=4 ∴ a=2 따라서 P(x)=2xÛ`+4x-2를 x-2로 나누었을 때의 나머 지는 나머지정리에 의하여 P(2)=8+8-2=14 08 ⦁ 정답과 해설 이 등식은 x에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면 =xÜ`+(c+1)xÛ`+(c-2)x-2c x- 이다. ;2#; ;2!; 03 인수분해 기초 개념 피드백 TEST & ⑵ aÛ`+4bÛ`+4ab-2a-4b+1 =aÛ`+(2b)Û`+(-1)Û`+2_a_2b +2_2b_(-1)+2_(-1)_a 본문 | 031쪽 ⑵ =(a+2b-1)Û` 1-1 ⑴ xy 1-2 ⑴ 3xÛ`+6x =3x_x+3x_2 ⑵ 3b ⑶ x+y =3x(x+2) ⑵ 2xÛ`y-6xy+2x =2x_xy-2x_3y+2x_1 =2x(xy-3y+1) ⑶ (x+y)Û`+2(x+y) =(x+y)_(x+y)+(x+y)_2 =(x+y)(x+y+2) 2-1 ⑴ 2a, 1 ⑵ x, ;2!; ⑶ 3y, - 2-2 ⑴ xÛ`+8xy+16yÛ` =xÛ`+2_x_4y+(4y)Û` ⑵ 4xÛ`-20x+25 =(2x)Û`-2_2x_5+5Û` =(x+4y)Û` =(2x-5)Û` ⑶ 16xÛ`-yÛ`=(4x)Û`-yÛ` =(4x+y)(4x-y) ▲ ⑵ 2x, -2x 3-1 ⑴ x, 6x 3-2 ⑴ xÛ`-10x+21=(x-3)(x-7) x -3 → -3x 111 x -7 → -7x 1 1 + >²

-10x

1 1 Ú

Ú

1

`

⑵ xÛ`+xy-56yÛ`=(x-7y)(x+8y)

⑶ 4xÛ`+7x-2=(4x-1)(x+2)

▲

▲

▲

x -7y → -7xy

111

x 8y → 8xy

11

+

>²

1 1 Ú

Ú

1

xy

4x -1 → -x

111

11

1 1 Ú

Ú

1

x 2 → 8x

+

>²

7x

4x 9y → 9xy

1111

1 1

x y → 4xy

+

>²

1 1 Ú

13xy

Ú

⑷ 4xÛ`+13xy+9yÛ`=(4x+9y)(x+y)

2-1 aÛ`, 1

2-2 ⑴ 8aÜ`+36aÛ`b+54abÛ`+27bÜ`

=(2a+3b)Ü`

⑵ aÜ`-9aÛ`+27a-27

=(2a)Ü`+3_(2a)Û`_3b+3_2a_(3b)Û`+(3b)Ü`

=aÜ`-3_aÛ`_3+3_a_3Û`-3Ü`

=(a-3)Ü`

3-1 ⑴ 1, aÛ` ⑵ 2, 2

3-2 ⑴ aÜ`+64bÜ`=aÜ`+(4b)Ü`=(a+4b)(aÛ`-4ab+16bÛ`)

⑵ 8aÜ`-27bÜ` =(2a)Ü`-(3b)Ü`

=(2a-3b)(4aÛ`+6ab+9bÛ`)

4-1 6, 2, 2

4-2 ⑴ x+y=X로 치환하면

XÛ`-X-2 =(X-2)(X+1)

=(x+y-2)(x+y+1)

X=x+y 대입

⑵ xÛ`+x=X로 치환하면

(X-1)(X+3)-5 =XÛ`+2X-8

=(X-2)(X+4)

X=xÛ`+x 대입

=(xÛ`+x-2)(xÛ`+x+4)

=(x-1)(x+2)(xÛ`+x+4)

⑶ xÛ`+3x=X로 치환하면

XÛ`-3X-4 =(X-4)(X+1)

=(xÛ`+3x-4)(xÛ`+3x+1)

=(x-1)(x+4)(xÛ`+3x+1)

X=xÛ`+3x

대입

5-1 ⑴ 4X, 5, 1 ⑵ xÛ`, xÛ`, x, x

5-2 ⑴ xÛ`=X로 치환하면

XÛ`-2X-3 =(X-3)(X+1)

=(xÛ`-3)(xÛ`+1)

X=xÛ` 대입

⑵ xÛ`=X로 치환하면

2XÛ`+5X+2 =(2X+1)(X+2)

X=xÛ` 대입

=(2xÛ`+1)(xÛ`+2)

⑶ xÝ`+xÛ`+1 =(xÝ`+2xÛ`+1)-xÛ`

1-1 -1, x

1-2 ⑴ xÛ`+yÛ`+4zÛ`+2xy+4yz+4zx

=xÛ`+yÛ`+(2z)Û`+2_x_y+2_y_2z+2_2z_x

=(x+y+2z)Û`

본문 | 032~035쪽

⑷ xÝ`+4 =xÝ`+4xÛ`+4-4xÛ`

=(xÛ`+1)Û`-xÛ`

=(xÛ`+1+x)(xÛ`+1-x)

=(xÛ`+x+1)(xÛ`-x+1)

=(xÛ`+2)Û`-(2x)Û`

=(xÛ`+2+2x)(xÛ`+2-2x)

=(xÛ`+2x+2)(xÛ`-2x+2)

03. 인수분해 ⦁ 09

6-1 a, 2, 1, 2a

6-2 ⑴ 차수가 낮은 문자 c에 대하여 내림차순으로 정리하면

aÛ`+ac-bÛ`+bc

9-1 x+1, 2x, x+1, 2x

9-2 ⑴ P(x)=xÝ`+2xÜ`-2xÛ`-2x+1로 놓으면

P(1)=0, P(-1)=0이므로 x-1, x+1은 P(x)의

=(a-c)bÛ`-(a-c)(a+c)b+ca(a-c)

몫을 구하면 xÜ`+2xÛ`+x+2이고 다시 이 몫을 x+2로

조립제법을 이용하여 P(x)를 x-1로 나누었을 때의

=(a-c){bÛ`-(a+c)b+ca}

=(a-c)(b-c)(b-a)

=(a-b)(b-c)(c-a)

나누었을 때의 몫을 구하면 xÛ`+1이므로

xÝ`+xÜ`-xÛ`+x-2 =(x-1)(xÜ`+2xÛ`+x+2)

=(x-1)(x+2)(xÛ`+1)

인수이다.

-1 1

2 -2 -2

3

1 -1

1

3

-1 1

1 -1

-1 -2

1

2 -1

1

0

1

0

조립제법을 이용하여 P(x)를 x-1로 나누었을 때의

몫을 구하면 xÜ`+3xÛ`+x-1이고 다시 이 몫을 x+1로

나누었을 때의 몫을 구하면 xÛ`+2x-1이므로

xÝ`+2xÜ`-2xÛ`-2x+1 =(x-1)(xÜ`+3xÛ`+x-1)

=(x-1)(x+1)(xÛ`+2x-1)

⑵ P(x)=xÝ`+xÜ`-xÛ`+x-2로 놓으면

P(1)=0, P(-2)=0이므로 x-1, x+2는 P(x)의

인수이다.

-1 1

1 -1

1 -2

1

2

2

1

1

2

2

0

-2 1

-2

0 -2

1

0

1

0

집중 연습

본문 | 036, 037쪽

1 ⑴ 9xÛ`+30x+25=(3x+5)Û`

⑵ xÛ`-xy+

yÛ`=

x-

;4!;

{

2

y

}

;2!;

⑵ 차수가 낮은 문자 y에 대하여 내림차순으로 정리하면

xÛ`y+xy+x-2y+2

=ac+bc+aÛ`-bÛ`

=(a+b)c+(a+b)(a-b)`

=(a+b)(c+a-b)

=(a+b)(a-b+c)

=xÛ`y+xy-2y+x+2

=(xÛ`+x-2)y+x+2

=(x+2)(x-1)y+x+2

=(x+2)(xy-y+1)

7-1 2, 2, 2, 2

7-2 ⑴ 2xÛ`+(4y-1)x+2yÛ`-y-1

=2xÛ`+(4y-1)x+(2y+1)(y-1)

2x 2y+1 → (2y+1)x

▲

x y-1 → 2(y-1)x +

1 1 1 1 1 1 1 Ú

1111111Ú

>²

(4y-1)x

=(2x+2y+1)(x+y-1)

⑵ ab(b-a)+bc(c-b)+ca(a-c)

=abÛ`-aÛ`b+bcÛ`-bÛ`c+caÛ`-cÛ`a

=(a-c)bÛ`-(aÛ`-cÛ`)b+ca(a-c)

8-1 x-1, 3x, 3x

8-2 ⑴ P(x)=xÜ`-4xÛ`+5x-2로 놓으면

P(1)=1-4+5-2=0이므로 x-1은 P(x)의 인수

조립제법을 이용하여 P(x)

1 1 -4

5 -2

를 x-1로 나누었을 때의

1 -3

몫을 구하면 xÛ`-3x+2이

1 -3

2

2

0

이다.

므로

인수이다.

10 ⦁ 정답과 해설

xÜ`-4xÛ`+5x-2 =(x-1)(xÛ`-3x+2)

⑶ 4xÛ`-yÛ`=(2x)Û`-yÛ`=(2x+y)(2x-y)

=(x-1)Û`(x-2)

⑷ xÛ`-25yÛ`=xÛ`-(5y)Û`=(x+5y)(x-5y)

⑵ P(x)=2xÜ`+3xÛ`-9x-10으로 놓으면

⑸ xÛ`+4x-12=(x+6)(x-2)

P(-1)=-2+3+9-10=0이므로 x+1은 P(x)의

⑹ xÛ`-3xy-10yÛ`=(x-5y)(x+2y)

조립제법을 이용하여

-1 2

3 -9 -10

⑻ 12xÛ`+5xy-2yÛ`=(4x-y)(3x+2y)

⑺ 6xÛ`+17x+7=(2x+1)(3x+7)

P(x)를 x+1로 나누

-2 -1

었을 때의 몫을 구하면

2

1 -10

10

0

2xÛ`+x-10이므로

2xÜ`+3xÛ`-9x-10 =(x+1)(2xÛ`+x-10)

2 ⑴ 4aÛ`+bÛ`+9cÛ`+4ab+6bc+12ca

=(2a+b+3c)Û`

⑵ 4xÛ`+9yÛ`+zÛ`-12xy-6yz+4zx

=(x+1)(2x+5)(x-2)

=(2x-3y+z)Û`

⑶ xÜ`+9xÛ`+27x+27

⑻ xÛ`+x=X로 치환하면

=xÜ`+3_xÛ`_3+3_x_3Û`+3Ü`

(X+1)Û`+(X+2)Û`-5 =2XÛ`+6X

=(3a)Ü`-3_(3a)Û`_2b+3_3a_(2b)Û`-(2b)Ü`

⑵ xÛ`=X로 치환하면

=2X(X+3)

X=xÛ`+x 대입

=2(xÛ`+x)(xÛ`+x+3)

=2x(x+1)(xÛ`+x+3)

4 ⑴ xÛ`=X로 치환하면

XÛ`+2X-3 =(X+3)(X-1)

X=xÛ` 대입

=(xÛ`+3)(xÛ`-1)

=(xÛ`+3)(x+1)(x-1)

XÛ`-3X-4 =(X-4)(X+1)

X=xÛ` 대입

=(xÛ`-4)(xÛ`+1)

=(x+2)(x-2)(xÛ`+1)

⑶ aÛ`=X로 치환하면

3XÛ`+X-4 =(3X+4)(X-1)

X=aÛ` 대입

=(3aÛ`+4)(aÛ`-1)

=(3aÛ`+4)(a+1)(a-1)

⑷ aÛ`=X로 치환하면

4XÛ`-11X-3 =(4X+1)(X-3)

=(4aÛ`+1)(aÛ`-3)

X=aÛ` 대입

5 ⑴ aÝ`+aÛ`+25 =aÝ`+10aÛ`+25-9aÛ`

=(aÛ`+5)Û`-(3a)Û`

⑵ xÝ`-8xÛ`+4 =xÝ`-4xÛ`+4-4xÛ`

=(aÛ`+5+3a)(aÛ`+5-3a)

=(aÛ`+3a+5)(aÛ`-3a+5)

=(xÛ`-2)Û`-(2x)Û`

=(xÛ`-2+2x)(xÛ`-2-2x)

=(xÛ`+2x-2)(xÛ`-2x-2)

=(xÛ`-4)Û`-xÛ`

=(xÛ`-4+x)(xÛ`-4-x)

=(xÛ`+x-4)(xÛ`-x-4)

⑶ xÝ`-9xÛ`+16 =xÝ`-8xÛ`+16-xÛ`

⑷ aÝ`+aÛ`bÛ`+bÝ` =aÝ`+2aÛ`bÛ`+bÝ`-aÛ`bÛ`

=(aÛ`+bÛ`)Û`-(ab)Û`

=(aÛ`+bÛ`+ab)(aÛ`+bÛ`-ab)

=(aÛ`+ab+bÛ`)(aÛ`-ab+bÛ`)

=(x+3)Ü`

⑷ xÜ`+6xÛ`y+12xyÛ`+8yÜ`

=xÜ`+3_xÛ`_2y+3_x_(2y)Û`+(2y)Ü`

=(x+2y)Ü`

⑸ 8aÜ`-36aÛ`+54a-27

=(2a)Ü`-3_(2a)Û`_3+3_2a_3Û`-3Ü`

=(2a-3)Ü`

⑹ 27aÜ`-54aÛ`b+36abÛ`-8bÜ`

=(3a-2b)Ü`

⑺ aÜ`+8bÜ` =aÜ`+(2b)Ü`

=(a+2b)(aÛ`-2ab+4bÛ`)

⑻ 27xÜ`-yÜ` =(3x)Ü`-yÜ`

=(3x-y)(9xÛ`+3xy+yÛ`)

3 ⑴ a+b=X로 치환하면

XÛ`-2X+1 =(X-1)Û`

X=a+b 대입

=(a+b-1)Û`

⑵ x+y=X로 치환하면

XÛ`+X-20 =(X+5)(X-4)

=(x+y+5)(x+y-4)

X=x+y 대입

⑶ x-2=X로 치환하면

XÛ`-5X+4 =(X-1)(X-4)

=(x-2-1)(x-2-4)

=(x-3)(x-6)

X=x-2 대입

⑷ aÛ`-a=X로 치환하면

XÛ`-4X+4 =(X-2)Û`

X=aÛ`-a 대입

=(aÛ`-a-2)Û`

={(a-2)(a+1)}Û`

=(a-2)Û`(a+1)Û`

⑸ xÛ`-x=X로 치환하면

X(X-8)+12 =XÛ`-8X+12

=(X-2)(X-6)

X=xÛ`-x 대입

=(xÛ`-x-2)(xÛ`-x-6)

=(x-2)(x+1)(x+2)(x-3)

⑹ aÛ`+a=X로 치환하면

(X+1)(X-2)-4 =XÛ`-X-6

=(X-3)(X+2)

=(aÛ`+a-3)(aÛ`+a+2)

⑺ x-y=X로 치환하면

X=aÛ`+a 대입

기초 개념

가평

본문 | 038, 039쪽

01 곱

02 인수

03 (a+b-c)Û`

04 (a-1)Ü`

(X+1)Û`+(X-2)Û`-9 =2XÛ`-2X-4

05 (a-1)(aÛ`+a+1)

06 공통부분, 인수분해, X

=2(XÛ`-X-2)

=2(X-2)(X+1)

X=x-y 대입

=2(x-y-2)(x-y+1)

07 XÛ`+aX+b, axÛ`

08 3, 2, y

`

10 조립제법, 0, x-a

09 2, 2, 2

11 상수, 최고차

03. 인수분해 ⦁ 11

기초 문제

가평

본문 | 040, 041쪽

1 ⑴ (2a+b)Û`+4a+2b =(2a+b)Û`+2(2a+b)

=(2a+b)(2a+b+2)

⑵ (a-b)Û`-5(b-a) =(a-b)Û`+5(a-b)

⑸ x+y=A, x-y=B로 치환하면

(x+y)Ü`+(x-y)Ü`

=AÜ`+BÜ`

=(A+B)(AÛ`-AB+BÛ`)

= {(x+y)+(x-y)}

A=x+y, B=x-y 대입

⑶ xy+x+y+1 =x(y+1)+(y+1)

=2x{(xÛ`+2xy+yÛ`)-(xÛ`-yÛ`)+(xÛ`-2xy+yÛ`)}

=(a-b)(a-b+5)

´{(x+y)Û`-(x+y)(x-y)+(x-y)Û`}

=(x+1)(y+1)

=2x(xÛ`+3yÛ`)

⑷ xy-yÛ`-xz+yz =y(x-y)-z(x-y)

⑸ ab-ac-cd+bd =a(b-c)+d(b-c)

=(x-y)(y-z)

=(a+d)(b-c)

2 ⑴ xÜ`y-xyÜ` =xy(xÛ`-yÛ`)

=xy(x+y)(x-y)

⑵ xÝ`-yÝ` =(xÛ`)Û`-(yÛ`)Û`

=(xÛ`+yÛ`)(xÛ`-yÛ`)

=(xÛ`+yÛ`)(x+y)(x-y)

⑶ xÛ`-(y-z)Û` ={x+(y-z)}{x-(y-z)}

=(x+y-z)(x-y+z)

⑷ xÛ`+2xy+yÛ`-9 =(x+y)Û`-3Û`

⑸ xÛ`-4yÛ`+2x+1 =xÛ`+2x+1-4yÛ`

=(x+y+3)(x+y-3)

=(x+1)Û`-(2y)Û`

=(x+1+2y)(x+1-2y)

=(x+2y+1)(x-2y+1)

3 ⑴ xß`-yß` =(xÜ`)Û`-(yÜ`)Û`

=(xÜ`+yÜ`)(xÜ`-yÜ`)

=(x+y)(xÛ`-xy+yÛ`)(x-y)(xÛ`+xy+yÛ`)

⑵ 8xÝ`y+27xyÝ` =xy(8xÜ`+27yÜ`)

=xy{(2x)Ü`+(3y)Ü`}

=xy(2x+3y)(4xÛ`-6xy+9yÛ`)

⑶ xÝ`-8x =x(xÜ`-8)

=x(xÜ`-2Ü`)

=x(x-2)(xÛ`+2x+4)

⑷ 3x+4=X로 치환하면

(3x+4)Ü`-64

=XÜ`-64

=XÜ`-4Ü`

4 xÛ`-x=X로 치환하면

(xÛ`-x-5)(xÛ`-x-3)-3

=(X-5)(X-3)-3

=XÛ`-8X+15-3

=XÛ`-8X+12

=(X-2)(X-6)

=(xÛ`-x-2)(xÛ`-x-6)

=(x-2)(x+1)(x+2)(x-3)

X=xÛ`-x 대입

따라서 (xÛ`-x-5)(xÛ`-x-3)-3의 인수가 아닌 것은

① x-1이다.

5 xÛ`+x=X로 치환하면

(xÛ`+x)(xÛ`+x-2)+1 =X(X-2)+1

=XÛ`-2X+1

=(X-1)Û`

=(xÛ`+x-1)Û`

X=xÛ`+x 대입

∴ a=1, b=-1

6 공통부분이 생기도록 두 일차식의 상수항의 합이 같게 짝을

지어 전개하면

{(x-1)(x+5)}{(x+1)(x+3)}+16

=(xÛ`+4x-5)(xÛ`+4x+3)+16

xÛ`+4x=X로 치환하면

(X-5)(X+3)+16 =XÛ`-2X+1

=(X-1)Û`

=(xÛ`+4x-1)Û`

∴ a=4, b=1

7 xÛ`=X로 치환하면

2XÛ`-7X-4 =(2X+1)(X-4)

=(2xÛ`+1)(xÛ`-4)

=(2xÛ`+1)(x+2)(x-2)

X=xÛ` 대입

∴ a=2, b=1, c=2

=(X-4)(XÛ`+4X+16)

={(3x+4)-4}{(3x+4)Û`+4(3x+4)+16}

=3x(9xÛ`+24x+16+12x+16+16)

X=3x+4

대입

8 xÝ`+4yÝ` =xÝ`+4xÛ`yÛ`+4yÝ`-4xÛ`yÛ`

=(xÛ`+2yÛ`)Û`-(2xy)Û`

=(xÛ`+2yÛ`+2xy)(xÛ`+2yÛ`-2xy)

=(xÛ`+2xy+2yÛ`)(xÛ`-2xy+2yÛ`)

∴ a=2, b=-2, c=2

=3x(9xÛ`+36x+48)

=9x(3xÛ`+12x+16)

12 ⦁ 정답과 해설

9 xÛ`-xy-2yÛ`+5x-y+6

=xÛ`-xy+5x-2yÛ`-y+6

=xÛ`-(y-5)x-(2yÛ`+y-6)

=xÛ`-(y-5)x-(2y-3)(y+2)

={x+(y+2)}{x-(2y-3)}

=(x+y+2)(x-2y+3)

∴ a=1, b=-2, c=3

10 P(x)가 x-1을 인수로 가지므로

P(1)=2+a-8+3=0

∴ a=3

따라서 P(x)=2xÜ`+3xÛ`-8x+3이므로 조립제법을 이

용하여 P(x)를 인수분해하면 다음과 같다.

1 2

3 -8

2

2

5 -3

5 -3

3

0

P(x)=(x-1)(2xÛ`+5x-3)=(x-1)(x+3)(2x-1)

11 P(x)=xÝ`+2xÜ`-2xÛ`-2x+a라 하면

P(x)가 x-1, x+1을 인수로 가지므로

P(1)=0, P(-1)=0

P(1)=0에서 1+2-2-2+a=0

∴ a=1

따라서 P(x)=xÝ`+2xÜ`-2xÛ`-2x+1이므로 조립제법을

이용하여 P(x)를 인수분해하면 다음과 같다.

-1 1

2 -2 -2

3

1 -1

1

3

-1 1

1 -1

-1 -2

1

2 -1

1

0

1

0

P(x)=(x-1)(x+1)(xÛ`+2x-1)이므로

f(x)=xÛ`+2x-1

∴ f(-1)=1-2-1=-2

12 129=x로 치환하면

129Ü`-1

129_130+1

=

xÜ`-1

x(x+1)+1

(x-1)(xÛ`+x+1)

xÛ`+x+1

=

=x-1

=129-1=128

04 복소수

본문 | 044~049쪽

2 ⑵ 0 ⑶ 0

1-1 ⑴

‘

1-2 ⑴ 5i-1=-1+5i이므로 실수부분은 -1, 허수부분은 5

⑵

‘

2-3i의 실수부분은

‘

2, 허수부분은 -3

⑶ 2i=0+2i이므로 실수부분은 0, 허수부분은 2

⑷ -8=-8+0i이므로 실수부분은 -8, 허수부분은 0

2-1 ⑴ -5 ⑵ -8i ⑶

‘

2-2 ⑴ 허수단위 i가 없는 것을 찾으면

0, -8i Û`=8, i Û`-1=-1-1=-2

3+i

⑵ 허수단위 i가 있는 것을 찾으면

i-

5,

3i, -10i, 3+2i

‘

‘

⑶ 실수부분이 0이고 허수부분이 0이 아닌 것을 찾으면

3i, -10i

‘

⑷ a+bi (a+0, b+0) 꼴을 찾으면 i-

5, 3+2i

‘

참고 복소수가 실수 또는 순허수가 되기 위한 조건

❶ 복소수 a+bi (a, b는 실수)에 대하여

① a+bi가 실수 ⇨ b=0

② a+bi가 순허수 ⇨ a=0, b+0

❷ 복소수 z=a+bi (a, b는 실수)에 대하여

① zÛ`이 실수 ⇨ z가 실수 또는 순허수

② zÛ`이 음의 실수 ⇨ z가 순허수

3-1 1, -1

3-2 ⑴ (x+y)-2i=-3+(y-1)i에서

x+y=-3, -2=y-1

∴ x=-2, y=-1

⑵ (x-5)+(4y-1)i=0에서

x-5=0, 4y-1=0

∴ x=5, y=

;4!;

4-1 ⑴ -9 ⑵ 2i

4-2 ⑴ 허수부분의 부호를 바꾸면 1+4i

⑵ 3=3+0i이므로 허수부분의 부호를 바꾸면 3

⑶ –

2i=0-

2i이므로

‘

‘

허수부분의 부호를 바꾸면

‘

2i

⑷ -2i+8=8-2i이므로

허수부분의 부호를 바꾸면 8+2i

5-1 5, 3, 1

5-2 ⑴ 2+3iÓ=2-3i이므로

x+(x-y)i=2-3i

x=2, x-y=-3에서

x=2, y=5

04. 복소수 ⦁ 13

⑵ 3-5iÓ=3+5i이므로

(x+y)+(2x+y)i=3+5i

x+y=3, 2x+y=5를 연립하여 풀면

x=2, y=1

6-1 ⑴ 2, 6-i ⑵ 3, 6i ⑶ 3i, 8+i ⑷ 10i, -1+2i

6-2 ⑴ 2(1-2i)+(3+2i) =2-4i+3+2i

⑵ (3+4i)-2(1-i) =3+4i-2+2i

=(2+3)+(-4+2)i

=5-2i

=(3-2)+(4+2)i

=1+6i

⑶ (2+i)(1-3i)=2-6i+i-3i Û`=5-5i

⑷

1+3i

1+i

=

(1+3i)(1-i)

(1+i)(1-i)

=

1-i+3i-3i Û`

1-i Û`

⑷

=

4+2i

2

=2+i

7-1 ⑴ 0, -2 ⑵ 1

7-2 z =(1+i)xÛ`+(1+2i)x-6-3i

=(xÛ`+x-6)+(xÛ`+2x-3)i

=(x+3)(x-2)+(x+3)(x-1)i

⑴ (허수부분)=0이므로 (x+3)(x-1)=0

∴ x=-3 또는 x=1

⑵ (실수부분)=0, (허수부분)+0

(x+3)(x-2)=0, (x+3)(x-1)+0

∴ x=2

8-1 ⑴ 5, 2, 1 ⑵ 2, 7, 3

8-2 ⑴ 주어진 등식의 좌변을 정리하면

(x+2y)+(2x-y)i=5+5i

x+2y=5, 2x-y=5를 연립하여 풀면

x=3, y=1

⑵ 주어진 등식의 좌변을 정리하면

(2x+2)-(x-4)i=y-3i

2x+2=y, x-4=3을 연립하여 풀면

x=7, y=16

⑶ 주어진 등식의 좌변을 정리하면

x

2-i

+

y

2+i

=

=

=

x(2+i)+y(2-i)

(2-i)(2+i)

(2x+2y)+(x-y)i

5

x-y

5

2x+2y

5

+

i

+

즉,

i=2+i이므로

2x+2y

5

2x+2y

5

x-y

5

x-y

5

x+y=5, x-y=5를 연립하여 풀면

=2,

=1

x=5, y=0

14 ⦁ 정답과 해설

9-1 -1, -3, -3+2i

9-2 ⑴ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 zÓ=a-bi

이므로 주어진 등식의 좌변은

(2-i)(a-bi)+3i(a+bi)

=2a-2bi-ai+bi Û`+3ai+3bi Û`

=2a-2bi-ai-b+3ai-3b

=(2a-4b)+(2a-2b)i

즉 , (2a-4b)+(2a-2b)i=1-2i이므로

2a-4b=1, 2a-2b=-2를 연립하여 풀면

a=-

, b=-

;2%;

;2#;

∴ z=-

–

i

;2#;

;2%;

⑵ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 zÓ=a-bi

이므로 z+zÓ=6, zzÓ=13에서

(a+bi)+(a-bi)=2a=6

(a+bi)(a-bi)=aÛ`-bÛ`i Û`=aÛ`+bÛ`=13

따라서 a=3, b=Ñ2이므로 z=3Ñ2i

10-1 ⑴ i ⑵ 1 ⑶ i ⑷ -1

10-2 ⑴ i Ú`Ú`=(i Ý`)Û`_i Ü`=i Ü`=-i

⑵ i 88=(i Ý`)22=1

⑶ (-2i)7=-27_i Ý`_i Ü`=-128i Ü`=128i

⑷

{-

61

1

i }

=i 61=(i Ý`)15_i=i

11-1 2, i

11-2 ⑴ i+i 2+i 3+i 4=0이므로

i+i 2+i 3+i 4+y+i 20

=(i+i 2+i 3+i 4)+y+(i 17+i 18+i 19+i 20)

=(i+i 2+i 3+i 4)+y+i 16(i+i 2+i 3+i 4)

=0

+

+

1

i

1

i Û`

1

1

i 5=

i 3+

=

1

i 4+

⑵

1

i

{

1

i

=-i

-1-

+1

1

i

+

}

1

i

12-1 3i, -4+3i

12-2 ⑴

Ԧ

-2

Ԧ

18+ Ԧ

Ԧ

=

2i_3

2+

‘

‘

2

i

=6i+

=6i+

=6i-2i=4i

12

-3

2

3

‘

3i

‘

2i

i Û`

⑵

Ԧ

-3

Ԧ

-12+ Ԧ

Ԧ

=

3i_2

3i+

‘

‘

32

-2

2

4

‘

2i

‘

-45

+ Ԧ

-5

Ԧ

5i

3

‘

5i

‘

+

=6i Û`+

+3=-3-4i

4

i

13-1 ⑴ b, -2a ⑵ b, 2a

13-2 ⑴ a<0, b<0이므로 |a|+|b|- "à (a+b)Û`=|a|+|b|-|a+b| ⑸ 주어진 등식의 좌변을 정리하면 x 1-2i + y 1+2i = x(1+2i)+y(1-2i) (1-2i)(1+2i) a<0, b<0이므로 a+b<0 = x+2xi+y-2yi 1-4i Û` =-a-b+a+b=0 ⑵ a>0, b<0이므로 - aÛ`+ bÛ`+|b-a|=-|a|+|b|+|b-a| " " =-a-b-b+a=-2b a>0, b<0이므로 b-a<0 = (x+y)+(2x-2y)i 5 2x-2y 5 주어진 등식의 우변을 정리하면 x+y 5 = + i 2 1-3i 즉, x+y 5 = 2+6i 1-9i Û` = i ;5!;+;5#; = = 2(1+3i) (1-3i)(1+3i) 2+6i 10 2x-2y 5 1+3i 5 i= = + i이므로 ;5!;+;5#; x+y=1, 2x-2y=3을 연립하여 풀면 집중 연습 1 ⑴ 2(3-2i)+(1-4i)=6-4i+1-4i=7-8i ⑵ 2+3i-3(1+i)=2+3i-3-3i=-1 ⑶ 5-(1-4i)+4(3-i)=5-1+4i+12-4i=16 본문 | 050, 051쪽 x= , y=- ;4%; ;4!; ⑵ 1+3i 1-i 2 ⑴ (2-i)(3+2i)=6+4i-3i-2i Û`=8+i (1+3i)(1+i) (1-i)(1+i) -2+4i 2 1+i+3i+3i Û` 1-i Û` =-1+2i ⑵ = = = ⑶ 2 1+i + 2 1-i = 2(1-i)+2(1+i) (1+i)(1-i) = 2-2i+2+2i 1-i Û` = =2 ;2$; 3 ⑴ (1+3i)x+(2-i)y=3+2i에서 (x+2y)+(3x-y)i=3+2i x+2y=3, 3x-y=2를 연립하여 풀면 x=1, y=1 ⑵ (2+3i)x-(1-i)y=5-5iÓ에서 (2x-y)+(3x+y)i=5+5i 2x-y=5, 3x+y=5를 연립하여 풀면 x=2, y=-1 ⑶ (3+2i)(x+yi)=13에서 3x+3yi+2xi+2yiÛ`=13 (3x-2y)+(2x+3y)i=13 3x-2y=13, 2x+3y=0을 연립하여 풀면 x=3, y=-2 ⑷ (x-2i)(1+i)=-1+yi에서 x+xi-2i-2iÛ`=-1+yi (x+2)+(x-2)i=-1+yi x+2=-1, x-2=y를 연립하여 풀면 x=-3, y=-5 4 ⑴ i 20=(i 4)5=1 ⑵ i 25=(i 4)6_i=i ⑶ i 99=(i 4)24_i 3=i 3=-i ⑷ (-i)6=i 6=i 4_i 2=i 2=-1 ⑸ (-i)13=-i 13=-(i 4)3_i=-i ⑹ i 100+i 102=(i 4)25+(i 4)25_i 2=1+i 2=0 ⑺ - = +1=-i+1=1-i 1 i 1 i Û` i i Û` =(-i)3=-i 3=i ⑻ { ⑼ { 3 1 i } 1 i } 5 + 15 1 i } { =(-i)5+(-i)15=-i Þ`-i 15 =-i 4_i-(i 4)3_i 3=-i-i Ü` =-i+i=0 ⑽ +i 3+ 1 i 1 i 3 -i 4= 1 i 1 i -i- -1=-1-i 5 ⑴ i+i Û`+i 3+i 4=0이므로 i+i Û`+i 3+i 4+y+i 15 =(i+i Û`+i 3+i 4)+i 4(i+i Û`+i 3+i 4) +i 8(i+i Û`+i 3+i 4)+i 13+i 14+i 15 =i 13+i 14+i 15=(i Ý`)Ü`_i+(i Ý`)Ü`_i Û`+(i Ý`)Ü`_i Ü` =i+i Û`+iÜ `=i-1-i =-1 ⑵ 1+i+i Û`+i 3=0이므로 1+i+i Û`+i 3+y+i 100 =(1+i+i Û`+i 3)+y+(i 96+i 97+i 98+i 99)+i 100 =(1+i+i Û`+i 3)+y+i 96(1+i+i Û`+i 3)+(i 4)25 =(i 4)25=1 04. 복소수 ⦁ 15 +y+ 1 i 9 + 1 i 10+ 1 i 11+ 1 i 12} { + 1 i 13 ⑶ + -1- +1=0이므로 1 i = = 1 i 1 i 1 i 1 i + { + 1 i 1 i 13 1 i 3 + 1 i 3 + 1 i 3 + 1 i 4 = 1 i 4 +y+ 1 i 4 } 1 i 1 i 2 + 1 i 2 + 1 1 i 2 + i 1 1 i 13= (i 4)Ü`_i 1 1 1 i 4 =0이므로 i 3 + i 2 + 1 1 1 1 i 4 +y+ i 3 + i 2 + i 26 1 1 1 1 i 3 + i 2 + i 4 } i =-i + = { + = ⑷ + = = 1 i 25+ 1 i + 1 1 i 26= (i 4)ß`_i 1 1 i 2 = i -1=-1-i + 1 (i 4)ß`_i Û ` +y+ 1 i 21+ 1 i 22+ 1 i 23+ { 1 i 24} 1 i 25+ + 1 i 26 기초 개념 가평 본문 | 052, 053쪽 01 -1, 허수단위 02 실수부분, 허수부분 03 b=0 05 실수 07 c,``d 09 허수 11 b-d 13 ac+bd 15 i 17 a>0,“b<0 04 허수 06 b+0 08 0,``0 10 a+c 12 bc 14 -1,``1 16 a<0,``b<0 기초 문제 가평 본문 | 054, 055쪽 -16= 1 '¶ 허수단위 i가 있는 것을 찾으면 16i=4i, 2i Û`=-2이므로 '¶ -16, i-1, 3-2i, - 3i, 1+3i ' ' '¶ 2 ⑴ 2(3-2i)+(3+ 2i)(3- ' =6-4i+9-2i Û`=17-4i ' 2i) ⑵ (1- 5i)Û` =1Û`-2_1_ 5i+( 5i)Û` ' ' ' =1-2 5i+5i Û`=-4-2 5i ' ' 16 ⦁ 정답과 해설 ⑶ (1+i)Û`-(1-i)Û`=1+2i+i Û`-(1-2i+i Û`)=4i x=-1, y=3 ⑷ 1+2i 1-i - 2-i 1+i = = = (1+2i)(1+i)-(2-i)(1-i) (1-i)(1+i) 1+i+2i+2i Û`-(2-2i-i+i Û`) 1-i Û` -1+3i-(1-3i) 2 -2+6i 2 = =-1+3i 3 (1+ai)(1+3i) =1+3i+ai+3ai Û` =(1-3a)+(3+a)i 이 복소수가 실수가 되려면 (허수부분)=0이므로 3+a=0에서 a=-3 ∴ x=-3 이 복소수가 순허수가 되려면 (실수부분)=0, (허수부분)+0이므로 1-3a=0, 3+a+0에서 a= ∴ y= ;3!; ;3!; 4 (1+i)(4-3i)-i(2-i)Û` =4-3i+4i-3i Û`-i(4-4i+i Û`) =7+i-i(3-4i) =7+i-3i+4i Û`=3-2i ∴ a=3, b=-2 5 z-3+2i=zi에서 (1-i)z=3-2i ∴ z= 3-2i 1-i ∴ z= ∴ z= = = = (3-2i)(1+i) (1-i)(1+i) 3+3i-2i-2iÛ ` 1-i Û` 5+i 2 = i ;2%;+;2!; 6 제곱하여 음의 실수가 되려면 순허수이어야 하므로 z=(xÛ`-4x+3)+(xÛ`+2x-3)i에서 (실수부분)=0, (허수부분)+0 xÛ`-4x+3=0, 즉 (x-1)(x-3)=0에서 x=1 또는 x=3 xÛ`+2x-3+0, 즉 (x+3)(x-1)+0에서 x+-3 그리고 x+1 ∴ x=3 7 주어진 등식의 좌변을 정리하면 x 1+i + y 1-i = x(1-i)+y(1+i) (1+i)(1-i) = x-xi+y+yi 1-i Û` = (x+y)+(-x+y)i 2 = x+y 2 + -x+y i 2 또 1-2iÓ=1+2i이므로 x+y 2 + -x+y 2 i=1+2i에서 =1, x+y 2 -x+y 2 =2 즉, x+y=2, -x+y=4를 연립하여 풀면 8 z-zÓ=(1-i)-(1+i)=-2i zzÓ=(1-i)(1+i)=1-i Û`=1+1=2 ⑴ ⑵ zzÓ z-zÓ z-1 z = - 2 -2i zÓ-1 zÓ =- = 1 i =i =- i i Û` (z-1)zÓ-z(zÓ-1) zzÓ = zzÓ-zÓ-zzÓ+z zzÓ = z-zÓ zzÓ = =-i -2i 2 9 z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 zÓ=a-bi이므로 주어진 등식의 좌변은 2(a+bi)-i(a-bi) =2a+2bi-ai+bi Û` =(2a-b)-(a-2b)i 즉, (2a-b)-(a-2b)i=4-5i이므로 2a-b=4, a-2b=5를 연립하여 풀면 a=1, b=-2 ∴ z=1-2i 10 ⑴ i+2i 2+3i 3+4i 4=i-2-3i+4=2-2i ⑵ i+i 2+i 3+i 4=0이므로 i+i 2+i 3+i 4+y+i 26 =(i+i 2+i 3+i 4)+y+(i 21+i 22+i 23+i 24)+i 25+i 26 =i 25+i 26=i+i Û`=i-1 +1=0이므로 ⑶ + 1 i 1 i + = { 1 i 1 i -1- 1 1 1 i 4 = i 3 + i 2 + 1 1 1 1 i 4 +y+ i 3 + i 2 + i 15 1 1 1 1 1 i 3 + i 2 + i 5 + i 4 } i 1 1 1 i 11+ i 10+ i 9+ 1 1 1 i 3 = i 2 + i 1 i 14+ 1 i 15= 1 i + + + + { { = 1 i 13+ 1 i 6 + 1 i 12} 1 1 i 7 + i 8 } 1 i 13+ 1 i + -1- =-1 1 i 14+ 1 i 15 11 ⑴ '¶ -3 '¶ 20 -12+ '¶- 5 ' 2 5i ' 5 ' = 3i_2 3i+ ' ' =6i Û`+2i=-6+2i ⑵ (3+ -2)(3- -2)+ '¶ =(3+ '¶ 2i)(3- ' 2i)+ ' ' -3 '¶ '¶ 3i_3 -27 3i ' =9-2i Û`+9i Û`=9+2-9=2 27 -3 -13)Û`+ -20 '¶ '¶ ' ⑶ ( =( 13i)Û`+2 5i 5+ ' ' '¶ =13i Û`+10i+ =-13+10i-3i 5+ '¶ '¶ 3 3 ' 3i ' 3 i =-13+7i 본문 | 057쪽 05 이차방정식 & 기초 개념 피드백 TEST 1-1 ⑴ 2, -2 ;3$; 1-2 ⑴ 좌변을 인수분해하면 x(x+2)=0 x=0 또는 x+2=0 ⑵ 4, - ∴ x=0 또는 x=-2 ⑵ 좌변을 인수분해하면 (x-3)Û`=0 x-3=0 ∴ x=3 (중근) ⑶ 좌변을 인수분해하면 (2x+5)(2x-5)=0 ⑷ 좌변을 인수분해하면 (2x+1)(x-2)=0 2x+5=0 또는 2x-5=0 ∴ x=- 또는 x= ;2%; ;2%; 2x+1=0 또는 x-2=0 ∴ x=- 또는 x=2 ;2!; 2-1 ⑴ -7, 2 2-2 ⑴ x=Ñ ⑵ -10을 우변으로 이항하면 9xÛ`=10 ∴ x=Ñ2 ⑵ 5, 1 8 ' ' 2 양변을 9로 나누면 xÛ`= :Á9¼: x=Ñ ®Æ É:Á9¼: 10 ∴ x=Ñ '¶ 3 ⑶ x+2=Ñ 12 ∴ x=-2Ñ2 3 ' ⑷ -25를 우변으로 이항하면 5(x-3)Û`=25 양변을 5로 나누면 (x-3)Û`=5 x-3=Ñ 5 ∴ x=3Ñ 5 ' '¶ ' 3-1 ⑴ -2, 2 '¶ 3-2 ⑴ 근의 공식에 a=1, b=-3, c=1을 대입하면 17 ⑵ -2, 2, ' 3Ñ (-3)Û`-4_1_1 x= "à 2_1 = 5 3Ñ ' 2 ⑵ 근의 공식에 a=2, b=-1, c=-5를 대입하면 1Ñ (-1)Û`-4_2_(-5) x= "à 2_2 ⑶ 근의 공식에 a=1, b'=-1, c=-4를 대입하면 = 41 1Ñ '¶ 4 1Ñ (-1)Û`-1_(-4) x= "à 1 =1Ñ 5 ' ⑷ 근의 공식에 a=2, b'=1, c=-3을 대입하면 -1Ñ 1Û`-2_(-3) x= "à 2 = -1Ñ 2 7 ' 05. 이차방정식 ⦁ 17 Æ 13, 실근 ⑵ -1, 9, 2 1-1 ⑴ 3, '¶ 1-2 ⑴ 근의 공식에 a=3, b=-5, c=1을 대입하면 2, 허근 ' 5Ñ (-5)Û`-4_3_1 x= "à 2_3 = 13 5Ñ '¶ 6 따라서 주어진 이차방정식의 근은 실근이다. ⑵ 근의 공식에 a=1, b'=5, c=5를 대입하면 x= -5Ñ "à 5Û`-1_5 1 =-5Ñ2 5 ' 따라서 주어진 이차방정식의 근은 실근이다. ⑶ 근의 공식에 a=1, b=-3, c=4를 대입하면 3Ñ (-3)Û`-4_1_4 x= "à 2_1 = 7i 3Ñ ' 2 따라서 주어진 이차방정식의 근은 허근이다. ⑷ 근의 공식에 a=2, b'=1, c=3을 대입하면 x= -1Ñ "à 1Û`-2_3 2 = -1Ñ 2 5i ' 따라서 주어진 이차방정식의 근은 허근이다. 2-1 1, 3, 3 2-2 ⑴ 이차방정식 xÛ`-(m+2)x+3m+2=0에 x=-2를 ⑵ 이차방정식 xÛ`-ax-aÛ`-5=0에 x=-3을 대입하면 4+2m+4+3m+2=0, 5m=-10 대입하면 ∴ m=-2 m=-2를 주어진 방정식에 대입하면 xÛ`-4=0, (x+2)(x-2)=0 ∴ x=-2 또는 x=2 따라서 나머지 한 근은 2이다. 9+3a-aÛ`-5=0, aÛ`-3a-4=0 (a+1)(a-4)=0 ∴ a=4 (∵ a>0)

a=4를 주어진 방정식에 대입하면

xÛ`-4x-21=0, (x+3)(x-7)=0

∴ x=-3 또는 x=7

따라서 나머지 한 근은 7이다.

3-1 ⑴ >, 실근 ⑵ <, 허근 3-2 주어진 이차방정식의 판별식을 D라 하면 ⑴ D=(-1)Û`-4_2_(-4)=33>0이므로

서로 다른 두 실근을 갖는다.

⑵

=(-5)Û`-1_25=0이므로

중근을 갖는다.

⑶

=2Û`-3_2=-2<0이므로 D 4 D 4 18 ⦁ 정답과 해설 본문 | 058~062쪽 4-1 ⑴ >, 2 ⑵ <, 2 4-2 주어진 이차방정식의 판별식을 D라 하면 =(k+1)Û`-(kÛ`-3)=2k+4 D 4 D 4 D 4 D 4 ⑴ ¾0이어야 하므로 2k+4¾0 ∴ k¾-2 ⑵ =0이어야 하므로 2k+4=0 ∴ k=-2 ⑶ <0이어야 하므로 2k+4<0 ∴ k<-2 5-1 ⑴ 5, -6 ⑵ 5, -16 5-2 a+b=- =-6, ab= =2이므로 ;1@; ;1^; 1 b 1 a ⑴ + = a+b ab = -6 2 =-3 ⑵ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab =(-6)Û`-2_2=32 ⑶ (a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab =(-6)Û`-4_2=28 ⑷ aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b) =(-6)Ü`-3_2_(-6)=-180 6-1 ⑴ 3, 18 ⑵ 4, 20 6-2 ⑴ 두 근의 비가 1`:`2이므로 두 근을 a, 2a(a+0)로 놓으면 ……㉠ (두 근의 합)=a+2a=k (두 근의 곱)=a_2a=6, aÛ`=3 ∴ a=Ñ 3 ' 이것을 ㉠에 대입하면 k=3a=3_(Ñ 3)=Ñ3 ' 3 ' ⑵ 두 근의 차가 2이므로 두 근을 a, a+2로 놓으면 (두 근의 합)=a+(a+2)=-k ∴ k=-2a-2 ……㉠ (두 근의 곱)=a(a+2)=3, aÛ`+2a-3=0 (a+3)(a-1)=0 ∴ a=-3 또는 a=1 이것을 ㉠에 대입하면 k=4 또는 k=-4 7-1 ⑴ 3, 4 ⑵ 2, 5 7-2 ⑴ (두 근의 합)=2+5=7, (두 근의 곱)=2_5=10이므로 xÛ`-7x+10=0 ⑵ (두 근의 합)=(1+ 3)+(1- 3)=2, (두 근의 곱)=(1+ 3)(1- ' ' ' 3)=-2이므로 ' xÛ`-2x-2=0 ⑶ (두 근의 합)=(-2+i)+(-2-i)=-4, (두 근의 곱)=(-2+i)(-2-i)=5이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다. xÛ`+4x+5=0 (두 근의 곱) =(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1 ⑶ 좌변을 인수분해하면 (2x+3)(x-1)=0 ⑵ 계수가 유리수이고 한 근이 2 2-1, 즉 -1+2 2이므 좌변을 인수분해하면 (3x-2)(2x-3)=0 ' 8-1 5, 6 8-2 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-5, ab=2 ⑴ (두 근의 합) =aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab =(-5)Û`-2_2=21 (두 근의 곱)=aÛ`bÛ`=(ab)Û`=2Û`=4 따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`-21x+4=0 ⑵ (두 근의 합) =(a-1)+(b-1)=a+b-2 =-5-2=-7 =2-(-5)+1=8 따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`+7x+8=0 2, -2, -1 9-1 1- 9-2 ⑴ 계수가 유리수이고 한 근이 2+ ' 2- 3이다. ' 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 3이므로 다른 한 근은 ' (두 근의 합)=-a에서 (2+ 3)+(2- 3)=-a ' (두 근의 곱)=b에서 (2+ 3)(2- 3)=b ' ∴ a=-4, b=1 ' ' ' 2이다. ' 로 다른 한 근은 -1-2 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 (두 근의 합)=-a에서 (-1+2 2)+(-1-2 ' (두 근의 곱)=b에서 ' 2)=-a (-1+2 2)(-1-2 2)=b ' ' ∴ a=2, b=-7 (두 근의 합)=-a에서 (1+ 2i)+(1- 2i)=-a ' ' (두 근의 곱)=b에서 (1+ 2i)(1- 2i)=b ' ' ∴ a=-2, b=3 른 한 근은 -3-2i이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 (두 근의 합)=-a에서 (-3+2i)+(-3-2i)=-a (두 근의 곱)=b에서 (-3+2i)(-3-2i)=b ∴ a=6, b=13 10-1 -6, 10 10-2 ⑴ 계수가 실수이고 한 근이 1+ 1- 2i이다. ' 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 2i이므로 다른 한 근은 ' ⑵ 계수가 실수이고 한 근이 2i-3, 즉 -3+2i이므로 다 집중 연습 본문 | 063~065쪽 1 ⑴ 좌변을 인수분해하면 (x+2)(x-1)=0 x+2=0 또는 x-1=0 ∴ x=-2 또는 x=1 ⑵ 좌변을 인수분해하면 (x+3)(3x-2)=0 x+3=0 또는 3x-2=0 ∴ x=-3 또는 x= ;3@; 2x+3=0 또는 x-1=0 ∴ x=- 또는 x=1 ;2#; ⑷ 괄호를 풀고 정리하면 xÛ`+x-20=0 좌변을 인수분해하면 (x+5)(x-4)=0 x+5=0 또는 x-4=0 ∴ x=-5 또는 x=4 ⑸ 괄호를 풀고 정리하면 6xÛ`-7x-3=0 좌변을 인수분해하면 (3x+1)(2x-3)=0 3x+1=0 또는 2x-3=0 ∴ x=- 또는 x= ;3!; ;2#; ⑹ 괄호를 풀고 정리하면 6xÛ`-13x+6=0 3x-2=0 또는 2x-3=0 ∴ x= 또는 x= ;3@; ;2#; 2 ⑴ 근의 공식에 a=1, b=-1, c=-1을 대입하면 1Ñ ' 2 (-1)Û`-4_1_(-1) -(-1)Ñ x= 2_1 = "Ã 5 ⑵ 근의 공식에 a=1, b'=1, c=-1을 대입하면 -1Ñ 1Û`-1_(-1) x= "Ã 1 =-1Ñ 2 ' ⑶ 근의 공식에 a=2, b=-3, c=-1을 대입하면 -(-3)Ñ (-3)Û`-4_2_(-1) x= "Ã 2_2 = 17 3Ñ '¶ 4 ⑷ 근의 공식에 a=3, b'=-1, c=1을 대입하면 x= -(-1)Ñ "Ã (-1)Û`-3_1 3 = 2i 1Ñ ' 3 ⑸ 근의 공식에 a=1, b=-3, c=-3을 대입하면 -(-3)Ñ (-3)Û`-4_1_(-3) x= "Ã 2_1 = 21 3Ñ '¶ 2 ⑹ 근의 공식에 a=3, b'=2, c=2를 대입하면 x= -2Ñ "Ã 2Û`-3_2 3 = -2Ñ 3 2i ' 05. 이차방정식 ⦁ 19 ⑸ (a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab ∴ xÛ`-5x+5=0 3 ⑴ a+b=- =-2 ;1@; ⑵ ab= =-1 -1 1 ⑶ + = 1 a 1 b a+b ab = -2 -1 =2 ⑷ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab =(-2)Û`-2_(-1)=6 ⑸ (a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab =(-2)Û`-4_(-1)=8 ⑹ aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b) =(-2)Ü`-3_(-1)_(-2)=-14 ⑺ + = bÛ` a aÛ` b aÜ`+bÜ` ab = -14 -1 =14 4 ⑴ a+b=- -5 1 =5 ⑵ ab= =3 3 1 ⑶ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab =5Û`-2_3=19 ⑷ + = b a a b aÛ`+bÛ` ab = 19 3 =5Û`-4_3=13 ∴ a-b= 13 (∵ a>b)

Ԧ

⑹ aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b)

=5Ü`-3_3_5=80

⑺

+

=

bÛ`

a

aÛ`

b

aÜ`+bÜ`

ab

=

80

3

5 ⑴ (두 근의 합)=9, (두 근의 곱)=18

∴ xÛ`-9x+18=0

⑵ (두 근의 합)=2, (두 근의 곱)=-1

∴ xÛ`-2x-1=0

⑶ (두 근의 합)=2, (두 근의 곱)=1-i Û`=2

∴ xÛ`-2x+2=0

6 ⑴ (두 근의 합)=-3, (두 근의 곱)=2

xÛ`의 계수가 2이므로 구하는 이차방정식은

2{xÛ`-(-3)x+2}=0

∴ 2xÛ`+6x+4=0

⑵ (두 근의 합)=4, (두 근의 곱)=1

xÛ`의 계수가 2이므로 구하는 이차방정식은

2(xÛ`-4x+1)=0

∴ 2xÛ`-8x+2=0

⑶ (두 근의 합)=-4, (두 근의 곱)=4-9i Û`=13

xÛ`의 계수가 2이므로 구하는 이차방정식은

2{xÛ`-(-4)x+13}=0

∴ 2xÛ`+8x+26=0

20 ⦁ 정답과 해설

7 ⑴ 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=2, ab=-1

(두 근의 합)=a+b+ab=1

(두 근의 곱)=(a+b)ab=-2

∴ xÛ`-x-2=0

⑵ 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=-1, ab=-4

(두 근의 합)=a+b+ab=-5

(두 근의 곱)=(a+b)ab=4

∴ xÛ`+5x+4=0

⑶ 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=-2, ab=-5

(두 근의 합)=a+b+ab=-7

(두 근의 곱)=(a+b)ab=10

∴ xÛ`+7x+10=0

8 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=3, ab=1

⑴ (두 근의 합)=a+1+b+1=5

(두 근의 곱) =(a+1)(b+1)

=ab+a+b+1=5

⑵ (두 근의 합) =aÛ`-1+bÛ`-1=aÛ`+bÛ`-2

=(a+b)Û`-2ab-2=5

(두 근의 곱) =(aÛ`-1)(bÛ`-1)

=aÛ`bÛ`-(aÛ`+bÛ`)+1

=(ab)Û`-{(a+b)Û`-2ab}+1=-5

∴ xÛ`-5x-5=0

⑶ (두 근의 합)=

1

a

1

ab

∴ xÛ`-3x+1=0

(두 근의 곱) =

+

=

1

b

a+b

ab

=3

=1

기초 개념

가평

본문 | 066, 067쪽

01 실수, 실수

03 복소수

05 부호, 허근

07 D>0

09 D<0 11 2, -;2!; 13 -, + 15 실수 02 허수, 허수 04 실근, 허근 06 판별식, D 08 D=0 10 3, 4 12 -, + 14 유리수 기초 문제 가평 본문 | 068, 069쪽 5 이차방정식 xÛ`-(k+2)x+4=0의 판별식을 D라 하면 중근을 가지려면 D=0이어야 하므로 1 ⑴ 좌변을 인수분해하면 (x-1)(x-2)=0 x-1=0 또는 x-2=0 ∴ x=1 또는 x=2 ⑵ 좌변을 인수분해하면 (4x+3)(x-1)=0 4x+3=0 또는 x-1=0 ∴ x=- 또는 x=1 ;4#; ⑶ 근의 공식에 a=1, b=3, c=1을 대입하면 x= -3Ñ "Ã 3Û`-4_1_1 2_1 = -3Ñ 2 5 ' ⑷ 근의 공식에 a=1, b'=-1, c=-2를 대입하면 x= "Ã -(-1)Ñ (-1)Û`-1_(-2) 1 ⑸ 근의 공식에 a=3, b'=-2, c=3을 대입하면 =1Ñ 3 ' x= -(-2)Ñ "Ã (-2)Û`-3_3 3 = 5i 2Ñ ' 3 ⑹ 근의 공식에 a=1, b'=- 2, c=6을 대입하면 x= -(- 2)Ñ ' "Ã (- 1 ' ' 2)Û`-1_6 = 2Ñ2i ' 2 이차방정식 xÛ`-kx+k-1=0에 x=4를 대입하면 16-4k+k-1=0, 3k=15 ∴ k=5 k=5를 주어진 방정식에 대입하면 xÛ`-5x+4=0, (x-1)(x-4)=0 ∴ x=1 또는 x=4 따라서 a=1이므로 k+a=5+1=6 4a=4+a-1에서 3a=3 ∴ a=1 a=1을 k=4+a에 대입하면 k=5 ∴ k+a=5+1=6 3 이차방정식 xÛ`+2x+k-3=0의 판별식을 D라 하면 실근을 가지려면 D¾0이어야 하므로 =1Û`-(k-3)=4-k¾0 D 4 ∴ kÉ4 4 이차방정식 xÛ`-3x+1-k=0의 판별식을 D라 하면 서로 다른 두 허근을 가지려면 D<0이어야 하므로 D=(-3)Û`-4_1_(1-k)=4k+5<0 ∴ k<- ;4%; D=(k+2)Û`-4_1_4=kÛ`+4k-12=0 (k+6)(k-2)=0 ∴ k=2 (∵ k>0)

k=2이므로 주어진 이차방정식은

xÛ`-4x+4=0, (x-2)Û`=0

즉, x=2이므로 m=2

∴ k+m=2+2=4

6 이차방정식 xÛ`+(2k+1)x+kÛ`-1=0의 판별식을 D라 하

면 이차식이 완전제곱식이 되려면 D=0이어야 하므로

D=(2k+1)Û`-4_1_(kÛ`-1)=4k+5=0

∴ k=-

;4%;

7 a+b=-

=-3, ab=

=-5이므로

-5

1

;1#;

1

b }{

⑴

{

a+

b+

=ab+a_

_b+

1

ab

=ab+2+

=-5+2-

=-

;5!;

:Á5¤:

1

a }

1

b

+

1

a

1

ab

⑵ (aÛ`+4a)(bÛ`+4b)

=aÛ`bÛ`+4aÛ`b+4abÛ`+16ab

=(ab)Û`+4ab(a+b)+16ab

=(-5)Û`+4_(-5)_(-3)+16_(-5)=5

다른 풀이 xÛ`+3x-5=0의 두 근이 a, b이므로

aÛ`+3a-5=0에서 aÛ`+3a=5

∴ aÛ`+4a=a+5

같은 방법으로 bÛ`+4b=b+5

=ab+5(a+b)+25

=-5+5_(-3)+25

⑶

1

1+a

+

1

1+b

=

=

=5

1+b+1+a

(1+a)(1+b)

-3+2

1-3-5

=

;7!;

=

(a+b)+2

1+(a+b)+ab

8 이차방정식 xÛ`-ax-2=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수

의 관계에 의하여

a+b=a, ab=-2

또, 이차방정식 xÛ`+4x+b=0의 두 근이

,

이므로

1

a

1

b

근과 계수의 관계에 의하여

1

a

1

a

+

=

_

=

1

b

1

b

=

a+b

ab

1

ab

=

a

-2

1

-2

=-4

∴ a=8

=b

∴ b=-

;2!;

05. 이차방정식 ⦁ 21

다른 풀이 근과 계수의 관계에 의하여 4+a=k, 4a=k-1

∴ (aÛ`+4a)(bÛ`+4b) =(a+5)(b+5)

9 이차방정식 xÛ`-(k-2)x+k=0의 한 근이 다른 한 근

의 2배이므로 두 근을 a, 2a (a+0)로 놓으면

(두 근의 합)=a+2a=k-2

∴ k=3a+2

(두 근의 곱)=a_2a=k

∴ k=2aÛ`

이때 3a+2=2aÛ`이므로 2aÛ`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0

∴ a=-

또는 a=2

;2!;

a=-

일 때, k=3a+2=3_

;2!;

{-;2!;}

+2=

;2!;

a=2일 때, k=3a+2=3_2+2=8

따라서 구하는 실수 k의 값은

또는 8이다.

;2!;

10 이차방정식 xÛ`+3x+kÛ`-2k=0의 두 근의 차가 3이므

로 두 근을 a, a+3으로 놓으면

(두 근의 합)=a+(a+3)=-3에서 a=-3

(두 근의 곱)=a(a+3)=kÛ`-2k에서

kÛ`-2k=0, k(k-2)=0

∴ k=0 또는 k=2

따라서 모든 실수 k의 값의 합은 2이다.

11 이차방정식 xÛ`-2x-4=0의 두 근이 a, b이므로 근과

계수의 관계에 의하여 a+b=2, ab=-4

a

b

(두 근의 합)=

b

a

=

+

aÛ`+bÛ`

ab

(a+b)Û`-2ab

ab

a

b

b

a _

=1

=

(두 근의 곱)=

따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`+3x+1=0

=

2Û`-2_(-4)

-4

=-3

12 계수가 유리수인 이차방정식 xÛ`-4x+a=0의 한 근이

2이므로 다른 한 근은 b-

2+b=b+

2이다.

‘

‘

‘

따라서 근과 계수의 관계에 의하여

‘

∴ b=2

(두 근의 합)=(b+

2b=4

(두 근의 곱)=(b+

‘

a=bÛ`-2=2Û`-2=2

2)+(b-

2)=4에서

‘

2)(b-

2)=a에서

‘

∴ a=2, b=2

13 계수가 실수인 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 한 근이

2

1+i

=

2(1-i)

(1+i)(1-i)

=1-i이므로 다른 한 근은 1+i

이다.

따라서 근과 계수의 관계에 의하여

(두 근의 합)=(1-i)+(1+i)=-a에서

a=-2

(두 근의 곱)=(1-i)(1+i)=b에서

b=2

22 ⦁ 정답과 해설

06 이차방정식과 이차함수

기초 개념 피드백 TEST

&

본문 | 071쪽

⑵ 절댓값

1-1 ⑴ >

1-2 ⑴ y=axÛ`에서 a<0인 것을 찾으면 ㄱ, ㄷ, ㅁ ⑵ y=axÛ`에서 a의 절댓값이 가장 작은 것을 찾으면 ⑶ ㄱ. y=-4xÛ`, ㄴ. y=4xÛ`의 그래프는 x축에 대하 ㄷ 여 대칭이다. 2-1 1, -2 2-2 ⑴ 이차함수 y=-xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 3만 큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=-(x-3)Û`-2이므로 꼭짓점의 좌표는 (3, -2), 축의 방정식은 x=3 ⑵ 이차함수 y= xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 -1 ⑵ 만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 그래프 ;2!; ;2!; ⑵ 의 식은 y= (x+1)Û`-5이므로 ⑵ 꼭짓점의 좌표는 (-1, -5), ⑵ 축의 방정식은 x=-1 3-1 1, 2 3-2 ⑴ y=a(x-p)Û`+q 꼴로 고치면 y =-xÛ`+6x-1 =-(xÛ`-6x+9-9)-1 =-(x-3)Û`+8 y 8 따라서 이차함수 y=-xÛ`+6x-1 y=-xÛ`+6x-1의 그래프 는 오른쪽 그림과 같고 꼭짓점의 좌표는 (3, 8), 점 (0, -1)을 지나므로 O -1 3 x y절편은 -1이다. ⑵ y=a(x-p)Û`+q 꼴로 고치면 y =2xÛ`+8x+9 =2(xÛ`+4x+4-4)+9 =2(x+2)Û`+1 따라서 이차함수 y=2xÛ`+8x+9의 그래프는 오른쪽 그림과 같고 꼭짓점의 좌표는 (-2, 1), 점 (0, 9)를 지나므로 y절편은 9이다. y=2xÛ`+8x+9 y 9 1 O x -2 본문 | 072~075쪽 1-1 2, 2 1-2 ⑴ 이차방정식 xÛ`-6x+8=0에서 (x-2)(x-4)=0 ∴ x=2 또는 x=4 따라서 교점의 x좌표는 2, 4이다. ⑵ 이차방정식 2xÛ`+5x-3=0에서 (x+3)(2x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x= ;2!; 따라서 교점의 x좌표는 -3, 이다. ;2!; 2-1 2, -12 2-2 이차방정식 -xÛ`+ax+b=0의 두 근이 -1, 2이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 -1+2=- , -1_2= a -1 b -1 ∴ a=1, b=2 3-1 ⑴ >, 2 ⑵ <, 0 3-2 ⑴ 이차방정식 2xÛ`-x-2=0의 판별식을 D라 하면 D=(-1)Û`-4_2_(-2)=17>0이므로 교점의 개

수는 2이다.

⑵ 이차방정식 4xÛ`+4x+1=0의 판별식을 D라 하면

⑶ 이차방정식 -xÛ`+x+3=3x+5, 즉

xÛ`+2x+2=0의 판별식을 D라 하면

=1Û`-1_2=-1<0이므로 D 4 만나지 않는다. 6-1 =, 0, 3 6-2 이차방정식 xÛ`+3x-2=x+k, 즉 xÛ`+2x-2-k=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =1Û`-1_(-2-k)=k+3 ⑴ D>0이어야 하므로 k+3>0

∴ k>-3

⑵ D=0이어야 하므로 k+3=0

∴ k=-3

⑶ D<0이어야 하므로 k+3<0 ∴ k<-3 7-1 -1, 3 7-2 ⑴ y =3xÛ`-6x-5 =3(x-1)Û`-8 따라서 최솟값은 x=1일 때 -8이고, 최댓값은 없다. y y=3xÛ`-6x-5 1 O x =2Û`-4_1=0이므로 교점의 개수는 1이다. ⑵ y =-xÛ`+8x-12 ⑶ 이차방정식 xÛ`+2x+9=0의 판별식을 D라 하면 =1Û`-1_9=-8<0이므로 교점의 개수는 0이다. =-(x-4)Û`+4 y=-xÛ`+8x-12 따라서 최댓값은 x=4일 때 4이고, 최솟값은 없다. 4 x 4-1 >, 1

4-2 이차방정식 xÛ`+2ax+aÛ`-2a+3=0의 판별식을 D라 하

-5

-8

y

4

O

D

4

D

4

면

D

4

=aÛ`-1_(aÛ`-2a+3)=2a-3

⑴ D>0이어야 하므로 2a-3>0

⑵ D=0이어야 하므로 2a-3=0

⑶ D<0이어야 하므로 2a-3<0 ∴ a>;2#;

∴ a=;2#;

∴ a<;2#; 5-1 >

5-2 ⑴ 이차방정식 -xÛ`+x+3=2x+1, 즉

xÛ`+x-2=0의 판별식을 D라 하면

D=1Û`-4_1_(-2)=9>0이므로

서로 다른 두 점에서 만난다.

⑵ 이차방정식 -xÛ`+x+3=-x+4, 즉

xÛ`-2x+1=0의 판별식을 D라 하면

=(-1)Û`-1_1=0이므로

D

4

한 점에서 만난다. (접한다.)

8-1 0, -2

8-2 ⑴ y =-xÛ`-2x+3

=-(x+1)Û`+4

이때 꼭짓점의 좌표는

y=-xÛ`-2x+3

y

4

3

(-1, 4)이고, 꼭짓점의 x좌

표는 주어진 x의 값의 범위에

포함된다. 따라서

최댓값은 x=-1일 때 4이고,

최솟값은 x=1일 때 0이다.

-1-2

O

1

x

⑵ y=xÛ`-2x+5=(x-1)Û`+4

y

y=xÛ`-2x+5

이때 꼭짓점의 좌표는 (1, 4)이

13

고, 꼭짓점의 x좌표는 주어진 x

의 값의 범위에 포함되지 않는

다. 따라서

최댓값은 x=-2일 때 13이고,

최솟값은 x=0일 때 5이다.

5

4

O-2

1

x

06. 이차방정식과 이차함수 ⦁ 23

D

4

D

4

집중 연습

본문 | 076, 077쪽

1 이차방정식 xÛ`+4x+k-1=0의 판별식을 D라 하면

=2Û`-1_(k-1)=-k+5

⑴ D>0이어야 하므로 -k+5>0

∴ k<5 ⑵ D=0이어야 하므로 -k+5=0 ∴ k=5 ⑶ D<0이어야 하므로 -k+5<0 ∴ k>5

2 이차방정식 xÛ`+2(k-1)x+kÛ`=0의 판별식을 D라 하면

=(k-1)Û`-1_kÛ`=-2k+1

⑴ D>0이어야 하므로 -2k+1>0

∴ k< ⑵ D=0이어야 하므로 -2k+1=0 ∴ k= ⑶ D<0이어야 하므로 -2k+1<0 ∴ k>

3 이차방정식 xÛ`+k=x+1, 즉 xÛ`-x+k-1=0의 판별식을

D라 하면 D=(-1)Û`-4_1_(k-1)=-4k+5

⑴ D>0이어야 하므로 -4k+5>0

∴ k< ⑵ D=0이어야 하므로 -4k+5=0 ∴ k= ⑶ D<0이어야 하므로 -4k+5<0 ∴ k>

4 이차방정식 xÛ`+x+k=2x, 즉 xÛ`-x+k=0의 판별식을 D

라 하면 D=(-1)Û`-4_1_k=-4k+1

⑴ D>0이어야 하므로 -4k+1>0

∴ k< ⑵ D=0이어야 하므로 -4k+1=0 ∴ k= ⑶ D<0이어야 하므로 -4k+1<0 ∴ k>

;2!;

;2!;

;2!;

;4%;

;4%;

;4%;

;4!;

;4!;

;4!;

5 ⑴ y=xÛ`+6x+6=(x+3)Û`-3

최솟값 : x=-3일 때 -3, 최댓값 : 없다.

⑵ y=xÛ`-2x-2=(x-1)Û`-3

최솟값 : x=1일 때 -3, 최댓값 : 없다.

⑶ y=2xÛ`+8x+3=2(x+2)Û`-5

최솟값 : x=-2일 때 -5, 최댓값 : 없다.

⑷ y=-xÛ`-6x+1=-(x+3)Û`+10

최댓값 : x=-3일 때 10, 최솟값 : 없다.

⑸ y=-

xÛ`+x+1=-

(x-1)Û`+

;2!;

;2#;

최댓값 : x=1일 때

, 최솟값 : 없다.

;2#;

⑹ y=-

xÛ`-2x+1=-

(x+3)Û`+4

;3!;

최댓값 : x=-3일 때 4, 최솟값 : 없다.

;2!;

;3!;

24 ⦁ 정답과 해설

6 ⑴ y=xÛ`-1의 꼭짓점의 좌표는

y=xÛ`-1

(0, -1)이고, 꼭짓점의 x좌표

는 주어진 x의 값의 범위에 포함

된다.

최댓값 : x=2일 때 3,

최솟값 : x=0일 때 -1

y

3

-1

O-1

1

2

x

⑵ y=xÛ`-4x+3=(x-2)Û`-1

y

y=xÛ`-4x+3

이때 꼭짓점의 좌표는 (2, -1)이

3

고, 꼭짓점의 x좌표는 주어진 x의

값의 범위에 포함된다.

최댓값 : x=4일 때 3,

최솟값 : x=2일 때 -1

2

4

x

1

O

-1

⑶ y=xÛ`+6x+5=(x+3)Û`-4

y=xÛ`+6x+5

이때 꼭짓점의 좌표는 (-3, -4)이

고, 꼭짓점의 x좌표는 주어진 x의 값

y

5

O

x

-3

-4

-3

-1

-4

y=-xÛ`+2

O

1

2

x

y

2

1

-2

y

7

2

-3

-1

O 1

-2

x

-1

-2

y

1

y=-xÛ`-2x

-3

-2

-1

O

x

의 범위에 포함된다.

최댓값 : x=-1일 때 0,

최솟값 : x=-3일 때 -4

⑷ y=-xÛ`+2의 꼭짓점의 좌표는

(0, 2)이고, 꼭짓점의 x좌표는 주

어진 x의 값의 범위에 포함되지

않는다.

최댓값 : x=1일 때 1,

최솟값 : x=2일 때 -2

이때 꼭짓점의 좌표는 (-2, -2)

이고, 꼭짓점의 x좌표는 주어진 x

의 값의 범위에 포함되지 않는다.

최댓값 : x=1일 때 7,

최솟값 : x=-1일 때 -1

⑹ y=-xÛ`-2x=-(x+1)Û`+1

이때 꼭짓점의 좌표는 (-1, 1)이

고, 꼭짓점의 x좌표는 주어진 x의

값의 범위에 포함되지 않는다.

최댓값 : x=-2일 때 0,

최솟값 : x=-3일 때 -3

⑸ y=xÛ`+4x+2=(x+2)Û`-2

y=xÛ`+4x+2

기초 개념

가평

본문 | 078, 079쪽

01 x축, x좌표

03 실근

05 D>0

07 D<0 02 y=0, 0 04 부호 06 D=0 08 x, 실근 09 D>0

11 D<0 13 f(b) 10 D=0 12 f(p) 7 이차방정식 xÛ`+3x+k=x+5, 즉 xÛ`+2x+k-5=0의 판 별식을 D라 할 때, 이차함수 y=xÛ`+3x+k의 그래프가 직선 y=x+5에 접하면 D 4 ∴ k=6 =1Û`-1_(k-5)=-k+6=0 8 이차방정식 xÛ`+5x+k=2x, 즉 xÛ`+3x+k=0의 판별식 을 D라 할 때, 이차함수 y=xÛ`+5x+k의 그래프와 직선 기초 문제 가평 본문 | 080, 081쪽 y=2x가 만나면 D=3Û`-4_1_k=-4k+9¾0 1 이차함수 y=xÛ`-2x-8의 그래프와 x축이 만나는 점의 x 좌표는 이차방정식 xÛ`-2x-8=0의 실근과 같다. 이때 교점의 x좌표가 a, b이므로 이차방정식의 근과 계수의 ∴ kÉ ;4(; 관계에 의하여 a+b=- =2 -2 1 2 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근은 -2, 1이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 -2+1=- , -2_1= ;1A; ;1B; ∴ a=1, b=-2 9 이차함수 y=xÛ`-4x+m=(x-2)Û`+m-4는 x=2일 때 최솟값은 m-4이다. 이때 최솟값이 1이므로 m-4=1 ∴ m=5 10 이차함수 y=-2xÛ`+4x+k=-2(x-1)Û`+k+2는 x=1일 때 최댓값은 k+2이다. 이때 최댓값이 8이므로 k+2=8 ∴ k=6 3 이차방정식 xÛ`-2x+a=0의 두 근은 -1, b이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 11 y=2xÛ`+4x-1=2(x+1)Û`-3 이때 꼭짓점의 좌표는 y=2xÛ`+4x-1 y 5 -1+b=- , -1_b= ;1A; -2 1 ∴ a=-3, b=3 4 이차방정식 kxÛ`+12x+9=0 (k+0)의 판별식을 D라 할 때, x축과 적어도 한 점에서 만나려면 D¾0이어야 하므로 =6Û`-k_9=-9k+36¾0 ∴ kÉ4 k+0이므로 k<0 또는 0, >

1-2 ⑴ a -5b

⑵ a ab

⑶ 10, -3

⑵ -10

2-1 ⑴ 4

2-2 ⑴ 5x-8>2x+1에서 5x-2x>1+8

∴ x>3

3x>9

⑷ 6, 1

⑵ 2(x-4)É-3x-3에서 괄호를 풀면

2x-8É-3x-3, 2x+3xÉ-3+8

5xÉ5

∴ xÉ1

⑶ 0.1x-0.3(x+1)¾1의 양변에 10을 곱하면

x-3(x+1)¾10, x-3x-3¾10

-2x¾13

∴ xÉ-

:Á2£:

⑷

x+

< - ;2{; ;6%; ;1°2; ;4#; 의 양변에 분모의 최소공배수 12를 곱하면 9x+5<6x-10 9x-6x<-10-5 3x<-15 ∴ x<-5 본문 | 096~103쪽 yy㉢ yy㉣ ㉣ -3 0 x 1-1 -3, -2 1-2 ⑴ 부등식 ㉠을 풀면 2x<-6 ∴ x<-3 부등식 ㉡을 풀면 4x+4Éx+4 3xÉ0 ∴ xÉ0 ㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내 ㉢ 면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 구하는 해는 x<-3 ⑵ -x-6<2x-2 yy㉢

2-1 2, -1

2-2 ⑴ 부등식 ㉠을 풀면 3x>-6

부등식 ㉡을 풀면 2xÉ-4

∴ x>-2 yy㉢

∴ xÉ-2 yy㉣

따라서 구하는 해는 -3ÉxÉ5

⑵ Ú x<-1일 때 부등식 ㉡을 풀면 x<3 ㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내 ㉣ yy㉣ ㉢ 면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 구하는 해는 -22

yy㉠

부등식 2x-5<1을 풀면 2x<6 ∴ x<3 yy㉡ ㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내 면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 구하는 해는 25에서 -2x>4

∴ x<-2 그런데 x<-1이므로 x<-2 yy㉠ Û -1Éx<2일 때 |x+1|+|x-2|=x+1-x+2=3이므로 3>5는 항상 성립하지 않는다.

따라서 해는 없다.

Ü x¾2일 때

|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1이므로

2x-1>5에서 2x>6

∴ x>3

그런데 x¾2이므로 x>3

㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내

㉠

yy㉡

㉡

면 오른쪽 그림과 같다.

-2

3

x

따라서 구하는 해는 x<-2 또는 x>3

5-1 ⑴ 4 ⑵ 1 ⑶ 1 ⑷ 1

5-2 ⑴ 이차함수 y=-xÛ`-x+6의 그래프에서 x축보다 위쪽

에 있는 부분의 x의 값의 범위는

-32

xÉ-3 또는 x¾2

6-1 ⑴ -2, 2 ⑵ -2, 3

6-2 ⑴ y=xÛ`+2x-8이라 하면

y=xÛ`+2x-8=(x+4)(x-2)이므로

이차함수의 그래프는 오른쪽

y=xÛ`+2x-8

그림과 같이 x축과 두 점

(-4, 0), (2, 0)에서 만난다.

이때 주어진 부등식의 해는 이

차함수 y=xÛ`+2x-8의 그래

프에서 y>0인 x의 값의 범위이므로

-4

2

x

㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내

㉡

㉠

⑷ 이차함수 y=-xÛ`-x+6의 그래프에서 x축보다 아래

4

8

x

쪽에 있거나 x축과 만나는 부분의 x의 값의 범위는

yy㉡

x<-4 또는 x>2

08. 여러 가지 부등식 ⦁ 33

⑵ -xÛ`-x+12É0의 양변에 -1을 곱하면

⑷ 주어진 부등식의 해는 이차함수 y=4xÛ`+4x+1의 그래

y=xÛ`-5x+6

⑶ 주어진 부등식의 해는 이차함수 y=xÛ`-5x+7의 그래

xÛ`+x-12¾0

y=xÛ`+x-12라 하면

y=xÛ`+x-12=(x+4)(x-3)이므로

이차함수의 그래프는 오른쪽

y=xÛ`+x-12

그림과 같이 x축과 두 점

(-4, 0), (3, 0)에서 만난다.

이때 주어진 부등식의 해는

이차함수 y=xÛ`+x-12의 그

래프에서 y¾0인 x의 값의 범위이므로

xÉ-4 또는 x¾3

⑶ -xÛ`+5x-6>0의 양변에 -1을 곱하면

xÛ`-5x+6<0 y=xÛ`-5x+6이라 하면 y=xÛ`-5x+6=(x-2)(x-3)이므로 이차함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 x축과 두 점 (2, 0), (3, 0)에서 만난다. 이때 주어진 부등식의 해는 이 차함수 y=xÛ`-5x+6의 그래 프에서 y<0인 x의 값의 범위이므로 20인 x의 값의 범위이므로 해는

x+-

인 모든 실수

;2!;

⑵ 주어진 부등식의 해는 이차함수 y=4xÛ`+4x+1의 그래

프에서 y¾0인 x의 값의 범위이므로 해는 모든 실수

⑶ 주어진 부등식의 해는 이차함수 y=4xÛ`+4x+1의 그래

34 ⦁ 정답과 해설

프에서 yÉ0인 x의 값의 범위이므로 해는 x=-

;2!;

8-1 ⑴ 모든 ⑵ 실수 ⑶ 없다 ⑷ 없다

8-2 y=xÛ`-5x+7이라 하면 이차방정

식 xÛ`-5x+7=0의 판별식 D는

D =(-5)Û`-4_1_7=-3<0 이므로 이차함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 x축과 만나지 않는다. ⑴ 주어진 부등식의 해는 이차함수 y=xÛ`-5x+7 x y=xÛ`-5x+7의 그래프에서 y>0인 x의 값의 범위이

므로 해는 모든 실수

⑵ 주어진 부등식의 해는 이차함수 y=xÛ`-5x+7의 그래

프에서 y¾0인 x의 값의 범위이므로 해는 모든 실수

프에서 y<0인 x의 값의 범위이므로 해는 없다. ⑷ 주어진 부등식의 해는 이차함수 y=xÛ`-5x+7의 그래 프에서 yÉ0인 x의 값의 범위이므로 해는 없다. 9-1 ⑴ 4 ⑵ x 9-2 ⑴ (x+4)(x-1)>0에서 xÛ`+3x-4>0

⑵ (x-2)(x-5)¾0에서 xÛ`-7x+10¾0

⑶ (x+5)(x+2)<0에서 xÛ`+7x+10<0 ⑷ (x+3)(x-2)É0에서 xÛ`+x-6É0 10-1 <, <, 12 10-2 ⑴ 해가 1ÉxÉ3이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은 (x-1)(x-3)É0 ∴ xÛ`-4x+3É0 이 부등식이 xÛ`+ax+bÉ0과 같으므로 a=-4, b=3 ⑵ 해가 -20과 부등식 ㉠의 부등호의 방향

이 다르므로 a<0 ㉠의 양변에 a를 곱하면 axÛ`-ax-6a>0

이 부등식이 axÛ`+bx+6>0과 같으므로

-a=b, -6a=6

∴ a=-1, b=1

11-1 ⑴ -4, 4 ⑵ -2, 2

11-2 ⑴ 이차방정식 xÛ`-2(k-2)x+k=0의 판별식을 D라

하면 DÉ0이어야 하므로

=(k-2)Û`-kÉ0, kÛ`-5k+4É0

D

4

프에서 y<0인 x의 값의 범위이므로 해는 없다. (k-1)(k-4)É0 ∴ 1ÉkÉ4 12-1 >, É

12-2 ⑴ Ú k=0일 때

Û k+0일 때

-4<0이므로 모든 실수 x에 대하여 성립한다. ⑵ 부등식 ㉠을 풀면 (x+3)(x-8)É0 부등식 kxÛ`+kx-4<0이 모든 실수 x에 대하여 성 부등식 ㉡을 풀면 (x+1)(x-4)<0 14-1 2, 3 14-2 ⑴ 부등식 ㉠을 풀면 (x+3)(x-2)É0 ∴ -3ÉxÉ2 부등식 ㉡을 풀면 (x+1)(x-3)>0

∴ x<-1 또는 x>3

㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내

㉣

yy㉢

yy㉣

㉣

㉢

-3 -1

2 3

x

면 오른쪽 그림과 같다.

따라서 구하는 해는

-3Éx<-1 ∴ -3ÉxÉ8 ∴ -10이고 이차방정식 kxÛ`-kx+3=0의

판별식을 D라 하면 DÉ0이어야 하므로

D=kÛ`-12kÉ0, k(k-12)É0

∴ 02 yy㉢

부등식 ㉡을 풀면 xÉ5 yy㉣

따라서 구하는 해는 24x+8

㉢

본문 | 104, 105쪽

㉣

2

㉢

x

∴ x<-4 yy㉢ 부등식 ㉡을 풀면 7x-7<5x+3 -4 5 x 5 ㉣ ㉣ 5 ㉣ ㉢ -5 -3 1 x yy㉣ ⑶ 부등식 ㉠을 풀면 2x-4É6 ∴ xÉ5 ㉢ yy㉢ x 부등식 ㉡을 풀면 11-3x-32

yy㉣

따라서 구하는 해는 2-6

∴ x>-3

yy㉢

부등식 ㉡을 풀면 -2x¾-8

2

㉣

㉢

-3

4

x

13-1 2, 1

13-2 ⑴ 부등식 ㉠을 풀면 3x<-9 ∴ x<-3 ∴ -5ÉxÉ1 ㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내 면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 구하는 해는 -5Éx<-3 3(x-1)-xÛ`Éx-3 yy㉠ ⑵ [ x-3<4x yy㉡ 부등식 ㉠을 풀면 xÛ`-2x¾0, x(x-2)¾0 부등식 ㉡을 풀면 (x+5)(x-1)É0 따라서 구하는 해는 x<-4 yy㉢ ∴ x<5 yy㉣ ∴ xÉ0 또는 x¾2 부등식 ㉡을 풀면 -3x<3 ∴ x>-1

㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내

면 오른쪽 그림과 같다.

따라서 구하는 해는

-1-3

부등식 ㉡을 풀면

㉣

㉢

yy㉢

-5 -3

1

x

yy㉠

yy㉡

yy㉢

xÉ2x-1

2 ⑴

[

2x-1<5-x 부등식 ㉠을 풀면 -xÉ-1 ∴ x¾1 부등식 ㉡을 풀면 3x<6 ∴ x<2 yy㉣ 따라서 구하는 해는 1Éx<2 -2x+3Éx+9 ⑵ [ x+9É-x+11 부등식 ㉠을 풀면 -3xÉ6 ∴ x¾-2 yy㉠ yy㉡ yy㉢ 부등식 ㉡을 풀면 2xÉ2 ∴ xÉ1 yy㉣ 따라서 구하는 해는 -2ÉxÉ1 2x-7<3x-1 ⑶ [ 3x-1Éx+7 yy㉠ yy㉡ 부등식 ㉠을 풀면 -x<6 ∴ x>-6

yy㉢

부등식 ㉡을 풀면 2xÉ8

∴ xÉ4

yy㉣

따라서 구하는 해는 -6-1

yy㉣

따라서 구하는 해는 없다.

3x+1É2x+3

⑸

[

2x+3É4x-1

yy㉡

부등식 ㉠을 풀면 xÉ2 yy㉢

yy㉠

부등식 ㉡을 풀면 -2xÉ-4

∴ x¾2

yy㉣

따라서 구하는 해는 x=2

㉣

1

㉢

2

x

㉣

㉢

-1

3 4

x

㉣

㉢

-2

1

x

⑶ 부등식 ㉠을 풀면 2x<-6 ∴ x<-3 yy㉢ ㉣ ㉢ ㉣ -7 -3 1 x (x+5)(x-1)<0 ∴ -53

yy㉢

부등식 ㉡을 풀면

(x+1)(x-4)<0 ∴ -10

∴

ÉxÉ2

;2#;

yy㉣

따라서 구하는 해는

ÉxÉ2

;2#;

⑹ 부등식 ㉠을 풀면 -xÉ-1

㉣

∴ x¾1

yy㉢

㉣

㉢

3

x

1

–

;2!;

∴ x<- 또는 x>3 yy㉣

;2!;

따라서 구하는 해는 x>3

4 ⑴ 부등식 ㉠을 풀면

(x+3)(x-3)¾0

㉣

㉢

㉣

㉢

-3-2

3

4

x

∴ xÉ-3 또는 x¾3 yy㉢

부등식 ㉡을 풀면 (x+2)(x-4)>0

∴ x<-2 또는 x>4 yy㉣

따라서 구하는 해는 xÉ-3 또는 x>4

⑵ 부등식 ㉠을 풀면 xÛ`-x-20É0

㉣

㉣

㉢

(x+4)(x-5)É0

∴ -4ÉxÉ5

yy㉢

-4 -3

2

5

x

㉢

3

x

;2!;

x+2–

;3@;

부등식 ㉡의 괄호를 풀면

x+3<12-2x, 3x<9 ∴ x<3 yy㉣ 따라서 구하는 해는 - 0

(x+3)(x-2)>0

∴ x<-3 또는 x>2 yy㉣

따라서 구하는 해는

-4Éx<-3 또는 20

∴ x<-5 또는 x>2 yy㉣

따라서 구하는 해는 2a

05 이차식

07 아래쪽

13 a<0 15 공통부분 09 a0

11 (x-a)(x-b)<0 12 D<0 14 이차부등식 기초 문제 가평 본문 | 108, 109쪽 1 부등식 ㉠을 풀면 -5x<15 부등식 ㉡을 풀면 2x<-2 ∴ x>-3

∴ x<-1 따라서 해는 -3-10

∴ x<2 부등식 ㉡을 풀면 4x¾8 ∴ x¾2 따라서 구하는 해는 없다. ㄹ. 부등식 ㉠을 풀면 -2xÉ2 ∴ x¾-1 부등식 ㉡을 풀면 -2x¾-4 ∴ xÉ2 따라서 구하는 해는 -1ÉxÉ2 따라서 해가 존재하지 않는 것은 ㄱ, ㄷ이다. 4 |4x-a|>3에서 4x-a>3 또는 4x-a<-3 부등식 4x-a>3을 풀면 4x>a+3

∴ x>

부등식 4x-a<-3을 풀면 4xb이므로

=2,

a-3

4

a+3

4

=b

∴ a=11, b=

;2&;

a+3

4

a-3

4

5 Ú x<-3일 때 |x|+|x+3|=-x-x-3=-2x-3이므로 -2x-3<5에서 -2x<8 ∴ x>-4

그런데 x<-3이므로 -4b

|x|+|x+3|=-x+x+3=3이므로 3<5는 항상 성 y=(x-1)(x-3)이므로 이 이 y=xÛ`-4x+3 따라서 구하는 정수 k의 최솟값은 2이다. x 어야 하므로 =1-k<0에서 k>1

D

4

2x+3<5에서 2x<2 ∴ x<1 8 이차방정식 xÛ`-(k+3)x+kÛ`=0의 판별식 D는 D=(k+3)Û`-4kÛ`=-3kÛ`+6k+9 그런데 x¾0이므로 0Éx<1 yy㉢ 이때 서로 다른 두 허근을 가지므로 D<0에서 ㉠, ㉡, ㉢을 수직선 위에 나타내 ㉠ ㉡ ㉢ -3kÛ`+6k+9<0, kÛ`-2k-3>0

면 오른쪽 그림과 같다.

-4-3

0

x

1

(k+1)(k-3)>0

따라서 해는 -43

-1, 0의 4이다.

6 ⑴ xÛ`+8xÉ-15에서 xÛ`+8x+15É0

(x+5)(x+3)É0

∴ -5ÉxÉ-3

⑵ -xÛ`+3x-2<0에서 xÛ`-3x+2>0

(x-1)(x-2)>0

∴ x<1 또는 x>2

⑶ x(x-3)É3x-9에서 xÛ`-6x+9É0

(x-3)Û`É0

∴ x=3

7 ㄱ. y=xÛ`+2x+2라 하면 이차방정식 xÛ`+2x+2=0의 판

이므로 이 이차함수의 그래프는

y=xÛ`+2x+2

별식 D는

D

4

=1Û`-1_2=-1<0 오른쪽 그림과 같이 x축과 만나 지 않는다. 따라서 y<0인 x의 값의 범위이 므로 해는 없다. ㄴ. y=xÛ`-4x+3이라 하면 차함수의 그래프는 오른쪽 그림 과 같이 x축과 두 점에서 만난다. 이때 주어진 부등식의 해는 이차 함수 y=xÛ`-4x+3의 그래프에 별식 D는 D =(-3)Û`-4_1_4=-7<0 른쪽 그림과 같이 x축과 만나지 않는다. 따라서 y>0인 x의 값의 범위이

므로 해는 모든 실수

1

3

x

서 y¾0인 x의 값의 범위이므로 해는 xÉ1 또는 x¾3

ㄷ. y=xÛ`-3x+4라 하면 이차방정식 xÛ`-3x+4=0의 판

이므로 이차함수의 그래프는 오

y=xÛ`-3x+4

ㄹ. y=2xÛ`-2x+3이라 하면 이차방정식 2xÛ`-2x+3=0

의 판별식 D는

D

4

이므로 이차함수의 그래프는 오

y=2xÛ`-2x+3

른쪽 그림과 같이 x축과 만나지

따라서 yÉ0인 x의 값의 범위이

않는다.

므로 해는 없다.

따라서 해가 존재하지 않는 것은 ㄱ, ㄹ이다.

38 ⦁ 정답과 해설

x

x

9 해가 xÉ1 또는 x¾5이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은

(x-1)(x-5)¾0

∴ xÛ`-6x+5¾0

이 부등식이 xÛ`+ax+b¾0과 같으므로 a=-6, b=5

∴ b-a=5-(-6)=11

10 해가 -10

yy㉡

yy㉠

(x+1)(x-3)>0

∴ x<-1 또는 x>3

yy㉢

(x-4)(x-5)<0 ∴ 4

[천재교육]짤강 고등 수학 1 (2019) 답지

단기간에 기초를 잡을 수 있는 쉬운 개념서

1) 예비고등학생을 위한 빠르고 쉬운 선행서

2) 중하위권 고등학생들의 기초를 잡아줄 수 있는 개념서

3) 실수 방지를 위한 오답의 예와 바른 풀이 수록

4) 단원 시작 전에 중학교에서 배운 개념을 다시 한 번 체크할 수 있도록 기초개념피드백 수록

5) 반복해서 풀어야 하는 유형을 집중 연습 코너에서 연습할 수 있도록 함

짤강 고등 수학 (상) (2022년용)

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고등 수학(상)

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짤강 고등 수학(상)(2022) – 교보문고

상품상세정보 ISBN 9791125928577 ( 1125928573 ) 쪽수 208쪽 크기 221 * 298 * 9 mm /507g 판형알림

책소개

이 책이 속한 분야

– 독자대상 : 고등학교 수학(상) 학습자

– 구성 : 이론

– 특징 :

1) 예비고등학생을 위한 빠르고 쉬운 선행서

2) 중하위권 고등학생들의 기초를 잡아줄 수 있는 개념서

3) 실수 방지를 위한 오답의 예와 바른 풀이 수록

4) 단원 시작 전에 중학교에서 배운 개념을 다시 한 번 체크할 수 있도록 기초개념피드백 수록

5) 반복해서 풀어야 하는 유형을 집중 연습 코너에서 연습할 수 있도록 함

목차

Ⅰ. 다항식

1. 다항식의 연산

2. 항등식과 나머지정리

3. 인수분해

Ⅱ. 방정식과 부등식

4. 복소수

5. 이차방정식

6. 이차방정식과 이차함수

7. 여러 가지 방정식

8. 여러 가지 부등식

Ⅲ. 도형의 방정식

9. 평면좌표

10. 직선의 방정식

11. 원의 방정식

12. 도형의 이동

출판사 서평

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